考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类（解析版）

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考点一 比较两个数(式)的大小
考点二 不等式的性质及应用
考点三 求代数式的取值范围
考点四 不等式的证明
考点五 不等式的实际应用
考点六 不等式的综合问题
1、比较两数(式)大小的方法
注：比较两式大小还可用函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
2、不等式的基本性质
3、分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)假分数性质：eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
4、利用不等式的性质判断正误的2种方法
利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
5、利用待定系数法求代数式的取值范围
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
已知M10，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由不等式的性质，先得到，两边同时+1，即得证；
（2）由不等式的性质，先得到，两边乘以c,可得，两边同时-1，可得，再两边取倒数，即得证.
【详解】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，
∴＋1≥＋1，∴≤.
（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴
又∵c>0，∴，∴，
又c－a>0，c－b>0，∴
.
28．（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
(1)
证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
(2)
解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
29．（2022·全国·校联考模拟预测）设a，b，c都是正数，，且的最小值为1．
(1)求的值；
(2)证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见详解．
【分析】（1）由结合最小值即可求解结果；
（2）结合（1）结果可得，讨论大小即可证明结论．
(1)
，
因为a，b，c都是正数，且的最小值为1，所以．
(2)
．
若时，，，
若时，，，所以．
同理可证，，所以．
故．
考点五 不等式的实际应用
30．（2023·北京·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
31．（2023·全国·高三专题练习）近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济B．方案二更经济
C．两种方案一样D．条件不足，无法确定
【答案】B
【分析】设第一次价格为，第二次价格为，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，
方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，
方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，
所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，
所以方案二更经济.
故选：B
32．（2023·全国·高三专题练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．
【答案】 16 1
【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
33．（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【答案】(1)小时
(2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
考点六 不等式的综合问题
34．（2023·上海·高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】根据题意，，可得，，
且，，所以将用和表示，即可求最值.
【详解】因为，对任意，有，
所以，，即，，
所以

，
当，时最大为，
此时最小为，
所以的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，有，可知，，由，可得，，
所以可以用和表示，再配方，根据平方数的性质求最值.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足且成等比数列，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，通过求导可得到，再通过正数成等比数列，可得到，利用作商法可得到即，即可得到答案
【详解】令，则，
当时，，单调递增，所以，所以，故，
因为正数成等比数列，所以即，故，
所以，故，
综上所述，，
故选：D
36．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.
【详解】令，
，
，可以判断在上单调递增，
，
所以，
，
所以，
又因为，，
所以，即，所以，
故选：D.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.
【详解】由题意得，即，则，则，
令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在上单调递减，
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故此时，，故C,D选项错误，
时，，
，且，故A错误,
下面严格证明当时，，，
根据函数在上单调递增，且，
则当时，有，
，，
下面证明：，
要证：，
即证：，等价于证明，
即证：，此式开头已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则
故当时，，则
当时，可得，，两边同取以5为底的对数得
，对通过移项得，
两边同取以3为底的对数得，
所以，所以 ，所以，且，
故，故此时，，
下面严格证明当时，，
当时，根据函数，且其在上单调递减，可知
，则，则，
根据函数函数在上单调递增，且，
则当时，，
下面证明：，
要证：
即证：，等价于证，
即证：，此式已证明，
对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得
，
则，
故时，，则
当时，，则，，
综上，，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.
作差法
作商法
原理
设a，b∈R，则
a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b0，
则eq \f(a,b)>1⇒a>b；eq \f(a,b)＝1⇒a＝b；eq \f(a,b)