2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）的值为　　
A．3 B．9 C．12 D．15
2．（5分）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有　　
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
3．（5分）的展开式中的系数为　　
A．12 B．16 C．20 D．24
4．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
6．（5分）在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第　　
附：若，则，
A．1500名 B．1700名 C．4500名 D．8000名
7．（5分）定义在上的函数，有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．
则　　
A．， B．，
C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设，为复数，且，下列命题中正确的有　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为3
10．（5分）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有　　
A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种
B．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法
11．（5分）设，则下列结论正确的有　　
A． B．
C． D．
12．（5分）已知函数，则下列说法正确的有　　
A．若，则在上单调递减
B．若，则无零点
C．若，则恒成立
D．若，则曲线上存在相异两点，处的切线平行
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数在点，处的切线与直线垂直，则　　．
14．（5分）已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位）
甲：；乙：；丙：；丁：．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．
15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　　．
16．（5分）若存在正实数，使得函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，（其中为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数，．
（1）当时，求展开式中系数的最大项；
（2）化简：．
19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：

，
，
，
，
32
18
4
，
6
8
12
，
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

，
，
，


，


（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828


20．（12分）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设实数，求函数在，上的最小值．
21．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）的值为　　
A．3 B．9 C．12 D．15
【分析】根据排列组合数公式，进行化简计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了排列组合数公式的计算，是基础题目．
2．（5分）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有　　
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：一男两女，有种，
两男一女，有种，共计70种
间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，
都是女医生有种，于是符合条件的有种．
故选：．
【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．
3．（5分）的展开式中的系数为　　
A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解．
【解答】解：的展开式中的系数为：
．
故选：．
【点评】本题考查展开式中的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，根据概率公式即可求出．
【解答】解：由题意可得随机变量服从二项分布，
则最多1人被感染的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了服从二项分布问题，以及概率公式，属于基础题．
5．（5分）函数的大致图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用导数求出单调区间，及时，，即可求解．
【解答】解：函数的导数为，
令，得，
时，，时，，时，．
函数在，递减，在递增．
且时，，时，，故只有符合题意．
故选：．
【点评】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力．属于中档题，
6．（5分）在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第　　
附：若，则，
A．1500名 B．1700名 C．4500名 D．8000名
【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．
【解答】解：考试的成绩服从正态分布．，，
（1） 7，
即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的．

故选：．
【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出的概率．
7．（5分）定义在上的函数，有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据条件可知，令，结合条件可得，同理令，结合条件可得，进一步得到正确选项．
【解答】解：，即，
定义在上，，
令，则，
则函数在上单调递增，
由（2）（1）得，，即，
同理令，，
则函数在上单调递减，
由（2）（1），得，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
8．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．
则　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出，和，进行比较即可．
【解答】解析：，，
，所以；
由已知的取值为1、2，的取值为1、2、3，
所以，，
．
故选：．
【点评】正确理解的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令，也可以很快求解．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设，为复数，且，下列命题中正确的有　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为3
【分析】根据复数的定义与模长公式，分析判断选项中命题的正误即可．
【解答】解：对于，当时，不一定有，和，所以选项错误；
对于，当时，有，所以，选项正确；
对于，当时，，所以，选项正确；
对于，当时，，所以选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数的定义与模长公式的应用问题，也考查了分析与判断能力，是基础题．
10．（5分）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有　　
A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种
B．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法
【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有种选法，错误，
对于，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有种分配方法，正确，
对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有选法，再将剩下3人安排剩下剩下的三项工作，有种情况，
则有种不同的方案，正确，
对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排在第一排，有排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，
则有种不同的方案，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11．（5分）设，则下列结论正确的有　　
A． B．
C． D．
【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案．
【解答】解：，
，故正确；
对于所给的等式，令，可得，再令，可得①，故，故错误；
对于所给的等式，令，可得②，
把①②，并除以2，可得，故错误；
对于所给的等式，两边对求导数，可得，
再令，可得，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题
12．（5分）已知函数，则下列说法正确的有　　
A．若，则在上单调递减
B．若，则无零点
C．若，则恒成立
D．若，则曲线上存在相异两点，处的切线平行
【分析】对于，将代入，对函数求导，判断导函数的正负即可作出结论；对于，转化为直线与曲线图象的交点个数问题求解；对于，将代入，求函数的最小值即可；对于，由是严格的单调递增函数，结合导数的几何意义即可判断．
【解答】解：对于，当时，，则，
易知当时，，单调递减，故选项正确；
对于，令，则，设，则，
易知函数在单调递减，在单调递增，设直线是曲线的一条切线，切点为，，
则，解得，
作出切线与函数的图象如图所示，

