2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）直线的倾斜角的大小是　　

A． B． C． D．

2．（5分）函数的单调递增区间是　　

A． B． C． D．

3．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为　　

A．95 B．131 C．139 D．141

4．（5分）若点是圆上一点，则点到直线的距离最大值为　　

A． B． C．2 D．

5．（5分）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

6．（5分）记为等差数列的前项和，给出下列4个条件：①；②；③；④，若只有一个条件不成立，则该条件为　　

A．① B．② C．③ D．④

7．（5分）已知双曲线的焦点为、，其渐近线上横坐标为的点满足，则　　

A． B． C．2 D．4

8．（5分）已知数列满足，，．设，若对于，都有恒成立，则的最大值为　　

A．3 B．4 C．7 D．9

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9．（5分）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是　　

A．当时，曲线为圆 

B．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 

C．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 

D．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

10．（5分）已知函数，当时，有极大值，则的取值可以是　　

A．6 B．5 C．4 D．3

11．（5分）已知是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是　　

A． B．该数列的公差 

C． D．

12．（5分）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是　　

A．的方程为 

B．当，，三点不共线时，射线是的平分线 

C．在上存在使得 

D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）抛物线的焦点到准线的距离等于　　．

14．（5分）在正项等比数列中，若，与的等差中项为12，则等于 　　．

15．（5分）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为 　　．

16．（5分）定义在上的函数满足，其中为自然对数的底数，（2），则满足的的取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）等差数列的前项和记为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若，求的最小值．

18．（12分）已知函数，，为常数）．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）若，且函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围．

19．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆与抛物线在第一象限的交点为，已知．

（1）求△的面积；

（2）求抛物线的标准方程．

20．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，，．

（1）求数列，的通项公式，；

（2）定义：，记，求数列的前20项和．

21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作两条不同的直线与椭圆分别交于点，（均异于点．若的角平分线与轴平行，试探究直线的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数，，为自然对数的底数．

（1）当时，证明：，，；

（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）直线的倾斜角的大小是　　

A． B． C． D．

【解答】解：直线的方程为：，

其斜率为：，

即为该直线的倾斜角），

．

即其倾斜角为．

故选：．

2．（5分）函数的单调递增区间是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由函数，得，

因为，由，得：．

所以，函数的单调递增区间是．

故选：．

3．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为　　

A．95 B．131 C．139 D．141

【解答】解：由题意可知1，5，11，21，37，61，，的差的数列为：

4，6，10，16，24，

则这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，的差是一个等差数列，

设原数列的第7项为，则，解得，

原数列的第7项是95．

故选：．

4．（5分）若点是圆上一点，则点到直线的距离最大值为　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：圆的标准方程为，表示以为圆心，半径等于1的圆．

圆心到直线的距离为，

故圆上的点到直线的距离最大值为．

故选：．

5．（5分）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

【解答】解：因为函数，

则，由已知可得，

解得在上恒成立，

只需，因为，

当时，，

故，即实数的取值范围为，，

故选：．

6．（5分）记为等差数列的前项和，给出下列4个条件：①；②；③；④，若只有一个条件不成立，则该条件为　　

A．① B．② C．③ D．④

【解答】解：若，同时成立，则，

此时，与题意不符，

所以①②不能同时成立，③④一定成立，

由，解得，，①成立，②不成立，

故选：．

7．（5分）已知双曲线的焦点为、，其渐近线上横坐标为的点满足，则　　

A． B． C．2 D．4

【解答】解：双曲线的焦点为，，

渐近线上横坐标为的点，不妨取在第一象限，

可得，

满足，

所以，①

，②

解①得，代入②可得：，

解得．

故选：．

8．（5分）已知数列满足，，．设，若对于，都有恒成立，则的最大值为　　

A．3 B．4 C．7 D．9

【解答】解：，

，

，

，

，

，

数列是以为首相以为公比的等比数列，

，

，

，

，

，

，

对于，都有恒成立，

的最大值为3，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9．（5分）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是　　

A．当时，曲线为圆 

B．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件 

C．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 

D．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

【解答】解：当时，曲线的方程为，该曲线表示圆，故正确；

由时，曲线为焦点在轴上的椭圆，时，“曲线为焦点在轴上的双曲线”，所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，故错误；

