2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）　　
A．2 B． C． D．
2．（5分）一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该件产品的正品率为　　
A．0.98 B．0.72 C．0.70 D．0.28
3．（5分）设随机变量，满足：，，则　　
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（5分）袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有　　种
A．240 B．192 C．120 D．96
6．（5分）函数的大致图象为　　
A． B．
C． D．
7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　
A．（4）（3） B．（4）（2）
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）若，则正整数的值是　　
A．1 B．3 C．4 D．5
10．（5分）已知复数，的共轭复数是，，则下列结论正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（5分）根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，，若使等级分，则下列说法正确的有　　
（参考数据：①；②；③．
A．这次考试等级分超过80分的约有450人
B．这次考试等级分在，内的人数约为997
C．
D．甲、乙、丙3人中恰有2人的等级分超过80分的概率为
12．（5分）已知，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为 　　．
14．（5分）在的二项展开式中，常数项为 　　．
15．（5分）甲、乙两人进行团棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，则（2）　　；（5）　　．
16．（5分）已知函数，，设两曲线，有一个公共点，且在点处的切线相同，则当时，实数的最大值为 　　．
四、解答题：本题题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①；②为纯虚数；③，其中为虚数单位，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数，若___．
（1）求实数的值；
（2）在复平面内，若复数对应的点在直线上，求实数的值．
18．（12分）已知函数；（2）．
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：只有1个零点．
19．（12分）已知的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）将展开式中的各项重新随机排列，求有理项互不相邻的概率．
20．（12分）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
105
100
90
80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口9月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
24
16
驾龄2年以上
26
24
能否据此判断有的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会．
附：．，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21．（12分）甲、乙两位同学参加数学建模比赛．在备选的6道题中，甲答对每道题的概率都是；乙能答对其中的4道题．甲、乙两人都从备选的6道题中随机抽出4道题独立进行测试．规定至少答对3题才能获奖．
（1）求甲同学在比赛中答对的题数的分布列和数学期望；
（2）求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率．
22．（12分）已知函数，．
（1）若在上单调递增，求实数的最小值；
（2）求证：当取（1）中的最小值时，．

2020-2021学年江苏省南通市启东市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）　　
A．2 B． C． D．
【分析】由复数的运算性质，直接计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查复数的运算，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
2．（5分）一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该件产品的正品率为　　
A．0.98 B．0.72 C．0.70 D．0.28
【分析】该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品，由此能求出该件产品的正品率．
【解答】解：一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，
该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品，
则该件产品的正品率为：
．
故选：．
【点评】本题考查产品的正品率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）设随机变量，满足：，，则　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．
【解答】解：因为，
则，
又，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了二项分布的期望公式的应用，方差性质的运用，属于基础题．
4．（5分）袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：设第1次摸到黑球为事件，第2次摸到黑球为事件，
故（A），，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有　　种
A．240 B．192 C．120 D．96
【分析】由已知可得老师左右各3人，则甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可求解．
【解答】解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，
所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，
所以不同的排法共有种，
故选：．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6．（5分）函数的大致图象为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，结合图象即可得答案．
【解答】解：由函数，
可知是单调递增的函数，而函数在和单调递减；在单调递增，
由此可得原函数函数在和单调递减；在单调递增，
所以符合的只有选项，
故选：．
【点评】本题考查了复合函数的单调性“同增异减”的判断．属于基础题．
7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为　　

