2020-2021学年江苏省苏州市新区一中、苏大附中、苏州五中高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市新区一中、苏大附中、苏州五中高二（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市新区一中、苏大附中、苏州五中高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知函数，则（1）（1）　　
A． B．3 C． D．2
2．（5分）2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）　　
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
3．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　
A． B． C． D．
4．（5分）在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是　　
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
5．（5分）现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是　　
A． B．
C． D．以上均不对
6．（5分）2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个高速公路收费站每天至少有一个超过700辆的概率为　　
A． B． C． D．
7．（5分）若与，的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）对于函数与，若存在，使，则称，，，是函数与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为　　
A． B．
C．，， D．，，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为　　
A． B．
C． D．
10．（5分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布，和，，则下列选项正确的是　　
附：若随机变量服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
11．（5分）设，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），称为函数在闭区间，上的中值点，若关于函数在区间，上的“中值点”的个数为，函数在区间，上的“中值点”的个数为，则有　　（参考数据：，，，．
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部男4女到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有　　种（用具体数字回答）．
14．（5分）已知，的取值如表：

0
1
3
4


4.3
4.8
6.7
若，具有线性相关关系，且回归方程为，则　 　．
15．（5分）六元一次方程的正整数解有　　组．
16．（5分）若函数（其中是自然对数的底数），且函数，有两个不同的零点，则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？
18．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
19．（12分）已知函数，其中．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求，1，2，3，，的最大值；
（3）若，求证：．
20．（12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
21．（12分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形的长为130米，宽为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为，圆与，，分别相切于点，，，为的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点在线段上（不含端点，游客从点处乘升降电梯至点，轨道第一段与圆相切于点，再沿着圆弧轨道到达最高点，然后在点处沿垂直轨道急速下降至点处，接着沿直线轨道滑行至地面点处（设计要求，，三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道滑行到达终点．记为，轨道总长度为米．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）求最小时的值．

22．（12分）已知函数在时取到极大值．
（1）求实数、的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，若函数为增函数，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州市新区一中、苏大附中、苏州五中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知函数，则（1）（1）　　
A． B．3 C． D．2
【分析】可求出导函数，然后将和中的换上1即可求出（1），（1）的值，从而得出（1）（1）的值．
【解答】解：，，
（1）（1）．
故选：．
【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）　　
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将4个垃圾桶分成2、1、1的三个小组，②将分好的三组全排列，根据分步计数原理可得．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①先将4个垃圾桶分成2、1、1的三个小组，有种分组方法，
②将分好的三组全排列，对应三个固定角落，有种情况，
则有种摆放方法．
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
3．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，根据概率公式即可求出．
【解答】解：由题意可得随机变量服从二项分布，
则最多1人被感染的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了服从二项分布问题，以及概率公式，属于基础题．
4．（5分）在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是　　
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
【分析】打鼾与患心脏病有关”的结论，有以上的把握认为正确，表示有的把握认为这个结论成立，与多少个人打鼾没有关系，得到结论．
【解答】解： “打鼾与患心脏病有关”的结论，有以上的把握认为正确，
表示有的把握认为这个结论成立，
与多少个人打鼾没有关系，
只有选项正确，
故选：．
【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，解题的关键是正确理解有多大把握认为这件事正确，实际上是对概率的理解．
5．（5分）现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是　　
A． B．
C． D．以上均不对
【分析】借助于排列组合的知识，根据概率公式即可求出．
【解答】解：至少有1个一等品概率为，或者，
故选：．
【点评】本题考查了古典概率的问题，考查了互斥事件的概率公式，属于基础题．
6．（5分）2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个高速公路收费站每天至少有一个超过700辆的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】由已知求出，再由对立事件的概率公式求解．
【解答】解：．
这个高速公路收费站每天至少有一个超过700辆的概率为．
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，考查相互独立事件概率的求法，是基础题．
7．（5分）若与，的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】利用二项展开式的通项公式分别求出两个二项式的通项，令的指数为求出两个二项式展开式中含的系数，列出方程，利用组合数公式得到，的关系，将用表示，通过求函数的值域，求出的范围．
【解答】解：的展开式的通项公式为
由得得
展开式中当的项的系数为①
又展开式的通项公式
由得
这一展开式中含的项的系数为②
由①，②得



