考点21 三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）

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考点21 三角恒等变换4种常见考法归类


考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）三角函数式的化简
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）与同角三角函数的基本关系综合
（五）与诱导公式的综合
（六）利用二倍角公式化简求值
考点三 辅助角公式的应用
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
（二）三角恒等式的证明
（三） 三角恒等变换的综合问题


1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)
记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”
T(α－β)
tan(α－β)＝；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝－1
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－

(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：sinαcosα＝sin2α，cosα＝，

C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）
2. 简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝.
cos2α＝.
sinαcosα＝sin2α.
(2)升幂公式
1＋cosα＝2cos2. 1－cosα＝2sin2. 1＋sinα＝. 1－sinα＝(sin－cos)2.
注：
(3) 万能公式


(4)其他常用变式


3. 辅助角公式（同角异名1次）
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，或tanφ＝. 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．
4. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±.
(2)cos＝±.
(3)tan＝±＝＝.
5. 常用的拆角、拼角技巧
(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝.
(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
β＝－＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β)
(3)－α＝－，－α＝－，
＋α＝π－，＋α＝π－. ＋α＝－
6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　
7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)；
(3)倍角公式变形：降幂公式．
(4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　
8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：
①化非特殊角为特殊角；
②化为正负相消的项，消去后求值；
③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；
④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．
9. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则

注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.

10. 给值(式)求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为，由＜＜，及余弦函数在上单调递减可知45°＜α＜60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1＝tan，1＝sin2α＋cos2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位. 11. 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．（在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.）
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数
（已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i)已知正切值，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii)若角的范围是，，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围是或，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. ）
(3)结合三角函数值及角的范围求角．

12. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
13. 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．



考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
1．（2023·全国·高三专题练习）的值是
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东湛江·统考一模）______．
4．（2023·全国·高三专题练习）__________.
（二）给值（式）求值
5．（2023·江西九江·统考三模）已知，且，，则（    ）
A． B． C． D．
6．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知，且，则cosβ=（    ）
A． B． C． D．0
7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（    ）
A． B． C． D．
8．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））已知，为锐角，且，，则（    ）
A． B． C． D．
9．（河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题）已知，，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若，，则_____
11．【多选】（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）已知，，，下列选项正确的有（   ）
A． B．
C． D．
12．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，，则（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知、均为锐角，且，，则_____________.
（三）给值求角
14．（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（    ）．
A． B． C．或 D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
18．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（    ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求的值为_____．
（四）三角函数式的化简
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则（    ）
A．0 B． C． D．
23．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知，则__________.
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
27．（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题）已知向量，，且，则实数的值为（    ）
A．8 B． C．4 D．
28．（2023·陕西·统考一模）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=___________.

29．【多选】（2023·江苏南通·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（         ）

A．若，则 B．若，则
C． D．
30．（广东省潮州市2023届高三二模数学试题）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
31．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
32．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）的值为（    ）
A． B． C． D．1
33．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（    ）
A． B． C． D．
34．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.
35．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
（二）给值（式）求值
36．【多选】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，其中，则（    ）
A． B． C．D．
37．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知，则______．
38．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知，则________．
39．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（    ）
A． B．
C． D．
40．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，，则__________．
41．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，，则的值为（    ）
A．0 B． C． D．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B．－1 C． D．
43．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
（三）给值求角
44．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则=（   ）
A． B．
C． D．或
45．（2023·全国·高三专题练习）若，，则______．
（四）与同角三角函数的基本关系综合
46．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则_________
47．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则_________．
48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知，则的值为（    ）
A． B．1 C． D．
（五）与诱导公式的综合
49．（2023春·江西南昌·高三统考开学考试）已知，则（    ）
A． B． C． D．
50．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（    ）.
A． B． C． D．
51．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（    ）
A． B． C． D．
52．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，则（    ）
A． B． C． D．
（六）利用二倍角公式化简求值
53．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
54．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）
A．5 B． C．2 D．4
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
考点三 辅助角公式的应用
56．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.
57．（2023·陕西铜川·统考二模）已知函数，若，则函数的值域为______.
58．（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______.
59．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若，则__________.
60．（2023·辽宁丹东·统考二模）若，则（    ）
A． B． C． D．
61．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
62．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知，则__________.
63．（2023·全国·高三专题练习）若，，则（    ）．
A． B． C． D．
64．（2023·全国·高三专题练习）若，是第三象限的角，则＝（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
65．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ）

A． B．
C． D．
（二）三角恒等式的证明
66．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
67．（2023·高三课时练习）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①；
②；
③；
④；
⑤．
(1)请依据②式求出这个常数；
(2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
68．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
（三） 三角恒等变换的综合问题
69．（2023春·北京·高三清华附中校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值.
70．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量，.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.
71．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，分别是角的对边，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
72．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知向量，．设函数，．
(1)求函数的解析式及其单调减区间；
(2)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，且使对都有成立，求实数k的最小值．
73．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记.

(1)若，求教学区所在四边形的面积；
(2)当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？