2020-2021学年江苏省苏州一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州一中高二（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州一中高二（下）期中数学试卷
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知，则　　
A． B．0 C．1 D．
2．（5分）在的展开式中，常数项为　　
A．15 B． C．30 D．
3．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为　　

A．30 B．40 C．44 D．70
4．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
5．（5分）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则　　
A． B． C． D．
6．（5分）将标号为1、2、3、4、5、6、7的7个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6、7的7个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有　　
A．90种 B．135种 C．180种 D．315种
7．（5分）函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，且，则　　
A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a）
C．（a）（c）（b） D．（c）（b）（a）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分有选错的得0分．
9．（5分）如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为　　
A．取每一个可能值的概率是正数
B．取所有可能值的概率和为1
C．取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
10．（5分）关于二项式，下列说法正确的是　　
A．该二项展开式中第六项为
B．该二项展开式中非常数项的系数和是1
C．该二项展开式中系数最大的项是第1012项
D．当时，除以2019的余数是2018
11．（5分）关于函数，，下列说法正确的是　　
A．当时，在，处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点且
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有且只有一个零点
12．（5分）已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，，则的取值可能是　　
A． B． C．0 D．2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）一个木箱中装有8个同样大小的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则表示的试验结果有　　种．
14．（5分）的展开式中的系数为　　．
15．（5分）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为　　，用此结论计算　　．
16．（5分）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在二项式的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含项的系数；
（Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值．
18．（12分）箱中装有4个白球和个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量为取出的3个球所得分数之和，
（1）若，求的值；
（2）当时，求的分布列．
19．（12分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数．
（1）可组成多少个不同的六位数？
（2）可组成多少个0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻的不同的六位数？
20．（12分）已知函数为实数，为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数的取值范围．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求的值；
（3）证明：．
22．（12分）已知函数，，，其中为实数．
（1）求证：当时，；
（2）若，求最小的整数的值．

2020-2021学年江苏省苏州一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知，则　　
A． B．0 C．1 D．
【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式可求出，然后将换上0即可得出的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）在的展开式中，常数项为　　
A．15 B． C．30 D．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为0，由此即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为　　

A．30 B．40 C．44 D．70
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数都是奇数，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，
从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，
①选出的3个数都是奇数，有种选法，
②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有种选法，
一共有种选法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．
【解答】解：函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当，排除，，
故选：．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．
5．（5分）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则　　
A． B． C． D．
【分析】设与曲线相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，与联立，运用相切的条件，解方程可得所求值．
【解答】解：设与曲线相切的切点为，
的导数为，
由切线的斜率为1，可得，即，
则切点为，
切线的方程为，
与联立，可得，
由△，解得，
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）将标号为1、2、3、4、5、6、7的7个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6、7的7个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有　　
A．90种 B．135种 C．180种 D．315种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在7个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，②、假设剩下的3个盒子的编号为1、2、3、4，依次分析1、2、3、4号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在7个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种选法，
剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为1、2、3、4，
则1号小球可以放进2、3、4号盒子，有3种放法，假设其放入2号盒子，、
则2号小球有3种放法，
剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，
则不同的放法总数是；
故选：．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应，属于基础题．
7．（5分）函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】分别构造函数和，利用导数结合已知可分析它们的单调性，从而可得的取值范围．
【解答】解：在定义域内恒满足，
，
令，则在上单调递减，
，整理得：；①
再令，则在上单调递增，
，整理得：；②
由①②得：，
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想法与构造函数法的应用，考查推理与数学运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数，且，则　　
A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a）
C．（a）（c）（b） D．（c）（b）（a）
【分析】法：依题意，可令，则，，从而可比较（a）、（b）、（c）三者的大小，得到答案；
法：由；，即；求导得，利用导数分析的单调情况，可得答案．
【解答】解法，且，
令，则，，
（a），
（b）（e），
（c）（1），
又，
（c）（b）（a），
故选：．
法，且，
；
，即；
，
在上单调递增，在上单调递减，
（c）（b）（a），
故选：．
【点评】本题考查函数的性质，取特值是解决问题的好方法，考查逻辑思维能力与数学运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分有选错的得0分．
9．（5分）如果是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为　　
A．取每一个可能值的概率是正数
B．取所有可能值的概率和为1
C．取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，每一个变量对应的概率都非负，所有变量对应的概率之和是1，每一个变量对应的事件是互斥事件，得到结论．
【解答】解：是一个离散型随机变量，
取每个可能值的概率是非负实数，故不正确；
取所有可能值概率之和为1，故正确；
取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，故正确，错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的性质直接求解，属于基础题．
10．（5分）关于二项式，下列说法正确的是　　
A．该二项展开式中第六项为
B．该二项展开式中非常数项的系数和是1
C．该二项展开式中系数最大的项是第1012项
D．当时，除以2019的余数是2018
【分析】由题意利用二项式定理，二项展开式的通项公式，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于二项式，它的展开式的通项公式为，
故第六项为，故错误；
令，可得所有项的系数和为零，令，求得，可得常数项为，
该二项展开式中非常数项的系数和是1，故正确；
由于第项的系数为，故当时该项的系数最大，即第2011项系数最大，故错误；
当时，
，
显然，展开式除了最后一项外，其余各项都能被2019整除，
故它除以2019的余数，即最后一项除以2019的余数，为2018，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
11．（5分）关于函数，，下列说法正确的是　　
A．当时，在，处的切线方程为
B．当时，存在唯一极小值点且
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有且只有一个零点
【分析】直接法，逐一验证选项，选项，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项、，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线 的交点问题．
【解答】解：直接法，逐一验证．
选项，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，
故直线方程为：，即切线方程为： 选项符合题意；
选项，当时，，，，恒成立，所以单调递增，
又 故存在唯一极值点，不妨设，，则，即，
，，选项符合题意；
对于选项、，，，令，即，当，且 显然没有零点，故，且，
所以则令，，令，解得，，，
所以 单调递减，， 单调递增，有极小值，
单调递增，， 单调单调递减，有极大值，
故选项，任意均有零点，不符合，选项，存在，有且只有唯一零点，此时，
故选：．
【点评】本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数的处理，数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于中档题．
12．（5分）已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，，则的取值可能是　　
A． B． C．0 D．2
【分析】利用已知条件推出．令，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后转化求解的取值范围即可．
【解答】解：函数，
因为的两根为，，所以，
从而．
令，
则，，，
因为，，所以，，，
所以在，上恒成立，
从而在，上单调递增．又，所以，
即的取值范围是，
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想与推理论证能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）一个木箱中装有8个同样大小的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则表示的试验结果有　21　种．
【分析】利用列举法能求出结果．
【解答】解：一个木箱中装有8个同样大小的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，
现从中随机取出3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，
则表示的试验结果有：
，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，
，4，，，5，，，6，，，7，，，5，，，6，，，7，，，6，，，7，，，7，，共21个．
故答案为：21．
【点评】本题考查满足条件的试验结果的种数的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
14．（5分）的展开式中的系数为　40　．
【分析】把按照二项式定理展开，可得结论．
【解答】解： 的展开式中，
的系数为，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
15．（5分）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为　　，用此结论计算　　．
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程；再由趋向于0时，，可得所求值．
【解答】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线的斜率为，
切线的方程为；
．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及近似值的计算，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　．
【分析】可化为，设，可知当时，，由此得到，设，求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围．
【解答】解：即，即，
设，则，故函数在定义域上递增，
又，故当时，，
，即，
设，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
（1），
，即．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在二项式的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含项的系数；
（Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值．
【分析】根据展开式中第项的通项公式，求出展开式中含项的系数是多少；
由第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，列出方程，求出的值．
【解答】解：展开式中第项是
，（3分）
令，
解得；（4分）
展开式中含项的系数为；（6分）
第项的二项式系数为，
第项的二项式系数为；
，（9分）
，或；
解得，或．（12分）
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．
18．（12分）箱中装有4个白球和个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量为取出的3个球所得分数之和，
（1）若，求的值；
（2）当时，求的分布列．
【分析】（1）由题意可得：当取出的3个球都是白球时，随机变量为取出的3个球所得分数之和才能为6，可得，解得．
（2）时，由题意可得：随机变量的取值可能为3，4，5，6．利用题意可得：，，，．进而得出的分布列．
【解答】解：（1）由题意可得：当取出的3个球都是白球时，随机变量为取出的3个球所得分数之和才能为6，
，解得．
（2）时，由题意可得：随机变量的取值可能为3，4，5，6．
，，，．
的分布列为：

