2021-2022学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）已知直线与直线垂直，则实数的值为　　

A． B． C．1 D．1或

2．（5分）在平行六面体中，与的交点为，设，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知点是，4，在坐标平面内的射影，则　　

A． B． C．5 D．

5．（5分）已知圆，圆，则两圆的位置关系为　　

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

6．（5分）已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是　　

A．或 B． C． D．或

7．（5分）椭圆的一个焦点为，过原点作直线（不经过焦点与椭圆交于，两点，若的面积是20，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用表示第个月的兔子的总对数，则有，．设数列满足：，则数列的前36项和为　　

A．11 B．12 C．13 D．18

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）关于无穷数列，以下说法正确的是　　

A．若数列为正项等比数列，则也是等比数列 

B．若数列为等差数列，则也是等差数列 

C．若数列的前项和为，且是等差数列，则为等差数列 

D．若数列为等差数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等差数列

10．（5分）关于曲线，下列说法正确的是　　

A．曲线围成图形的面积为 

B．曲线所表示的图形有且仅有2条对称轴 

C．曲线所表示的图形是中心对称图形 

D．曲线是以为圆心，2为半径的圆

11．（5分）正四棱锥所有棱长均为2，为正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则　　

A． 

B．直线与夹角的余弦值为 

C．平面平面 

D．直线与平面所成角的余弦值为

12．（5分）已知点在双曲线上，，是双曲线的左、右焦点，若△的面积为20，则下列说法正确的有　　

A．点到轴的距离为 B． 

C．△为钝角三角形 D．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上）

13．（5分）已知，，，是直线的方向向量，，2，是平面的法向量，若，则　　．

14．（5分）已知抛物线上的点，到焦点的距离为2，则　　．

15．（5分）已知，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点．若，则双曲线的方程为 　　．

16．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）．如前四个四棱锥数为

第个四棱锥数为．中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，若一个“三角垛”共有20层，则第6层有 　　个球，这个“三角垛”共有 　　个球．

四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）定义：设，，是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组，，为向量在基底，，下的坐标．

已知，，是空间的单位正交基底，，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，2，．

（1）求向量在基底，，下的坐标；

（2）求向量的模．

18．（12分）已知圆，圆与轴交于，两点．

（1）求直线被圆所截得的弦长；

（2）圆过点，，且圆心在直线上，求圆的方程．

19．（12分）已知等差数列的前项和为，数列满足：点在曲线上，，___，数列的前项和为．

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答．

（1）求数列，的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得，且？若存在，求出满足题意的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，，，且过点，，椭圆的上、下顶点分别为，，右顶点为，直线过点且垂直于轴．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

21．（12分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为正方形，且平面平面．

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求平面与平面夹角的正弦值．

22．（12分）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线的准线上，，．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的最大值．

2021-2022学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）已知直线与直线垂直，则实数的值为　　

A． B． C．1 D．1或

【解答】解：直线与直线垂直，

，求得，

故选：．

2．（5分）在平行六面体中，与的交点为，设，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，，，

，，，，

，

故选：．

3．（5分）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设点关于直线的对称点是，

则，解得：，

故选：．

4．（5分）已知点是，4，在坐标平面内的射影，则　　

A． B． C．5 D．

【解答】解：点是点，4，在坐标平面内的射影，

，4，，

则．

故选：．

5．（5分）已知圆，圆，则两圆的位置关系为　　

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【解答】解：的圆心为，半径，

的标准方程为，圆心为，半径，

两圆的圆心距，，

故两圆相交，

故选：．

6．（5分）已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是　　

A．或 B． C． D．或

【解答】解：是2与8的等比中项，可得，

则圆锥曲线是椭圆时为：的离心率：，

圆锥曲线为双曲线时，，它的离心率为：．

故选：．

7．（5分）椭圆的一个焦点为，过原点作直线（不经过焦点与椭圆交于，两点，若的面积是20，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：椭圆，，，，则的焦点分别为和，，

不妨取．

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，

，不符合题意；

②可设直线的方程，

联立方程，可得，

，，

的面积为，

．

故选：．

8．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，如果用表示第个月的兔子的总对数，则有，．设数列满足：，则数列的前36项和为　　

