资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩16页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（解析版）
展开
这是一份考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（解析版），文件包含考点17利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类解析版docx、考点17利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类
考点一 知图判断函数极值与极值点
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
（二）含参
考点三 由极值求参数的值或范围
考点四 由极值点求参数的值或范围
考点五 利用极值解决函数的零点问题
考点六 求函数的最值
（一）不含参
（二）含参
考点七 由函数的最值求参数问题
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
考点九 不等式恒成立与存在性问题
考点十 利用导数解决实际问题
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①f′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
2. 知图判断函数极值
由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值， 要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x) 的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点. ③要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
3. 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
③原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
④f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．f′(x0)＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值.
(3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
6. 函数的最大(小)值
函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
7. 最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内
8. 求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
9. 含参数的函数的最值问题
(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
(2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
12. 三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1
Δ>0
Δ≤0
图
象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减
在R上是增函数
极值点
个数
2
0
(2)a<0
Δ>0
Δ≤0
图 象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R上是减函数
极值点
个数
2
0
13. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
14. 不等式恒成立（有解）问题的转化
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
考点一 知图判断函数极值与极值点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
7．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
8．（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为______．
9．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
10．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
12．【多选】（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
13．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值 B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值
（二）含参
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．求函数的极值；
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围．
16．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
17．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)设，为的两个极值点，证明：．
18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.
考点三 由极值求参数的值或范围
19．【多选】（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
21．（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
24．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
28．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为___________.
29．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
考点四 由极值点求参数的值或范围
31．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，则的极小值为______．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
34．（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
37．【多选】（2023·山东泰安·统考一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
38．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
考点五 利用极值解决函数的零点问题
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
42．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增
43．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
44．（2023·江西上饶·统考二模）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
考点六 求函数的最值
（一）不含参
46．（2023·全国·高三专题练习）函数在内的最大值为______．
47．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，该函数的最大值为__________．
48．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
49．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________．
50．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
（二）含参
51．（2023·江西·高三统考期中）已知
(1)求的最值；
(2)若有两个零点，求k的取值范围.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
(3)当时，判断函数的零点个数
考点七 由函数的最值求参数问题
54．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
56．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（ ）
A． B． C．24 D．27
57．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
58．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
59．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
60．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
64．【多选】（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
65．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像经过点，则（ ）
A．函数的最大值为2 B．点是函数图像的一个对称中心
C．是函数的一个极小值点 D．的图像关于直线对称
66．（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知函数的最小值为，函数的一个零点与极小值点相同，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
67．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
68．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
考点九 不等式恒成立与存在性问题
69．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
70．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是__________．
71．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若任意的，，都有，则实数的最大值是______.
72．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________.
73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
74．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数的极小值点为．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)设，，恒成立，求实数m的取值范围．
考点十 利用导数解决实际问题
75．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
76．（2023·全国·高三专题练习）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
77．（2023·全国·高三专题练习）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
78．（2023·全国·高三专题练习）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
79．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类
考点一 知图判断函数极值与极值点
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
（二）含参
考点三 由极值求参数的值或范围
考点四 由极值点求参数的值或范围
考点五 利用极值解决函数的零点问题
考点六 求函数的最值
（一）不含参
（二）含参
考点七 由函数的最值求参数问题
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
考点九 不等式恒成立与存在性问题
考点十 利用导数解决实际问题
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①f′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0).
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
2. 知图判断函数极值
由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值， 要抓住两点：①由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；②由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x) 的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点. ③要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
3. 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
③原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
④f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．f′(x0)＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值.
(3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
6. 函数的最大(小)值
函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
7. 最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内
8. 求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
9. 含参数的函数的最值问题
(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
(2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
12. 三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1
Δ>0
Δ≤0
图
象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减
在R上是增函数
极值点
个数
2
0
(2)a<0
Δ>0
Δ≤0
图 象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R上是减函数
极值点
个数
2
0
13. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
14. 不等式恒成立（有解）问题的转化
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
考点一 知图判断函数极值与极值点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点 B．是的极小值点
C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．在上有增也有减
B．有2个极小值点
C．
D．有1个极大值点
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在区间内有3个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率小于0
考点二 求函数的极值与极值点
（一）不含参
7．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _____．
8．（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为______．
9．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．没有零点 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
10．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且仅有一个零点
C．函数有且仅有一个极值点
D．直线是曲线的切线
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
12．【多选】（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
13．（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值 B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值
（二）含参
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．求函数的极值；
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的极值；
(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围．
16．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
17．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)设，为的两个极值点，证明：．
18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.
考点三 由极值求参数的值或范围
19．【多选】（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．一定存在单调递减区间
21．（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
24．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．
28．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为___________.
29．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
考点四 由极值点求参数的值或范围
31．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，则的极小值为______．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
34．（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
35．（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
37．【多选】（2023·山东泰安·统考一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A． B． C． D．，
38．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
39．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
考点五 利用极值解决函数的零点问题
40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.
42．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为 B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点 D．在上单调递增
43．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
44．（2023·江西上饶·统考二模）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
考点六 求函数的最值
（一）不含参
46．（2023·全国·高三专题练习）函数在内的最大值为______．
47．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，该函数的最大值为__________．
48．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
49．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________．
50．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
（二）含参
51．（2023·江西·高三统考期中）已知
(1)求的最值；
(2)若有两个零点，求k的取值范围.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
53．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
(3)当时，判断函数的零点个数
考点七 由函数的最值求参数问题
54．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
56．（2023春·新疆·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（ ）
A． B． C．24 D．27
57．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值
58．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
59．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
60．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
64．【多选】（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
65．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像经过点，则（ ）
A．函数的最大值为2 B．点是函数图像的一个对称中心
C．是函数的一个极小值点 D．的图像关于直线对称
66．（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知函数的最小值为，函数的一个零点与极小值点相同，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
67．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
68．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
考点九 不等式恒成立与存在性问题
69．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
70．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是__________．
71．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若任意的，，都有，则实数的最大值是______.
72．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________.
73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为______．
74．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数的极小值点为．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)设，，恒成立，求实数m的取值范围．
考点十 利用导数解决实际问题
75．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
76．（2023·全国·高三专题练习）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
77．（2023·全国·高三专题练习）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．9
78．（2023·全国·高三专题练习）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
79．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
相关试卷
备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（含答案）： 这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类（含答案），共77页。试卷主要包含了知图判断函数极值与极值点，求函数的极值与极值点，由极值求参数的值或范围，由极值点求参数的值或范围，利用极值解决函数的零点问题，求函数的最值，由函数的最值求参数问题，不等式恒成立与存在性问题等内容，欢迎下载使用。
考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类（解析版）： 这是一份考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类（解析版），文件包含考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类解析版docx、考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类-备战高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)： 这是一份考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类-备战高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)，文件包含考点17利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类解析版docx、考点17利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
