2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高二（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极大值有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（5分）已知函数的图象在，（1）处的切线经过坐标原点，则函数的最小值为　　
A． B． C． D．1
3．（5分）若函数的极大值点与极大值分别为，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）设函数，则是　　
A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数
D．偶函数，且在上是减函数
5．（5分）已知函数的定义域为，其导函数是，有，则关于的不等式的解集为　　
A． B． C． D．
6．（5分）某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有　　
A．24种 B．16种 C．18种 D．20种
7．（5分）已知，则　　
A． B．10 C． D．45
8．（5分）埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有组神秘的数字142857，因为，，，，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：，，，，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，将所有可能的三位数按从小到大依次排序，则第12个三位数为　　
A．214 B．215 C．248 D．284
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．（5分）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间，上的极小值点
10．（5分）定义在上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是　　
A． B． C．（1）（2） D．
11．（5分）已知的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项二项式系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
12．（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》《孙子算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为　　
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是　　
14．（5分）在的展开式中，若，则　　，　　．
15．（5分）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：，其中，，，，．若，则　　；在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为　　．
16．（5分）酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，当水深为时，水升高的瞬时变化率为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”．
问题：已知二项式，若 _____（填写条件前的序号），
（1）求展开式中二项式系数最大的项：
（2）求中含项的系数．
18．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（最后运算结果请以数字作答）
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
19．（12分）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求被6整除的余数．
20．（12分）已知．
（1）当，，时，求在，上的最大值；
（2）当，，时，讨论的单调性．
21．（12分）已知函数．
（1）求过的切线方程；
（2）若在上的最大值为，求证：．
22．（12分）已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极大值有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合图象分析导数的正负，然后结合导数分析单调性及极值的个数．
【解答】解：结合图象可知，导数正负的分界点有3个，
故函数先单调递增，再单调递减，再增，最后单调递减，
故函数有2个极大值，1个极小值．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
2．（5分）已知函数的图象在，（1）处的切线经过坐标原点，则函数的最小值为　　
A． B． C． D．1
【分析】求出函数在，（1）处的切线方程，代入原点坐标求解，得到函数解析式，再由导数分析单调性，即可求得函数的最小值．
【解答】解：由，得，
（1），又（1），
函数的图象在，（1）处的切线方程为，
把代入，可得，即．
，得，
当时，，当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
则．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
3．（5分）若函数的极大值点与极大值分别为，，则　　
A． B． C． D．
【分析】先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的极大值与极大值点，从而可求．
【解答】解：，
易得，当时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减，
故函数的极大值点，
所以（2），，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了极值与极值点的定义，属于基础题．
4．（5分）设函数，则是　　
A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数
D．偶函数，且在上是减函数
【分析】先检验与的关系，然后结合复合函数单调性及奇偶性的定义进行检验即可判断．
【解答】解：因为，
则，
所以为奇函数，
因为在上单调递增，根据复合函数单调性可知在上单调递增．
故选：．
【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
5．（5分）已知函数的定义域为，其导函数是，有，则关于的不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【分析】令，求导，结合题意可得在上单调递减；而，从而可得答案．
【解答】解：令，
，，
则当，，
在上单调递减，①
，
，
由①得：，
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想及数学运算能力，属于中档题．
6．（5分）某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有　　
A．24种 B．16种 C．18种 D．20种
【分析】根据题意可得甲乙不是最后一名或第一名，根据分类计数原理可得．
【解答】解：先排第一名，不可能为甲乙丙，只可能为丁、戊，再排最后一名，不可能为甲、乙，只可能为丙、丁、戊，
当最后一名为丁、戊时，有种，
当最后一名为丙时，有种
共有种不同情况．
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7．（5分）已知，则　　
A． B．10 C． D．45
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得结果．
【解答】解：，则，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8．（5分）埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有组神秘的数字142857，因为，，，，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：，，，，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，若，将所有可能的三位数按从小到大依次排序，则第12个三位数为　　
A．214 B．215 C．248 D．284
【分析】根据题意，在数字142857中，两个数字之和为9的组合有3个，据此依次分析数字、的百位、十位、个位数字的情况，即可求出．
【解答】解：根据题意，数字142857中，两个数字之和为9的组合有，，，共3组，
若，
从小到大排列为124，125，142，147，152，157，174，175，214，215，241，248，
故第12个三位数为248．
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意分析6个数字中和为9的情况，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．（5分）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间，上的极小值点
【分析】结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断．
【解答】解：由图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．
故选：．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值的关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
10．（5分）定义在上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是　　
A． B． C．（1）（2） D．
【分析】令，求导，结合题意可知在上单调递增，对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：令，
则，
在上单调递增，
，，（1）（2），，
即，故正确；
，故正确；
（1）（2），故错误；
，故正确，
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数学运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项二项式系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，得出结论．
【解答】解：的二项展开式中系数之和为，，
二项展开式中各项二项式系数之和为，故正确；
故当时，二项式系数最大，故二项展开式中二项式系数最大的项为，故正确；
由于通项公式为，令，求得，故当时，展开式为常数项，故错误；
由于第项的系数为，故当时，系数最大为240，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
12．（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》《孙子算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】6本分给4名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书为6本书为，1，1，和，2，1，，再分配给4名数学爱好者，
【解答】解：6本分给4名数学爱好者，每人至少一本，
则把6本书为，1，1，和，2，1，，再分配给4名数学爱好者，故有种，
或．
故选：．
【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分配，属于基础题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是　，　
【分析】由对称性求函数解析式得：设的图象与的图象关于原点对称，由，得，由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
利用导数研究函数的值域得：由有解，即有解，设，则，易得在为增函数，在为减函数，所以（e），即的值域为，，即实数的取值范围是，得解，
【解答】解：设的图象与的图象关于原点对称，
由，得，
由函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
即函数与的图象有交点，
即有解，
即有解，
设，
则，
易得在为增函数，在为减函数，
所以（e），
即的值域为，，
即，
即实数的取值范围是，
故答案为：，
【点评】本题考查了由对称性求函数解析式、利用导数研究函数的值域，属中档题．
14．（5分）在的展开式中，若，则　4　，　　．
【分析】由题意先求出的值，可得的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【解答】解：的展开式中，
若最高次幂的系数，则，，
故，即，
，
故答案为：4；208．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
15．（5分）若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对，都有，则有如下性质：，其中，，，，．若，则　　；在锐角中，根据上述性质推断：的最大值为　　．
【分析】对于第一空：求出的导数，进而计算可得答案，
对于第二空：在锐角中，分析三个角的取值范围，结合第一空的结论，分析可得可得答案．
【解答】解：根据题意，若，则，则，
在锐角中，、、都在区间上，
则对，有，
则有，即，
变形可得，
即的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查合情推理的应用，涉及导数的计算，属于基础题．
16．（5分）酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深，上口宽，水以的流量倒入杯中，当水深为时，水升高的瞬时变化率为　　．