③
又
④
于是由③，④得，
故选：．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；考查组合数公式．
8．（5分）对于函数与，若存在，使，则称，，，是函数与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为　　
A． B．
C．，， D．，，
【分析】由题意可得，与有2个交点，即有2个交点，结合函数与图形即可求解．
【解答】解：恒过定点，关于轴对称的函数，
由题意可得，与有2个交点，
即有2个交点，
令，则，
，
令，则，
时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
而恒过定点，
当直线与已知曲线切于时，
由导数的几何意义可得，，
结合图象可知，，且，
故的取值范围为，，
故选：．

【点评】本题考查函数的对称性及导数的几何意义，旨在考查学生的数形结合思想，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为　　
A． B．
C． D．
【分析】方法一：6本分给5名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书为，1，1，1，一组，再分配给5名数学爱好者，
方法二：先从5名数学爱好者选1人得到2本，其余一人一本．
【解答】解：方法一：6本分给5名数学爱好者，每人至少一本，
则把6本书为，1，1，1，一组，再分配给5名数学爱好者，故有种；
方法二：先从5名数学爱好者选1人得到2本，其余一人一本，故有种．
故选：．
【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分配，属于基础题．
10．（5分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布，和，，则下列选项正确的是　　
附：若随机变量服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
【分析】由已知结合原则求得，判断正确；比较方差的大小判断正确，错误；再由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率判断正确．
【解答】解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则，即．
红玫瑰日销售量的平均数约为250，故正确；
红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故正确，错误；
白玫瑰日销售量范围在的概率，故正确．
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
11．（5分）设，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：，
则，故正确；
令，可得，再令，可得①，故，故错误；
令，可得②，用①②并除以2，可得，故正确；
，即的展开式中各项系数和，显然令，可得，再令，可得，
故，故成立，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，属于中档题．
12．（5分）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），称为函数在闭区间，上的中值点，若关于函数在区间，上的“中值点”的个数为，函数在区间，上的“中值点”的个数为，则有　　（参考数据：，，，．
A． B． C． D．
【分析】设函数在区间，上的“中值点”为，则由拉格朗日中值定理可得：，所以，，由函数图像可知函数和的图像在，上有两个交点，所以函数在区间，上有2个“中值点”，从而求出的值，由拉格朗日中值定理可得，由数形结合法可知函数与的图像在区间，上有1个交点，所以函数在区间，上有1个“中值点”，从而求出的值．
【解答】解：设函数在区间，上的“中值点”为，
由，
则由拉格朗日中值定理可得：，
又，
即，
所以，，
作出函数和的图像，如图1，
由图可知，函数和的图像在，上有两个交点，
所以方程在，上有两个解，即函数在区间，上有2个“中值点”，
所以，
又，函数在区间，上的“中值点”为，
则由拉格朗日中值定理可得：（1），
即，
作出函数与的图像，如图2，
，且当，时，，
由图可知，函数与的图像在区间，上有1个交点，
即方程在区间，上有1个解，
所以函数在区间，上有1个“中值点”，即，
故选：．


【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合法的应用，考查了拉格朗日中值定理的应用，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部男4女到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有　144　种（用具体数字回答）．
【分析】根据题意，分2步依次对4名女干部和3名男干部进行分析，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①对于4名女干部，从中选出1人，负责统筹协调，剩下3人安排到三个贫困村，有种安排方法，
②对于3名男干部，将3人全排列，安排到三个贫困村，有种安排方法，
则有种安排方法，
故答案为：144．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14．（5分）已知，的取值如表：

0
1
3
4


4.3
4.8
6.7
若，具有线性相关关系，且回归方程为，则　2.2　．
【分析】求出样本中心点，代入，可得的值．
【解答】解：由题意，，，
代入可得，
．
故答案为：2.2．
【点评】本题考查回归直线方程的求法，是统计中的一个重要知识点，由公式得到样本中心点在回归直线上是关键．
15．（5分）六元一次方程的正整数解有　126　组．
【分析】分析6个正整数解的可能情况，然后求解即可．
【解答】解：六元一次方程的正整数解，有5个类型，
分别为：①5，1，1，1，1，1型；共有．
②4，2，1，1，1，1型，，
③3，3，1，1，1，1型，，
④3，2，2，1，1，1型，，
⑤2，2，2，2，1，1型，，
共有．
故答案为：126．
【点评】本题考查排列组合的简单应用，注意分类讨论思想的应用，是中档题．
16．（5分）若函数（其中是自然对数的底数），且函数，有两个不同的零点，则实数的取值范围是　，，　．
【分析】作出的图象，有两个不同的零点，转化为与有两个交点，即可求解的范围．
【解答】解：函数
作出的图象，
由有两个不同的零点，
转化为与有两个交点，
当时，根据图象可知与没有两个交点，
当时，根据图象可知与恒有两个交点，
当时，要使与有两个交点，
即与有两个交点，
设切点为，
那么，
，解得，；
那么与相切时，，
要使与有两个交点，
则或；
故答案为，，