由图象可知，当时，直线与函数的图象无交点，即无零点，故选项正确；
对于，当时，，
易知函数在上单调递减，在单调递增，
（1），故选项正确；
对于，，
是严格的单调递增函数，由导数的几何意义可知，曲线不存在相异两点，处的切线平行，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想，转化思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数在点，处的切线与直线垂直，则　0　．
【分析】求出原函数的导函数，可得，再由两直线垂直与斜率的关系求解．
【解答】解：由，得，
则，
又函数在点，处的切线与直线垂直，
，即．
故答案为：0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
14．（5分）已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位）
甲：；乙：；丙：；丁：．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．
【分析】由题意可设，分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出，的值，得到复数．
【解答】解：由题意可设，
，
，，，，
丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，
甲丁正确，
此时，，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了复数的运算，是高考新题型，属于基础题．
15．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是　0.18　．
【分析】甲队以获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以获胜的概率．
【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：，
④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：，
则甲队以获胜的概率为：
．
故答案为：0.18．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）若存在正实数，使得函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是　，　．
【分析】由题意得，，令，，利用导数性质能求出实数的取值范围．
【解答】解：由题意，；
可得，，
令，，
则，；
可得在单调递增；
由（e），
可得时，，则在单调递减；
可得时，，则在单调递减；
那么（e），
，
而时，，
则要满足，
得；
故答案为：，．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．属于中档题，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知，（其中为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．
（2）化简，由可得，即可求的范围．
【解答】解：（1）由，，
得．
又因为为纯虚数，所以，
所以，．
（2），
又因为，所以，
即，，
解得，．
【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．
18．（12分）已知函数，．
（1）当时，求展开式中系数的最大项；
（2）化简：．
【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质，求得展开式中系数的最大项．
（2）所给式子即，再利用二项式定理，计算求得结果．
【解答】解：（1）由于函数，，则当时，展开式的通项公式为，
再利用二项式系数的性质可得，当时，展开式的系数最大为．
（2）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：

，
，
，
，
32
18
4
，
6
8
12
，
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：

，
，
，


，


（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828


【分析】（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据题目所给的数据填写列联表即可；
（3）计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，可得下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，
由，
；
故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，
【点评】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题．
20．（12分）已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设实数，求函数在，上的最小值．
【分析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．
（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在处取得；最小值在端点处取得；通过对的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值．
【解答】解：（1），，
令得．
当时，，在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
（e）．
（2），由（1）知：
在上单调递增，在上单调递减．
在，上的最小值（a），，
（a），
当时，（a），（a）．
当时，（a），．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与导函数符号的关系、利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法．
21．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【分析】（1）求出，则，利用导数性质能求出的最大值点．
（2）由，令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，再由，即，能求出．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，
当时，，
的最大值点．
（2）由（1）知，
令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，
，即，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
，
应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．
【分析】（1）求出函数的对数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为恒成立，令，求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合题意求出，的值，再求和即可．
【解答】解：（1），的定义域是，
，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得：，
当时，，当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）恒成立，即恒成立，
令，则，
①当时，，单调递增，
要使在上恒成立，
只需，
，此时不唯一，不合题意；
②当时，令，解得：，
在上单调递增，
要使在上恒成立，只需，
，此时不唯一，不合题意；
③当时，令，解得：，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
要使在上恒成立，且的值唯一，只需，
整理得，
令，则，
令，解得：，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
，
要使的值唯一，只需，
解得：，，
．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
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日期：2021/12/1 15:58:37；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394