A． B． C． D．
【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8，
五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9，
所以基本事件的个数共有个，
选取的3个数之和为偶数，则有个，
故所求的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
8．（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　
A．（4）（3） B．（4）（2）
C． D．
【分析】构造函数，则，利用函数的单调性以及函数的奇偶性判断各选项的正误即可．
【解答】解：是定义在上的奇函数，且当时，，
令，则，
所以在上是减函数，
所以（2）（3）（4），
由（3）（4），即（4）（3），所以不正确；
由（4）（2），即（4）（2），所以不正确；
由（4）（2）（4）（2），即，所以正确；
同理可得，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想以及构造法的应用，考查推理能力与运算能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）若，则正整数的值是　　
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据已知条件，结合组合数公式，即可求解．
【解答】解：，
或，解得或．
故选：．
【点评】本题主要考查组合数公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
10．（5分）已知复数，的共轭复数是，，则下列结论正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】根据已知条件，运用复数代数形式的乘法运算，并结合共轭复数的概念和复数模的公式，即可求解．
【解答】解：对于选项，设，，，
，
，
，故选项正确，
对于选项，设，，
，，
，故选项错误，
对于选项，设，，
，但，故选项错误，
对于选项，设，，，，，，
，，
，
，
，
，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式和共轭复数的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
11．（5分）根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，，若使等级分，则下列说法正确的有　　
（参考数据：①；②；③．
A．这次考试等级分超过80分的约有450人
B．这次考试等级分在，内的人数约为997
C．
D．甲、乙、丙3人中恰有2人的等级分超过80分的概率为
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：对于，，
则，，
故这次考试等级得分超过80分的概率为，
故这次考试等级得分超过80分的人数为人，故错误；
对于，这次考试等级分在，内的概率为，
故这次考试等级分在，内的人数为人，故正确；
对于，，故错误；
对于，甲、乙、丙3人中恰有2人的等级分超过80分的概率为，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
12．（5分）已知，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据要求的结果，选择合适的数值代入，从而得出结论．
【解答】解：，
令，可得，故正确；
令，可得①，
令，可得②，
用①②，再除以2，可得，故正确；
令，可得，
，故错误；
在所给的等式中，两边同时对求导数，可得，
再令，可得，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为 　　．
【分析】设，，，结合已知条件，可推得，即该复平面内复数对应的点所在区域为以为圆心，1为半径的小圆和以为圆心，3为半径的大圆不重叠的部分，将大圆的面积减小圆的面积，即可求解．
【解答】解：设，，，
，
，即，
该复平面内复数对应的点所在区域为以为圆心，1为半径的小圆和以为圆心，3为半径的大圆不重叠的部分，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的代数表示法，及其几何意义，属于基础题．
14．（5分）在的二项展开式中，常数项为 　10　．
【分析】写出通项，令的指数为0，解出值，再代入通项求得常数项即可．
【解答】解：的通项公式为，
常数项为．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应用展开式的通项公式求特定项，是基础题．
15．（5分）甲、乙两人进行团棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，则（2）　　；（5）　　．
【分析】若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出（2）；若甲、乙比赛10局甲获胜，则甲在10局比赛中至少胜6局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出（5）．
【解答】解：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，
（2），
若甲、乙比赛10局甲获胜，则甲在10局比赛中至少胜6局，
（5）．
故答案为：，．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）已知函数，，设两曲线，有一个公共点，且在点处的切线相同，则当时，实数的最大值为 　2　．
【分析】由题意可得，，联立后把用含有的代数式表示，再由导数求最值得答案．
【解答】解：设，，
，．
由题意知，，，
即，①
，②
解②得或（舍，
代入①得：，，
，
当时，，当时，．
实数的最大值是（1）．
故答案为：2．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
四、解答题：本题题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①；②为纯虚数；③，其中为虚数单位，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数，若___．
（1）求实数的值；
（2）在复平面内，若复数对应的点在直线上，求实数的值．
【分析】（1）选①，结合复数的运算法则，即可求解．选②，结合纯虚数的概念，即可求解．选③，结合复数的运算法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：（1）选①，
，
或，
若，则，无解，
若，则，解得．
选②，
为纯虚数，
，解得．
选③，，
，
，解得．
（2）由（1）知，，
故，
复数对应的点在直线上，
，解得．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18．（12分）已知函数；（2）．
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：只有1个零点．
【分析】（1）函数的定义域为，求导得，由（2），解得，再令，，可得的单调区间．
（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取极小值，当时，的极小值为（1），推出在区间，上无零点，由于（1），而，推出在区间上只有1个零点，即可得出答案．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
由，
得，
因为（2），
所以，
所以，
令，得或，
令，得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（2）证明：由（1）知，在处取得极大值，在处取极小值，
当时，的极小值为（1），
所以在区间，上无零点，
由于（1），
而，
所以在区间上只有1个零点，
所以时，只有1个零点，
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
19．（12分）已知的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）将展开式中的各项重新随机排列，求有理项互不相邻的概率．
【分析】（1）由题意写出通项，从而得到，化简解方程即可，
（2）化简，从而可得有理项共3项，8项无理项，从而利用插空法及古典概率模型求概率．
【解答】解：（1）由题意，
，
故第5项的二项式系数为，第3项的系数为，故，
化简得，解得或（舍去），
故，
（2）由（1）知，，
故当，6，9时，为有理项，共3项，故8项无理项，
故有理项互不相邻的概率．
【点评】本题考查了二项式定理及排列组合综合应用，同时考查了古典概率模型，属于中档题．
20．（12分）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
105
100
90
80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口9月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
24
16
驾龄2年以上
26
24
能否据此判断有的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会．
附：．，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）根据题目给出的数据分别算出，，然后套用公式求出，则回归方程可求，问题可解；
（2）根据公式求出的值，然后利用独立性假设检验的原理进行判断即可．
【解答】解：（1）由已知得：，．
，，
所以，．
故．
所以时，，
即可预测该路口9月份不“礼让行人”的违章驾驶人次约为37．
（2）由题意，得列联表为：