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象交点个数问题以及构造函数求出函数的切线，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？
【分析】（1）根据题意，按0是否在个位，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，按最左端的排甲或排乙两种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，考虑“0”是特殊元素，分2种情况讨论：
当0排在末位时，有个三位偶数，
当0不排在末位时，有个三位偶数，
则符合题意的偶数共有个；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
最左端排甲，共有种排法，
最左端只排乙，最右端不能排甲，有排法，
共有种排法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）．令，解得，或．对分类讨论，即可得出单调性．
（2）对分类讨论，利用（1）的结论即可得出．
【解答】解：（1）．
令，解得，或．
①时，，函数在上单调递增．
②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．
③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）由（1）可得：
①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．
②时，函数在，上单调递减．
，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，
化为：．而，（1），最大值为或．
若：，，解得，矛盾，舍去．
若：，，解得，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
，的所有值为：，或．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（12分）已知函数，其中．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求，1，2，3，，的最大值；
（3）若，求证：．
【分析】（1）令得，令得，两式相加可求得结果；
（2）先假设最大，利用求得的值，进而求得中的最大值；
（3）先说明，再利用二项式定理求证出结果．
【解答】解：（1）当，时，，
令得，
令得，
两式相加整理可得：；
（2）由题知，，解得．
不妨设中，1，2，，最大，
则，
解得或6，
故中的最大值为；
（3）证明：若，，．
因为，
所以．
【点评】本题主要考查二项式定理的综合应用，属于中档题．
20．（12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复实验的概率，求解即可．
（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12．求出概率，得到分布列，然后情况期望，小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．求出概率，得到分布列，然后情况期望，然后推出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，
所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．（4分）
（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，，
，
，
．

0
4
8
12





一次游戏付出的奖金，
则小红的收益为．（8分）
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．
，
，
，
．
的分布列为：

0
1
4
9





一次游戏付出的奖金，则小明的收益为．
，小明的盈利多．（12分）
【点评】本题考查独立重复实验概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力是中档题．
21．（12分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形的长为130米，宽为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为，圆与，，分别相切于点，，，为的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点在线段上（不含端点，游客从点处乘升降电梯至点，轨道第一段与圆相切于点，再沿着圆弧轨道到达最高点，然后在点处沿垂直轨道急速下降至点处，接着沿直线轨道滑行至地面点处（设计要求，，三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道滑行到达终点．记为，轨道总长度为米．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）求最小时的值．

【分析】（1）如图所示，组，垂足为点，作，垂足为点．可得，．进而得出，．
（2），解得．
【解答】解：（1）如图所示，作，垂足为点，作，垂足为点．
根据条件可得，．

，
若点在时，，此时是的最小值，又不能在点，故，
若点在时，此时切点为点，且不能取，故，
点需要在的左边，故，而，，，
的取值范围为．
（2），
令，可得，令，可得．
令，，则当时，为单调递减；
当时，为单调递增．
当时，函数取得最小值．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、直角三角形边角关系、有点切线的性质、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（12分）已知函数在时取到极大值．
（1）求实数、的值；
（2）用，表示，中的最小值，设函数，，若函数为增函数，求实数的取值范围．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与极值存在的条件可求，；
（2）结合已知考虑构造函数，然后结合导数分析的单调性，结合函数的性质及零点判定定理可求出表达式，进而可求，再由导数及函数性质可求．
【解答】解：（1），
在时取得极大值，
，
解得，．
（2）设，
当时，恒成立．
，
在上恒成立，
故在上单调递减．
不间断，
故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的，使得，
当时，，当，时，．
，
，
故；
由于函数为增函数，且曲线在上连续不间断，
在和，上恒成立．
①时，在，上恒成立，即在，上恒成立，
令，，，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以（3），
故，
即，
②当．
综合①、②知，的范围，．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及函数单调性与导数关系的应用，还考查了考生的逻辑推理的能力及转化思想的应用，属于难题．
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日期：2021/12/1 16:05:57；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394