2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数，那么的值为　　A． B． C． D．2．（5分）设，若直线与直线平行，则的值为　　A．1 B． C．1或 D．3．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” “钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为　　A．钱 B．钱 C．钱 D．钱4．（5分）若抛物线与直线相交于、两点，则弦的长为　　A．6 B．8 C． D．5．（5分）函数，则不等式的解集是　　A． B． C． D．6．（5分）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　A．10 B．11 C．12 D．137．（5分）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为　　A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线8．（5分）已知函数，．若存在三个零点，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．（5分）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取　　A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知等比数列，公比为，前项和为，则下列结论一定正确的是　　A．若，，，，，则 B．若，，，，，则 C．当时，数列单调递增 D．若且，则11．（5分）已知动点在圆上，点、，则　　A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，12．（5分）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，，进行排列：（1），，，9，11，．，17，19，21，23，25，27，，，则以下结论中正确的是　　A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内 C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为 　　．14．（5分）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点，处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 　　．15．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　　．16．（5分）设数列满足，且，则　　．数列的通项　　．四、解答题17．（10分）已知函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在，上的最大值和最小值．18．（12分）已知数列满足，，且，．（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．19．（12分）我们知道：当，是圆上一点，则圆的过点的切线方程为．当，是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则方程表示直线的方程，即切点弦所在直线方程．请利用上述结论解决以下问题：已知圆的圆心在轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，．（1）求圆的方程；（2）当时，求线段的长；（3）当点在直线上运动时，求线段长度的最小值．20．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列．①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列．在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的前30项和．21．（12分）已知椭圆的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线不过点且与椭圆交于、两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．①直线、的斜率分别为，，则；②直线过定点．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，，求证：；（3）当时，恒成立，求的取值范围．
2021-2022学年江苏省南京市部分学校（天印高级中学、秦淮中学、临江高级中学等）高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知函数，那么的值为　　A． B． C． D．【解答】解：，，，故选：．2．（5分）设，若直线与直线平行，则的值为　　A．1 B． C．1或 D．【解答】解：因为直线与直线平行；所以，整理得，解得或1．故选：．3．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” “钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为　　A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【解答】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，．则，，，，成等差数列，设公差为．，．整理上面两个算式，得：，解得，．故选：．4．（5分）若抛物线与直线相交于、两点，则弦的长为　　A．6 B．8 C． D．【解答】解：抛物线方程为，，，可得焦点为，直线交轴于点，直线经过抛物线的焦点，设，，，，根据抛物线的定义可得，，所以，由抛物线与直线消去，得，根据韦达定理，得，因此，，故选：．5．（5分）函数，则不等式的解集是　　A． B． C． D．【解答】解：函数，，故在上单调递增，而，故即，解得：，故选：．6．（5分）已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：根据题意，设圆心为，点的坐标为，而该圆经过点且半径为2，则圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且，则其圆心到原点的距离的最小值为；故选：．7．（5分）在平面内，，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为　　A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【解答】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，因为，所以，，，解得，所以点的轨迹为圆．故选：．8．（5分）已知函数，．若存在三个零点，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：因为存在三个零点，所以方程有三个实数根，当时，由可得，解得，有且只有一个实数根，所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，因为当时，，，，作出函数的图象如图所示，所以有两个实数根，则．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．（5分）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，因为函数在上有极值，所以，在上有根，所以在上有变号零点，又因为，在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：．