不礼让行人
礼让行人
合计
驾龄不超过1年
24
16
40
驾龄1年以上
26
24
50
合计
50
40
90

所以没有的把握认为礼让行人的行为与驾龄有关．
文明驾驶、安全驾驶是行车驾车的基本要求．
【点评】本题考查线性回归方程的求法及应用，独立性假设检验的基本思想方法，属于中档题．
21．（12分）甲、乙两位同学参加数学建模比赛．在备选的6道题中，甲答对每道题的概率都是；乙能答对其中的4道题．甲、乙两人都从备选的6道题中随机抽出4道题独立进行测试．规定至少答对3题才能获奖．
（1）求甲同学在比赛中答对的题数的分布列和数学期望；
（2）求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率．
【分析】（1）由题意可得，甲同学在比赛中答对的题数的可能值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
（2）记“甲获奖”为事件，设乙答对的题意为，“乙获奖”为事件，分别求出（A），（B）的概率，再利用对立事件概率之和等于1，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，甲同学在比赛中答对的题数的可能值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为：

0
1
2
3
4






故．
（2）记“甲获奖”为事件，设乙答对的题意为，“乙获奖”为事件，
（A），（B），
记“甲，乙至少有1人获奖”为事件，则为“甲，乙两人都未获奖”，
（A）（B）．
故甲，乙至少有1人获奖的概率为．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
22．（12分）已知函数，．
（1）若在上单调递增，求实数的最小值；
（2）求证：当取（1）中的最小值时，．
【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，由参变量分离法转化为在上恒成立，令，，利用导数研究函数的取值范围，即可得到的范围，从而得到答案；
（2）由（1）可知，，将问题转化为证明，令，，问题转化为证明，构造函数，利用导数研究的性质，即可证明．
【解答】（1）解：因为在上单调递增，
所以在上恒成立，且等号不恒成立，
即在上恒成立，
令，，
因为，则，，
所以，
故在上单调递减，
所以，故，
所以实数的最小值为；
（2）证明：由（1）可知，，此时，
要证明，即证明，
也就是，
令，，则，问题转化为证明，
因为，所以在上单调递增，
故，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以（1），
故，
所以．
【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
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日期：2021/12/1 16:06:59；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394