2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A．0 B． C． D．

2．（5分）已知平面的一个法向量为，则所在直线与平面的位置关系为　　

A． B． 

C．与相交但不垂直 D．

3．（5分）若数列是等差数列，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上一点，过点作于．若是边长为2的正三角形，则　　

A． B． C．1 D．2

5．（5分）在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

6．（5分）椭圆上的点到直线的最短距离为　　

A． B． C． D．

7．（5分）若数列满足，则称数列为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列的前项和满足，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知线段的端点在直线上，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点的横坐标的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线右支交于点．若，且△有一个内角为，则双曲线的离心率可能是　　

A． B．2 C． D．

10．（5分）如图，已知正方体的棱长为，则下列说法正确的有　　

A． 

B．，，都有 

C．，，使得 

D．若平面，则直线与平面所成的角大于

11．（5分）如图1，曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是　　

A．曲线只有两条对称轴 

B．曲线仅经过1个整点（即横纵坐标均为整数的点） 

C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 

D．过曲线上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

12．（5分）已知数列满足，其中，0，，下列说法正确的是　　

A．当时，数列是等比数列 

B．当时，数列是等差数列 

C．当时，数列是常数列 

D．数列总存在最大项

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 　　．

14．（5分）小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，，，，双曲线的焦点位于直线上，则该双曲线的焦距为 　　．

15．（5分）已知数列满足，且，，则的值为 　　．

16．（5分）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，以为圆心的圆交线段于，两点（从上到下依次为，，，，若，则该圆的半径的取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与直线的交点在第一、三象限的角平分线上．

（1）求实数的值；

（2）若点在直线上且，求点的坐标．

18．（12分）已知函数，从下列两个条件中选择一个使得数列成等比数列．

条件1：数列是首项为4，公比为2的等比数列；

条件2：数列是首项为4，公差为2的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，点为棱的中点，二面角的余弦值为．

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于，两点．

（1）若，求直线的方程；

（2）当时，若对任意满足条件的实数，都有，为常数），求的值．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点是椭圆上的一动点，且在第一象限．记△的面积为，当时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，，的延长线分别交椭圆于点，，记△和△的面积分别为和．

（ⅰ）求证：存在常数，使得成立；

（ⅱ）求的最大值．

2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A．0 B． C． D．

【解答】解：直线，

，即斜率不存在，

直线的倾斜角为．

故选：．

2．（5分）已知平面的一个法向量为，则所在直线与平面的位置关系为　　

A． B． 

C．与相交但不垂直 D．

【解答】解：平面的一个法向量为，

，，

所在直线与平面的位置关系为．

故选：．

3．（5分）若数列是等差数列，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为数列是等差数列，，

所以，，

所以该等差数列的公差，

所以，

则．

故选：．

4．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上一点，过点作于．若是边长为2的正三角形，则　　

A． B． C．1 D．2

【解答】解：如图所示，是边长为2的正三角形，

所以，所以在中，计算，

所以．

故选：．

5．（5分）在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是　　

A． B． C． D．

【解答】解：平行六面体中，

．

故选：．

6．（5分）椭圆上的点到直线的最短距离为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由是椭圆上的动点．

可设，，

由点到直线的距离公式可得

，

，，

，，

，，

最短距离．

故选：．

7．（5分）若数列满足，则称数列为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列的前项和满足，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为

所以当时，

两式相减可得，即，所以数列是以公比的等比数列

当时，

所以，

则，

，

由“半差递增”数列的定义可知，

，

化简可得，

解不等式可得，

即实数的取值范围为，

故选：．

8．（5分）已知线段的端点在直线上，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点的横坐标的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设线段中点，，，，，

由题意知：，，

，，

点在圆上运动，

，

线段的中点的轨迹方程为，

即曲线是以，为圆心，以1为半径的圆，

若曲线与圆有两个公共点，

则，

即，

平方整理得，，

即，解得，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线右支交于点．若，且△有一个内角为，则双曲线的离心率可能是　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：过的直线与双曲线右支交于点，所以，又，

所以，，

当时，由余弦定理有，

所以，可得，

当时，由余弦定理有，

所以，整理得，所以，

故选：．

10．（5分）如图，已知正方体的棱长为，则下列说法正确的有　　

A． 

B．，，都有 

C．，，使得 

D．若平面，则直线与平面所成的角大于

【解答】解：由，得，故错误；

，故正确；

当在点时，，显然平行，所以，故正确；

平面，则为平面的一个法向量，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，0，，

所以，，，，，，

设直线与平面所成的角为，

则，，

所以直线与平面所成的角小于，故错误；

故选：．

11．（5分）如图1，曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是　　

A．曲线只有两条对称轴 

B．曲线仅经过1个整点（即横纵坐标均为整数的点） 

C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 

D．过曲线上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

【解答】解：根据图形可得，曲线有四条对称轴，，，即错；

由，可得，即圆与曲线相切于点，，，，，

，，内切于圆，故曲线上任意一点到坐标原点的距离的最大值为，即正确；

又圆位于第一象限的整点只有，但，所以曲线在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线在二三四象限也不过整点；又显然在曲线上，所以曲线只过一个整点，故正确；

