2021-2022学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.1．（5分）直线的倾斜角为　　A． B． C． D．2．（5分）抛物线的准线方程为　　A． B． C． D．3．（5分）若圆与直线相切，则实数的值为　　A． B．或3 C． D．1或4．（5分）观察：则第行的值为　　A． B． C． D．5．（5分）圆与圆公切线的条数为　　A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）等比数列的前项和为，前项积为，，，当最小时，的值为　　A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，四边形是梯形，，且，则△的面积为　　A． B． C． D．8．（5分）已知函数满足对于恒成立，，，，则下列不等关系正确的是　　A．（c）（a） B．（b）（c） C．（1）（c） D．（a）（b）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数的定义域为，，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有　　A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值10．（5分）下列说法正确的有　　A．直线恒过定点 B．直线，，若，则 C．圆与圆的公共弦长为 D．若圆，则过点的最短弦所在直线方程为11．（5分）已知双曲线，点是上任意一点，则下列结论正确的有　　A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为4 C．左、右焦点分别为，，若，则 D．若左、右顶点分别为，，当与，不重合时，直线，的斜率之积为12．（5分）如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为，，，，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．（5分）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 　　．14．（5分）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2022项的和为 　　．15．（5分）曲线在处的切线斜率为 　　．16．（5分）已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知两条直线，．设为实数，分别根据下列条件求的值．（1）；（2）直线在轴、轴上截距之和等于6．18．（12分）已知圆．（1）若直线与圆相交于，两点，弦的中点为，求直线的方程；（2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程．19．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．数列的前项的和为，且满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（12分）已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．22．（12分）已知点为抛物线的焦点，点，在抛物线上，的面积为1．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点．
2021-2022学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.1．（5分）直线的倾斜角为　　A． B． C． D．【解答】解：直线 即，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则，且，故，故选：．2．（5分）抛物线的准线方程为　　A． B． C． D．【解答】解：抛物线的标准方程为，，开口朝上，准线方程为，故选：．3．（5分）若圆与直线相切，则实数的值为　　A． B．或3 C． D．1或【解答】解：圆与直线相切，圆心到直线的距离，解得或．故选：．4．（5分）观察：则第行的值为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可知：第行为，故选：．5．（5分）圆与圆公切线的条数为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依题意，圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径为，圆心距为，故圆，相离，故两圆有4条公切线，故选：．6．（5分）等比数列的前项和为，前项积为，，，当最小时，的值为　　A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：等比数列的前项和为，前项积为，，，当时，，，两式相除得，将代入，解得，，，，，其中单调递增，时，取得最小值，当最小时，的值为4．故选：．7．（5分）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，四边形是梯形，，且，则△的面积为　　A． B． C． D．【解答】解：由椭圆，可得，，所以，所以，，，，设，，，，因为，且，所以，即，，，因为，在椭圆上，所以，解得，，所以，故选：．8．（5分）已知函数满足对于恒成立，，，，则下列不等关系正确的是　　A．（c）（a） B．（b）（c） C．（1）（c） D．（a）（b）【解答】解：令，则，故函数是上的单调递增函数，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，即，从而（1）（b）（a）（c），即，据此可得：（a）（c），（b）（c），（1）（c），（b）（a）．故选：．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数的定义域为，，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有　　A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值【解答】解：由导函数的图象可知，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以在处取得极小值，无极大值，故正确，错误．故选：．10．（5分）下列说法正确的有　　A．直线恒过定点 B．直线，，若，则 C．圆与圆的公共弦长为 D．若圆，则过点的最短弦所在直线方程为【解答】解：对于选项，当时，，所以直线过定点，故选项正确；对于选项，若，则，解得：或，故选项错误；对于选项，由，两式相减并化简得，又因为圆的圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故正确；对于选项，圆的圆心设为则，，所以过点的最短弦所在直线方程为，即，故选项错误．故选：．11．（5分）已知双曲线，点是上任意一点，则下列结论正确的有　　A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为4 C．左、右焦点分别为，，若，则 D．若左、右顶点分别为，，当与，不重合时，直线，的斜率之积为【解答】解：双曲线，的，，，则，故错误；焦点，到渐近线的距离为，故正确；，，又，或（舍去），故正确；设，可得，又，，可得，所以不正确；故选：．12．（5分）如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为，，，，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．【解答】解：由图中数据可得，，由题意可得，对于；故正确；对于，可得，，故正确；对于，，，故错误；对于：若，，，，显然成立，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．（5分）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 　　．【解答】解：设，由得，整理得，点的轨迹方程为．故答案为：．14．（5分）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2022项的和为 　　．【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，因此，所以，所以数列的前2022项的和为．故答案为：．15．（5分）曲线在处的切线斜率为 　　．【解答】解：的导数为，可得在处的切线斜率为．故答案为：．16．（5分）已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 　　．【解答】解：抛物线的标准方程为，则抛物线的焦点为，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，设，，，设的倾斜角为，则，当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，△，，，双曲线的实轴长为，，，即，双曲线的离心率为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知两条直线，．设为实数，分别根据下列条件求的值．（1）；（2）直线在轴、轴上截距之和等于6．【解答】解：（1），，，，，，当时，，，此时，当时，，，此时，重合，．（2），令，则；令，则，直线在轴、轴上截距之和等于6，，解得．18．（12分）已知圆．（1）若直线与圆相交于，两点，弦的中点为，求直线的方程；（2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程．【解答】解：（1）圆，得圆心，半径，直线的斜率：，直线的斜率为，有，解得．所求直线的方程为：．（2）直线被圆截得的弦为直径的圆经过圆心，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为．设直线方程为，则，解得或，直线的方程为：或．19．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．数列的前项的和为，且满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）设数列公差为，由，，成等比数列有：，解得：．所以．数列，当时，即，解得：．当时，有，所以，得：，又．所以数列为以为首项，公比为的等比数列．所以数列的通项公式为：．（2）因为，即，，所以，，，化简得：．20．（12分）已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，所以，椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得，所以，解得：，，所以柯圆的标准方程为：．方法二：由椭圆定义；，，得到：，即，又，得，所以椭圆的标准方程为：．（2）证明：设直线的方程为：．得，，设过点且平行于的直线方程：，．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1），定义域：，，当时，恒成立，在上单调递增，当时，在递减，在递增；（2）当时，恒成立，在上单调递增，所以至多存一个零点，不符题意，故舍去．当时，在递减，在递增；所以有极小值为（a），构造函数（a），，，恒成立，所以（a）在单调递减，注意到（1），，①当时，（a），则函数至多只有一个零点，不符题意，舍去；②当时，函数图象连续不间断，的极小值为（a），，又函数在单调递减，所以在上存在唯一一个零点；，，，令，构造函数，，恒成立，在单调递增，所以（2），即，所以，函数在单调递增，所以在上存在唯一一个零点；当时，函数怡有两个零点，即在上各有一个零点．综上，函数有两个不同的零点，实数的取值范围为．22．（12分）已知点为抛物线的焦点，点，在抛物线上，的面积为1．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点．【解答】解：（1）因为点在抛物线上，所以，即，，因为，故解得，，抛物线的标准方程为；证明：（2）设直线的方程为，，，，，，，由，得，所以，，由（1）可知，著时，，此时直线的方程为，若时，因为，，三点共线，所以，即，又因为，，，化简可得，又，进而可得，，整理得，，因为，所以，此时直线的方程为，直线恒过定点，又直线也过点，综上：直线过定点．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:10:31；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367