2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线与平行，则实数等于　　A．1 B． C．4 D．02．（5分）双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．3．（5分）已知圆过点，，圆心在轴上，则圆的方程为　　A． B． C． D．4．（5分）函数在，上单调递增，则的取值范围是　　A．， B． C． D．5．（5分）数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是　　A．1024 B．256 C．2 D．5126．（5分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为　　A． B． C． D．7．（5分）设集合，集合，，当有且仅有一个元素时，则的取值范围为　　A．或 B．或 C．或 D．或8．（5分）已知，为正数，，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）下列说法错误的是　　A．点到直线的距离为 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10．（5分）下列说法中正确的有　　A． B．已知函数在上可导，且（1），则 C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4 D．已知函数，则函数的图像关于原点对称11．（5分）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“峰值”， 是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？ 　　A．1 B．3 C．6 D．1212．（5分）已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　A．双曲线的离心率为 B．△的面积为 C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列是等差数列，若，，则　　．14．（5分）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　．15．（5分）已知双曲线的方程为，，，双曲线上存在一点，使得，则实数的最大值为 　　．16．（5分）已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为 　　．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．求：（1）弦的长；（2）△的周长．18．（12分）已知数列的首项，其前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，且，求．19．（12分）已知函数．（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；（2）讨论函数在，上的单调性．20．（12分）已知圆，是圆上一点，过作直线交圆于另一点，交轴正半轴于点，且为的中点．（1）求圆在点处的切线方程；（2）求直线的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，．点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）直线经过点，与轨迹分别交于点、，与直线交于点，求证：．22．（12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线与平行，则实数等于　　A．1 B． C．4 D．0【解答】解：直线与平行，，，故选：．2．（5分）双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其中焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为：，故选：．3．（5分）已知圆过点，，圆心在轴上，则圆的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆心，由，可得，求得，可得圆心，半径为，故圆的方程为，故选：．4．（5分）函数在，上单调递增，则的取值范围是　　A．， B． C． D．【解答】解：，函数在区间，单调递增，在区间，上恒成立，，而在区间，上单调递减，，的取值范围是：，，故选：．5．（5分）数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是　　A．1024 B．256 C．2 D．512【解答】解：数列是等比数列，是其前项之积，，，解得，．故选：．6．（5分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，分别过，作准线的垂线，交准线于，，设，由已知可得，由抛物线的定义可得，则，在直角三角形中，因为，，，所以，解得，，所以，因此抛物线的方程为．故选：．7．（5分）设集合，集合，，当有且仅有一个元素时，则的取值范围为　　A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：集合，表示以原点为圆心，半径等于2的半圆上的部分），集合表示以为圆心，半径等于的圆上，当圆经过点时，此时只有一个交点，，当圆经过点时，此时恰有两个交点，即，当圆与半圆内切时，只有一个交点，即．综上所述的取值范围为，．故选：．8．（5分）已知，为正数，，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：令，则函数在上是增函数，，，即，即（b），故，故选：．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）下列说法错误的是　　A．点到直线的距离为 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【解答】解：对于，点到直线的距离为，选项错误；对于，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，如与轴垂直的直线，所以选项正确；对于，直线与两坐标轴的交点为和，与两坐标轴围成的三角形面积是，选项错误；对于，直线过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，直线不过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，所以选项错误．