10．（5分）已知等比数列，公比为，前项和为，则下列结论一定正确的是　　A．若，，，，，则 B．若，，，，，则 C．当时，数列单调递增 D．若且，则【解答】解：对于，由等比数列通项公式得，，，，，，，，故正确；对于，当等比数列的公比为1时，始终满足，但不一定成立，故错误；对于，当，且，数列单调递减，故错误；对于，当时，等比数列的前项和为，，，故正确．故选：．11．（5分）已知动点在圆上，点、，则　　A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，【解答】解：根据题意，圆，圆心为，半径，设其圆心为，依次分析选项：对于、，点、，直线的方程为，即，圆心到直线的距离，点到直线的距离最小值为，最大值为，又由，则点到直线的距离小于6，但不一定大于2，则正确，错误；对于，过点作圆的切线，当为靠近线段的切点时，如图的位置，最小，此时，正确；对于，过点作圆的切线，当为远离线段的切点时，如图的位置，最大，此时，正确；故选：．12．（5分）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，，进行排列：（1），，，9，11，．，17，19，21，23，25，27，，，则以下结论中正确的是　　A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内 C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和，【解答】解：由题意，第个括号有个数，选项：前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故正确；选项：前10个括号内共有个数，故正确，选项：令，解得，所以2021为数列的第1011项，由上面分析可得，2021在第10个括号内，故错误，选项：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，，故正确，故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为 　　．【解答】解：根据题意，圆的圆心为，其坐标为，则，故切线的斜率，则切线的方程为，变形可得，故直线的方程为，故答案为：．14．（5分）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点，处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点，处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 　　．【解答】解：，设切点为，，则切线斜率，切线方程为，令，可得，，，，即的2次近似值为．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率　2　．【解答】解：如图，依题意可知，即可得，，设，由，可得，故，，，整理可得，，，，故答案为：2．16．（5分）设数列满足，且，则　5　．数列的通项　　．【解答】解：由题意，数列满足，所以当时，，，，解得，设，则，且，所以数列是等差数列，公差为2，首项为1，所以，即，所以，当时，可得，其中也满足，所以数列的通项公式为．故答案为：5；．四、解答题17．（10分）已知函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在，上的最大值和最小值．【解答】解：（1），，函数的图像在处的切线斜率为3，且时，有极值，，即，解得，故．（2）由（1）可得，，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在上取得极大值，在上取得极小值0，且，（2），故在，上的最大值为，最小值为0．18．（12分）已知数列满足，，且，．（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【解答】（1）证明：因为，所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以数列的通项公式为．（2）解：设，故．19．（12分）我们知道：当，是圆上一点，则圆的过点的切线方程为．当，是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则方程表示直线的方程，即切点弦所在直线方程．请利用上述结论解决以下问题：已知圆的圆心在轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，．（1）求圆的方程；（2）当时，求线段的长；（3）当点在直线上运动时，求线段长度的最小值．【解答】解：（1）由题意，设圆的标准方程为，则，解得，故圆的方程为．（2）根据题意可知，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，故弦长；（3）设，，则，又直线方程为；，故直线过定点，设圆心到直线的距离为，由，故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，线段长度的最小值为4．20．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列．①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列．在以上两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的前30项和．【解答】解：（1）因为数列为等比数列，且，，所以，又因为，所以，又，则，故等差数列的通项公式为；（2）因为，所以，，，，，，，而，，，，若选①，因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，则数列前30项和为：；若选②，因为，，在数列前30项内，，，不在数列前30项内，则数列前30项和为：．21．（12分）已知椭圆的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线不过点且与椭圆交于、两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立．①直线、的斜率分别为，，则；②直线过定点．【解答】解：（1）由条件可得，解得，所以椭圆方程为；证明：（2）选①证②：当直线的斜率存在时，设，，，，，由 得，则，由，得，即，即，所以，代入，所以，所以，解得：（舍去），，所以直线过定点；当直线斜率不存在时，设，，，所以，由 得，所以，即，解得，所以直线（不符合题意，舍去），综上：直线过定点；选②证①：由题意直线的斜率存在，设，由 得，则，所以．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，，求证：；（3）当时，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）当时，，则，由，解得，由，解得，因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由（1）可知，当时，（1），故，令，则即，所以；（3）由，，故，当时，因为，所以，因此恒成立，且的根至多一个，故在，上单调递增，所以（1）恒成立，当时，令，解得，当时，，则单调递增，当，1（时，，则单调递减，于是（1）与恒成立矛盾，综上，的取值范围为，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:10:10；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367