不存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为，故不正确；

当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为，正确；

故选：．

10．（5分）已知函数，当时，有极大值，则的取值可以是　　

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：因为，

，

因为当时，有极大值，

所以有两个根，其中一个根为3，设另一个根为，且，

所以，

所以，

所以符合上述要求的一个的值为4、5、6，

故选：．

11．（5分）已知是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是　　

A． B．该数列的公差 

C． D．

【解答】解：由可得，可得，

可得，

等差数列的公差，故正确；

等差数列中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故正确；

，故错误；

，故正确．

故选：．

12．（5分）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是　　

A．的方程为 

B．当，，三点不共线时，射线是的平分线 

C．在上存在使得 

D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得

【解答】解：在平面直角坐标系中，，，点满足，

设，则，

化简可得，故错误；

当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故正确；

若在上存在点，使得，可设，即有，

化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故错误．

假设在轴上存在异于，的两定点，，使得，

可设，，可得，

化简可得，

由的轨迹方程为，可得，，

解得，或，（舍去），即存在，，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）抛物线的焦点到准线的距离等于　　．

【解答】解：抛物线化成标准方程，可得

抛物线的开口向上，且，可得．

抛物线的焦点坐标为，准线方程为：

因此抛物线的焦点到准线的距离是

故答案为：

14．（5分）在正项等比数列中，若，与的等差中项为12，则等于 　128　．

【解答】解：正项等比数列中，，所以，

又因为与的等差中项为12，所以，

设的公比为，，

则，

化简得，解得或（舍去），

所以．

故答案为：128．

15．（5分）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为 　　．

【解答】解：设圆柱的半径为，

最长母线与最短母线所在截面如图所示，

所以，，即长轴长，

短轴长，所以，

，

所以

故答案为：．

16．（5分）定义在上的函数满足，其中为自然对数的底数，（2），则满足的的取值范围是 　　．

【解答】解：

构造函数，

则，

，在上为减函数

，

而（2）且（2），

（2），

的解集为．

故满足的的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）等差数列的前项和记为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若，求的最小值．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，

依题意，

解得，所以；

（2）由（1）得，则，

所以，

因为，即，解得，

所以的最小值为100．

18．（12分）已知函数，，为常数）．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）若，且函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）．，又，

所以曲线在点，处的切线方程为；

（2）当时，

令解得，

所以，当或时，，当时，，

即在和上单调增，在上单调减，

当时，取极大值，当时，取极小值

因为函数有三个不同的零点，所以且，解得

所以，实数的取值范围是．

19．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆与抛物线在第一象限的交点为，已知．

（1）求△的面积；

（2）求抛物线的标准方程．

【解答】解：（1）由椭圆方程知，，，

设，，则，

即，

求得，

所以△的面积为．

（2）设，，．

由（1）中，得．

又，，所以．

代入抛物线方程得，所以．

所以抛物线的标准方程为．

20．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，，．

（1）求数列，的通项公式，；

（2）定义：，记，求数列的前20项和．

【解答】解：（1）由题意，当时，，

当时，，，

两式相减得，，即．

是首项为3，公比为3的等比数列．

，

设数列的公差为，

，

．

．

（2）由．

，

．

21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作两条不同的直线与椭圆分别交于点，（均异于点．若的角平分线与轴平行，试探究直线的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）由，得，所以，①

又椭圆过点，则，②，

由①②解得，，所以椭圆的标准方程为．

（2）设直线的斜率为，点，，；，

因为的平分线与轴平行，所以直线与的斜率互为相反数，则直线的斜率为．

联立直线与椭圆方程，得，

整理，得，

所以，同理可得，

所以，，

又，

所以为定值．

22．（12分）已知函数，，为自然对数的底数．

（1）当时，证明：，，；

（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，则，

当，时，，则，又因为，

所以当，时，，仅时，，

所以在，上是单调递减，所以，即．

（2），因为，所以，，

①当时，恒成立，所以在上单调递增，没有极值点．

②当时，在区间上单调递增，

因为，．

当时，时，，

所以在上单调递减，没有极值点．

当时，，所以存在，使，

当时，，，时，，

所以在处取得极小值，为极小值点．

综上可知，若函数在上存在极值点，则实数．

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