设曲线上的任一点的坐标为，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积；由可得，当且仅当时，等号成立，所以，即正确．

故选：．

12．（5分）已知数列满足，其中，0，，下列说法正确的是　　

A．当时，数列是等比数列 

B．当时，数列是等差数列 

C．当时，数列是常数列 

D．数列总存在最大项

【解答】解：数列满足，其中，0，，

对于，当时，，，

数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；

对于，当时，，，

，

数列是等差数列，数列不是等差数列，故错误；

时，，，

是等差数列，又，，

从而是常数，故正确；

由以上讨论知时，最大值是，

时，，，

时，，数列最大值为，

时，，，

即，，有最大项，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为 　，，　．

【解答】解：根据题意，设要求向量为，且，，，

又由为单位向量，则，

又由，解可得：，

故要求向量为，，；

故答案为：，，．

14．（5分）小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，，，，双曲线的焦点位于直线上，则该双曲线的焦距为 　　．

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设该双曲线的方程为．因为渐近线相互垂直，所以．

由题意知，解得，，

故该双曲线的焦距为．

故答案为：．

15．（5分）已知数列满足，且，，则的值为 　　．

【解答】解：数列满足，且，，

，

，

，

，

，

，

是周期为6的周期数列，

，

．

故答案为：．

16．（5分）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，以为圆心的圆交线段于，两点（从上到下依次为，，，，若，则该圆的半径的取值范围是 　，　．

【解答】解：由抛物线的焦的方程可得焦点，设以为圆心的圆的半径为，

可知，，，

设直线的方程为：，，，，，则，，

联立，整理可得：，

可得，，

，，

，

即，则，当且仅当时取等号，

所以，

故答案为，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与直线的交点在第一、三象限的角平分线上．

（1）求实数的值；

（2）若点在直线上且，求点的坐标．

【解答】解：（1）根据题意，第一、三象限的角平分线为，

则，解可得，即的坐标为，

点也在直线上，则有，

解可得；

（2）根据题意，由（1）的结论，，即直线的方程为上，

设的坐标为，，，

若，则，

变形可得：，解可得，即的坐标为．

18．（12分）已知函数，从下列两个条件中选择一个使得数列成等比数列．

条件1：数列是首项为4，公比为2的等比数列；

条件2：数列是首项为4，公差为2的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解答】解：（1）若选择条件1：数列是首项为4，公比为2的等比数列，

则，即，

可得，不是常数．

若选择条件2：数列是首项为4，公差为2的等差数列，

则，即，

可得，，数列成等比数列．

数列的通项公式为；

（2），

，

，

两式作差，可得

，

则．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，点为棱的中点，二面角的余弦值为．

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）取中点，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

设，则，0，，，0，，，2，，

，1，，，，，，2，，，，，

设平面的一个法向量为，，，

由，取，得，，；

取平面的一个法向量为，0，．

由题意，得，，解得，

因为点为棱的中点，所以；

（2），，，，1，，

设异面直线与所成角为，

则，；

（3）由（1）知平面的一个法向量为，，，

又，1，，

设直线与平面所成角为，

则．

20．（12分）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由，假设其变形为，

则有，

所以，

又．

所以，即；

（2）由（1），

所以，

令，

则，

所以，所以是递减数列，

所以，

所以使得不等式 一切正整数都成立，

则，

即，

因为为正实数，所以．

21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于，两点．

（1）若，求直线的方程；

（2）当时，若对任意满足条件的实数，都有，为常数），求的值．

【解答】解：（1）因为，，所以，

则直线方程为，设，，，，

联立可得，

则△，得，且，

因为，所以，，，，

所以，则，

所以，解得，

所以直线方程为，即；

（2）设，，，，

联立可得，

则△，得，

且，，

所以，

，

因为，所以，可得，

即，

所以，

即，

解得或，

当时，直线恒过点，此时不存在，

故本题应只有唯一解，

此时，，

即有．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点是椭圆上的一动点，且在第一象限．记△的面积为，当时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，，的延长线分别交椭圆于点，，记△和△的面积分别为和．

（ⅰ）求证：存在常数，使得成立；

（ⅱ）求的最大值．

【解答】解：（1）联立，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

所以，

解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）设，，，，，，，，

直线与直线的斜率均不为零，

因为，，

设直线的方程为，

直线的方程为，

联立，得，

所以，

因为，，

所以，

所以，

由，得，

即，

所以，，

，

所以，

所以，

所以，

，

，

所以

（ⅰ）证明：，

所以存在常数，使得成立．

（ⅱ）

，

所以，

当且仅当，时，取等号，

所以的最大值为．

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