故选：．10．（5分）下列说法中正确的有　　A． B．已知函数在上可导，且（1），则 C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4 D．已知函数，则函数的图像关于原点对称【解答】解：，错误，（1），（1），正确，质点的运动方程为，，该质点在时的瞬时速度是，正确，，，函数的图像关于轴对称，错误，故选：．11．（5分）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“峰值”， 是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？ 　　A．1 B．3 C．6 D．12【解答】解：因为，所以，，只有，，所以“3”是“峰值点”，其它选项不是．故选：．12．（5分）已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　A．双曲线的离心率为 B．△的面积为 C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上【解答】解：对于，设△的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，如图则，所以，则△的内心在直线上，故正确；因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，由题意可得，又，，所以可得，，解得：；△的面积，设△内切圆的半径为，则由等面积法可得，；当，都在双曲线的左，右两支上时，设，，由双曲线的定义可知，得，在△中由余弦定理，，得，△的面积，设内切圆的半径为，则，得，故错误；而不论什么情况下△的面积为，故正确．故选：．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列是等差数列，若，，则　8　．【解答】解：数列是等差数列，，，也是等差数列，又，，．故答案为：8．14．（5分）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　．【解答】解：由椭圆的方程可得，，因为过作轴垂线交椭圆于点，设在第一象限，则的横坐标为，代入椭圆的方程可得，即，又因为△为等腰直角三角形，所以，即，所以，即，解得，而椭圆中，所以，故答案为：．15．（5分）已知双曲线的方程为，，，双曲线上存在一点，使得，则实数的最大值为 　2　．【解答】解：设，因为，，，所以，整理得，所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，又因为在双曲线上，所以圆与双曲线有交点，双曲线右顶点故，所以的最大值为2，故答案为：2．16．（5分）已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为 　　．【解答】解：作出函数图像如图，由题可知图像为直线且恒过，则当时，图像与图像只有两个交点，则，当时，，设其过点的切线的切点为，，则，且，解得，舍去），当时，，切线方程为，则则由图可得若与图像有3个不同交点，只需，即，故答案为：．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．求：（1）弦的长；（2）△的周长．【解答】解：（1）双曲线的右焦点为，设，，，，直线的方程可设为，代入方程得，，，，，，，；（2）由（1）可知，，，又，则△的周长为．18．（12分）已知数列的首项，其前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，且，求．【解答】解：（1）因为，所以，即，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为．（2），所以，由，得，解得或，因为，所以．19．（12分）已知函数．（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；（2）讨论函数在，上的单调性．【解答】解：（1）当时，，，（1），又（1），函数在，（1）处的切线方程为；（2），，，，当时，，在，上单调递减；当时，由，得，若，即，在，上恒成立，单调递增；若，即，在，上恒成立，单调递减；若，即，当，时，，当，时，，的减区间为，，增区间为，；综上所述，当时，在，上单调递减；当时，的减区间为，，增区间为，；当时，在，上单调递增．20．（12分）已知圆，是圆上一点，过作直线交圆于另一点，交轴正半轴于点，且为的中点．（1）求圆在点处的切线方程；（2）求直线的方程．【解答】解：（1）圆的标准方程为，圆心，因为直线的斜率为，所以圆在点处的切线斜率为2，所以切线方程为，即．（2）由题意设，因为为的中点，所以，将点代入圆的方程得，解得或，当时，，此时的方程为；当时，，此时的方程为，所以的方程为或．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，．点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）直线经过点，与轨迹分别交于点、，与直线交于点，求证：．【解答】解：（1）由椭圆定义得，点的轨迹为以点，为焦点，长轴长为4的椭圆，设此椭圆的标准方程为，则由题意得，所以的方程为．（2）证明：设点、的坐标分别为，，，，由题意知直线的斜率一定存在，设为，则直线的方程可设为，与椭圆方程联立可得，由韦达定理知所以，，又因为，，所以，又由题知，所以，所以，所以．22．（12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为函数，所以，所以当时，；当时，；即在上单调递增，在上单调递减．由上可知，的极大值为（1），无极小值．（2）由对恒成立可变形为：对恒成立．令，则对恒成立．当时，恒成立；当时，，使得，与对恒成立矛盾；当时，易知恒成立．考虑直线方程．先证明函数的图象始终在直线的下方，即证明：．构造函数，则，令，则，于是可得：在上单调递减，在，上单调递增，且当时，恒成立，．故可得当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增．从而可知的最小值为，即，即恒成立．综上，实数的取值范围为，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:09:15；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367