考点02 常用逻辑用语5种常见考法归类（解析版）

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考点一 充分条件与必要条件的判断
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
考点五 根据命题的真假求参数
1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
2．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
3．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
4．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
5.常见的一些词语和它的否定词如下表
6.全称量词命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
7．存在量词命题真假的判断方法
要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题．
8.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法汇总
9.命题的否定
（1）含有一个量词的命题的否定
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
（3）命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
10.根据命题的真假求参数
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
①，；
②，；
③，；
④，.
考点一 充分条件与必要条件的判断
1．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】，即
解得，
，
所以推不出，推不出，
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．【多选】（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
4．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得：，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【详解】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，
当时，,符合题意；
当时，有，即，解为，
∴：．又：，
设，则是的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
5．（2023·山东日照·统考二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可.
【详解】因为定义域上单调递减，故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；
又，满足必要性，
故选：C
6．（2023·安徽·校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
7．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）若，则“”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】因为，则，且，所以，，成等比数列，故前者可以推出后者，
若，，成等比数列，举例，则不满足，故后者无法推出前者，
所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】因为且，可得，解得或，
又因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.
【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；
当时，，即，可得或，必要性不成立
故选：A．
10．（2023·北京丰台·统考二模）已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立.
【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以，
其中，
因为在上单独递增，所以，充分性成立，
若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立.
故选：A
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，
解得，，
结合是区间，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
13．（2023·天津和平·统考二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由，推不出，排除AB；
由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
14．（2023·全国·高三专题练习）命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．
【详解】命题”为假命题，命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，，故方程的解得：，
故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意.
故选：B
15．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
16．（2023·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
17．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用举例说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D.
【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；
B：若，取，则不成立，故B不符题意；
C：函数在上单调递增，
由，得，故C不符题意；
D：函数在R上单调递增，
由，得；由，得，
所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.
故选：D.
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
18．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“不等式成立”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【详解】解：由得，
是不等式成立的充分不必要条件，
满足，且等号不能同时取得，
即，
解得，
故选：C．
19．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解.
【详解】由题意可得：，或，
若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以.
故选：A.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.
【答案】
【分析】先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.
【详解】由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分条件，.
（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.
故答案为：中任何一个均可.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件得到，即可得到答案.
【详解】，解得，，
因为是的充分不必要条件，
所以，即.
故选：A
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.
【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．
设．
是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.
23．（2023·全国·高三专题练习）如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式，得到，结合题干条件得到是的真子集，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
24．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根据集合并集结果有即可求参数a的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.
【详解】由题设，，，
若，则，故，可得.
所以是的充要条件.
故选：B
25．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A；（2）对集合B中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.
【详解】（1）若选①：
，
，
所以，
，
，
故.
若选②：
，
所以，
，
，
故.
若选③：
，
，
所以，
，
，
故.
（2）由（1）知，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，
（i）若，即，
此时，
所以
等号不同时取得，
解得.
故.
（ii）若，则，不合题意舍去；
（iii）若，即，
此时，
等号不同时取得，
解得.
综上所述，a的取值范围是.
26．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)或
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果；
（2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：由不等式，解得，可得
当时，不等式，解得，即，
可得或，
所以或.
（2）解：由不等式，解得，
所以.
若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，，合乎题意；
若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.
当时，，则，合乎题意；
若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
28．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，构造函数，所以在区间上，递减，在上，递增.所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即.所以A选项正确.
对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.
对于C选项，当时，，所以C选项不正确.
对于D选项，当时，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.
故选：A
29．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）下列命题中，真命题是（ ）
A．，
B．，
C．“”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定为“，”
【答案】C
【分析】运用指数幂与根式互化分析选项A即可，举反例可分析选项B，解指数不等式可分析选项C，运用含有一个量词的命题的否定可分析选项D.
【详解】对于选项A，因为，当时，恒成立，所以，故A项错误；
对于选项B，当时，，故B项错误；
对于选项C，因为，是的必要不充分条件，故C项正确；
对于选项D，命题“”的否定为“”，故D项错误.
故选：C.
30．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
【答案】C
【分析】由全称量词，特称量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】命题为假命题，，必有，所以，
命题为真命题.
故选：C.
31．（2023·河北·高三学业考试）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．，有B．，有
C．，使得D．，使得
【答案】B
【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可．
【详解】，，
当⫋时，，使得，故A错误；
，，必有，即，必有，故B正确；
由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；
当时，不存在，使得，故D错误，
综上只有B是正确的．
故选：B．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：，，则该命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：C.
33．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题“，”的否定是，.
故选：C.
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
34．（2023·全国·高三专题练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
故选：A.
35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.
【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
36．（2023·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.
故选：C
37．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知命题的否定为“”,则下列说法中正确的是（ ）
A．命题为“,”且为真命题
B．命题为“,”且为假命题
C．命题为“,”且为假命题
D．命题为“,”且为真命题
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.
【详解】∵命题的否定为特称命题,
∴:,,排除AD;
因为当时,,
∴为假命题,排除B.
故选:C.
38．（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
39．（2023·全国·高三专题练习）命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”.
故选：B
考点五 根据命题的真假求参数
40．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解.
【详解】命题“”是真命题，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A.
41．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
42．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.
【详解】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
43．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.
【详解】，函数的最大值是，
根据命题是真命题可知，，即.
故选：A
44．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
45．（2023·河南·统考模拟预测）设命题：，.若是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据是假命题，得到是真命题，利用恒成立求解.
【详解】解：因为是假命题，
所以是真命题，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
46．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
47．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
48．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．
易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．
故选：D．
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
p⇒ / q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且q p
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
命题
命题的否定