A．11 B．12 C．13 D．18

【解答】解：由奇数奇数偶数，奇数偶数奇数可知，数列中，，，，，为偶数，其余项都为奇数，

前36项共有12项为偶数，

数列的前36项和为，

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）关于无穷数列，以下说法正确的是　　

A．若数列为正项等比数列，则也是等比数列 

B．若数列为等差数列，则也是等差数列 

C．若数列的前项和为，且是等差数列，则为等差数列 

D．若数列为等差数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等差数列

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若数列为正项等比数列，则，则有，即也是等比数列，正确；

对于，设，数列为等差数列，但不是等差数列，错误；

对于，数列的前项和为，且是等差数列，设其公差为，则，变形可得，不一定为等差数列，错误；

对于，若数列为等差数列，设其公差为，依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列为，

有，则组成的新数列一定是等差数列，正确；

故选：．

10．（5分）关于曲线，下列说法正确的是　　

A．曲线围成图形的面积为 

B．曲线所表示的图形有且仅有2条对称轴 

C．曲线所表示的图形是中心对称图形 

D．曲线是以为圆心，2为半径的圆

【解答】解：曲线，画出图形，

如图所示：

对于，故正确；

结合图像，显然错误，正确，错误；

故选：．

11．（5分）正四棱锥所有棱长均为2，为正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则　　

A． 

B．直线与夹角的余弦值为 

C．平面平面 

D．直线与平面所成角的余弦值为

【解答】解：对于，因为面，，分别为，中点，

所以，且，

又因为，，

所以不会平行于，故错误；

对于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，0，，，0，，，0，，，，，

，，，，，，

直线与夹角的余弦值为：

，故正确；

对于，由题意有，

又，

，，

，平面，

所以平面平面，故正确；

对于，，0，，

，，，，0，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设直线与平面所成角为，

则，

直线与平面所成角的余弦值为，故正确．

故选：．

12．（5分）已知点在双曲线上，，是双曲线的左、右焦点，若△的面积为20，则下列说法正确的有　　

A．点到轴的距离为 B． 

C．△为钝角三角形 D．

【解答】解：由双曲线方程得，，则，

由△的面积为20

得，得，即点到轴的距离为4，故错误，

将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，

则，

由双曲线的定义知，

则，

则，故正确，

在△中，，

则，

则△为钝角三角形，故正确，

，

则错误，

故正确的是，

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上）

13．（5分）已知，，，是直线的方向向量，，2，是平面的法向量，若，则　36　．

【解答】解：，

，

，解得，

．

故答案为：36．

14．（5分）已知抛物线上的点，到焦点的距离为2，则　2　．

【解答】解：抛物线上的点，到焦点的距离为2，

由抛物线的定义可得，，解得．

故答案为：2．

15．（5分）已知，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点．若，则双曲线的方程为 　　．

【解答】解：延长与，交于，连接，

由题意可得为边的垂直平分线，

则，

且为的中点，，

由双曲线的定义可得，

则，又，所以，

即，，

又双曲线，知，

所以，所以双曲线的方程为．

故答案为：．

16．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）．如前四个四棱锥数为

第个四棱锥数为．中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，若一个“三角垛”共有20层，则第6层有 　21　个球，这个“三角垛”共有 　　个球．

【解答】解：由题意可知，，，，，，

故，

所，

所以

．

故答案为：21；1540．

四、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）定义：设，，是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组，，为向量在基底，，下的坐标．

已知，，是空间的单位正交基底，，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，2，．

（1）求向量在基底，，下的坐标；

（2）求向量的模．

【解答】解：向量在基底下的坐标为，2，，则，

（1）所以向量在基底下的坐标为，，，

（2）模为．

18．（12分）已知圆，圆与轴交于，两点．

（1）求直线被圆所截得的弦长；

（2）圆过点，，且圆心在直线上，求圆的方程．

【解答】解：（1）圆，

，即圆心为，半径，

直线，即，

圆心到直线的距离，

由垂径定理可得，直线被圆所截得的弦长为．

（2）设，，，，

圆，圆与轴交于，两点，

，

则，，

圆心的横坐标为，

圆心在直线上，

圆心为，

半径，

故圆的方程为．

19．（12分）已知等差数列的前项和为，数列满足：点在曲线上，，___，数列的前项和为．

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答．

（1）求数列，的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得，且？若存在，求出满足题意的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）点在曲线上，，

，

设等差数列的公差为，

若选①，

则，解得，

；

若选②，

则，，

，解得，

；

若选③，

则，

，即，

，

；

（2）由（1）可知，

，

，

假设存在正整数，使得，且，

，即，此不等式组无解，

不存在正整数，使得，且．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，，，且过点，，椭圆的上、下顶点分别为，，右顶点为，直线过点且垂直于轴．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点，试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上，设椭圆，

记，，则，，

于是，则，

又，所以，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，，由椭圆的方程可知，，，直线，

则直线，令得，

直线，令得，

因为点在第一象限，所以，，

则，

又因为，即，所以．

21．（12分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为正方形，且平面平面．

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求平面与平面夹角的正弦值．

【解答】（1）证明：过作于，，，

因为四边形为正方形，所以，又因为平面平面，所以平面，建系如图，

，，，，，，，0，，

，，，，，，

因为，所以．

（2）解：，，，，0，，

，，，，，，

令，，，

因为，，所以是平面的法向量，

所以点到平面的距离为．

（3）解：平面的法向量是，0，，由（2）知平面的法向量为，，，

设平面与平面夹角为，，，

，．

22．（12分）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线的准线上，，．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的最大值．

【解答】解：（1）当时，即，由题意可得，

因为抛物线的焦点为，准线方程为，

设，，，，直线的方程为，

联立，整理可得：，

显然△，①，②，，

由，则，，可得③，

①③联立可得，，代入②中可得，

解得，

由抛物线的性质可得，

所以的值为；

（2）由（1）可得的中点，由，则④，

同（1）的算法：①②④联立，因为，

所以，

令，，

则函数先减后增，所以或时，最大且为，此时最大，且它的最大值为，

所以的范围，，

直线的方程为：，令，可得，

即，

因为，而，

所以的最大值为．

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