【分析】作出如图的图象，建立起水面高与时间的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即可．
【解答】解：由题意，如图，设时刻水面高为，水面圆半径是，
由图知可得，此时水的体积为，
又由题设条件知，此时的水量为，
故有，
故有，
，
又当时，此时，
故时，，
当水深为时，水升高的瞬时变化率．
故答案为：．

【点评】本题考查变化的快慢与变化率，本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度的导数即可．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”．
问题：已知二项式，若 _____（填写条件前的序号），
（1）求展开式中二项式系数最大的项：
（2）求中含项的系数．
【分析】当选填条件①时，由题意列式求得，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得．
（1）把代入，可知第四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案；
（2）把代入，由第一个因式的常数项乘以第二个因式含含项的系数，由第二个因式的常数项乘以第一个因式含含项的系数，第一个因式含有项的系数乘以第二个因式含有项的系数，作和得答案．
【解答】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64，
则，即．
若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，
则，即．
（1）当时，展开式共7项，二项式系数最大的项为；
（2）中，
含项的系数为．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字：（最后运算结果请以数字作答）
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【分析】（1）根据题意，分0在个位，2在个位，4在个位，根据分类计数原理可得；
（2）5的倍数则个位数字为0或5的数，根据分类计数原理可得；
（2）根据题意，分4种情况讨论，由分类计数原理可得．
【解答】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有个，
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个，
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位数上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位数上的数字是5的五位数有个，
故满足条件的五位数的个数共有个．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个，
第二类：形如14□□，15□□，共有个，
第三类：形如134□，135□，共有个，
第四类：形如123□，共有个，
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：个．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
19．（12分）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求被6整除的余数．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再分别令，，可得要求式子的值．
（2）把 按照二项式定理展开，可得它除以6的余数．
【解答】解：（1）展开式的二项式系数和为，．
故．
，
令，可得．
令，可得，即，
．
（2）
，
显然，展开式除了最后2项外，其余各项都能被6整除，
故展开式被6整出的余数，即被6整除的余数，为5．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
20．（12分）已知．
（1）当，，时，求在，上的最大值；
（2）当，，时，讨论的单调性．
【分析】（1）将，，代入，求导，得到函数的单调性情况，进而得出最值；
（2）将，代入，求导后分，及讨论即可得出单调性情况．
【解答】解：（1）当时，，
由，得，当时解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以最大值在端点处取得，，
又，
所以在，上的最大值为．
（2）当，时，，，
①当时，得，，得，在上单调递增，在上单调递减；
②当时，△，方程的两根为且，
所以，得，，得，
即在上单调递增，在，上单调递减；
③当时，△，
ⅰ．当△，即时，，在上单调递增；
ⅱ．△，即时，
方程的两根为且，
所以，得或，所以，得，
即在，，上单调递增，在，上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）求过的切线方程；
（2）若在上的最大值为，求证：．
【分析】（1）求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，得到，由此可得切线方程；
（2）先求得，令，可知在上单调递增，由此即可得证．
【解答】解：（1）因为函数，定义域为，
设切点坐标为，又，所以，
切线方程为：，
因为切线过点，所以，
整理得，即，故切线方程为：；
（2）证明：因为，
所以．
令，则，
当时，，所以在上单调递增．
因为，（1），
所以存在使得，即，即．
故当时，，此时；
当，时，，此时．
即在上单调递增，在，上单调递减，
则，
令，则，
所以在上单调递增．
则当时，，（1），
所以，
由（1）知在上单调递减，
因为，，
所以．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数．（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1），对分类讨论即可得出单调性，可以求出极值．
（2）当时，恒成立，则恒成立，设，，根据单调性求出的最小值，满足不大于的最小值就能满足恒成立，即可求出的范围．
【解答】解：（1），
①时，在上单调递增，没有极值；
②时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数存在极小值，其极小值为，没有极大值；
③时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数存在极大值，其极大值为，没有极小值；

（2）当时，恒成立，
恒成立，．
设，，
设，下面证明有唯一解．
又，单调递增，（1），时，，所以在上有零点，
令，得，
又，所以式等价于，
由（1）知当时，在单调递增，所以，
设，单调递增，又，（1），
所以，使得，即有唯一解，即，
因此方程有唯一解，代入得，
有唯一解．
时，，，单调递减；，时，，，单调递增；
所以的最小值为，
所以．
即的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、研究切线方程、函数极值点存在问题、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 16:06:08；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394