3
4
5
6





．
【点评】本题考查了古典概率计算公式、组合的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数．
（1）可组成多少个不同的六位数？
（2）可组成多少个0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻的不同的六位数？
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①分析易得首位数字有5种情况，②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，由分步计数原理计算可得答案；
（2）先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①0不能在首位，则首位数字有5种情况，
②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，有种情况，
则有个六位数；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，有种情况，
②再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中，
若0放在2，4的最前面和最后面，再安排奇数，有种安排方法，
若0放在2，4的中间，再安排奇数，共有种安排方法，
综上，共有种，即有288个符合题意的六位数．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20．（12分）已知函数为实数，为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）由题意可得有3个不等实根，求得的导数，可得有两个不等实根，由判别式大于0，解不等式即可得到的范围．
【解答】解：（1）当时，函数，，
由可得，且，
由可得，且或，
可得的单调增区间为，，，，
减区间为，，，，；
（2）当时，若存在实数，使得函数有三个零点，
即有有3个不等实根，即，
，
可得有两个不等实根，
即有△，
解得或，
由可得．
则实数的取值范围是．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，注意函数的定义域，考查函数方程的转化思想，构造函数法是解题的关键，属于中档题．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求的值；
（3）证明：．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出，即，从而求出的值即可；
（3）法一：问题转化为证，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；法二：对原不等式进行变形，构造同构函数证明．
【解答】解：（1）的定义域是，，
当时，恒成立，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，
综上：当时，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增；
（2）若，则，
，，
由（1）时，，则在单调递增，
故，即，，
故；
（3）法一：要证，即证，
设，，，
令，则，
故函数单调递增，又，（1），
故在，上存在唯一零点，即，
故当，，当，时，，
故函数在上单调递减，在，上单调递增，
故，
由，得，
故，即，
即．
法二：
原不等式等价于，
即，
令，易证，
故原不等式成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
22．（12分）已知函数，，，其中为实数．
（1）求证：当时，；
（2）若，求最小的整数的值．
【分析】（1）求出导函数，然后判断的正负，确定函数的单调性，即可证明；
（2）结合（1）中的结论，然后分别求解，，是否符合题意，即可得到答案．
【解答】（1）证明：函数，，，
所以，
当时，，则在，上单调递减，
所以，
故当时，；
（2）解：当时，，
记，，，
故，则在上单调递增，
所以当时，，，
所以当时，，
故，则在上单调递减，
所以当时，，与矛盾；
当时，，，与矛盾；
党时，记，，，
则，则在，上单调递增，
所以当，时，，即，
故，
结合（1）可得，最小的整数的值为3．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．
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日期：2021/12/1 16:07:52；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394