考点01 集合6种常见考法归类（解析版） 试卷

考点01 集合6种常见考法归类考点一 集合的含义与表示（一）判断元素与集合的关系根据元素与集合的关系求参数（三）根据集合中元素的个数求参数（四）利用集合中元素的性质求集合个数（五）集合元素互异性的应用（六）集合的表示考点二 集合间的基本关系（一）集合间基本关系的判定（二）空集（三）（真）子集的列举与个数的计算（四）根据集合相等求参数（五）根据集合的包含关系求参数考点三 集合的基本运算（一）集合的并集、交集运算（二）补集的运算（三）交、并、补的综合运算（四）根据集合的运算结果求参数考点四 韦恩图及其应用考点五 集合的新定义问题考点六 集合的综合应用1、与集合中元素有关的问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键两种方法：(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系一个关键：关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系3、根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．4、集合基本运算的方法技巧5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．6、集合运算中参数问题的求解策略集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍. 具体步骤如下：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．7、集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．8、韦恩图的应用韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．考点一 集合的含义与表示（一）判断元素与集合的关系1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】结合数的分类判断即可.【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为，所以A、C错误，因为，所以，所以B错误，又，所以，所以D正确，故选:D．3．（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过质数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解集合M，根据选项逐一判断即可.【详解】因为为1~10以内的质数}，又，则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.故选：D.4．（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.【详解】由题意可得：，显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.故选：C5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；（2）由（1）可知，故B错误；（3）由①知，，，，，即，故C正确；（4），则，由③可得，，，即，，即，；由（3）可知当，，，当，可得，，故D正确．故答案为：ACD（二）根据元素与集合的关系求参数6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得，解得，故选：C8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意建立不等式求解即可.【详解】由题意，且，解得，故选：B（三）根据集合中元素的个数求参数9．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ）A． B．0 C．或0 D．无解【答案】C【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.【详解】集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，故选：C.10．（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________【答案】【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.故答案为：.11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）且；（2）或 【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；【详解】（1）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.综上可知，实数的取值范围是或 12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围【详解】解：因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选：D13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．【详解】解：集合，1，，，，中有两个元素，，解得，实数的不同取值个数为1．故选：B．14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围.【详解】解；由可得①若，则，则，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去②若，则，不符合题意③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，∴故答案为：15．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：(1)若，则在集合A中必有另外两个数；(2)若，则集合A不可能是单元素集合；(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）根据元素与集合关系结合条件即得；（2）假设集合A是单元素集合，得到矛盾，进而即得；（3）根据（2）结合条件即得.【详解】（1）由，得，即，由，得，即，所以，若，则集合A中必有另外两个数和；（2）假设集合A是单元素集合，即，所以，得，，该方程无实数根，于是，所以，若，则集合A不可能是单元素集合；（3）由，得，由，得，即，由（2）知，同理可得，，所以，集合A中至少有三个元素a，，.（四）利用集合中元素的性质求集合个数16．（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．【详解】由题意，当时所含元素最多，此时分别可化为，，，所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B17．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．【答案】【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解.【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，故答案为：18．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的元素个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.【详解】集合，所以.故选：B.19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】应用并运算求，即可得元素个数.【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个.故选：B20．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．【详解】集合，所以集合的元素个数为9个．故选：B．21．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．【答案】4【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．故答案为：4．22．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（    ）A．14 B．30 C．32 D．42【答案】A【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.【详解】设中有个元素，则,所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，由于，所以，故当时，有最小值14故选：A（五）集合元素互异性的应用23．（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.【详解】根据集合中元素的互异性得，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.24．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数a的取值集合为______．【答案】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【详解】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：25．（2023·全国·高三专题练习）已知其，则由的值构成的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可.【详解】解：，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；当，即（舍）或时，，符合，故由的值构成的集合是.故选：D【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.（六）集合的表示26．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．故选：ACD．27．（2023·高三课时练习）方程组的解集可表示为______.【答案】【分析】求出二元一次方程组的解，然后利用列举法表示即得.【详解】由，可得，所以方程的解集为.故答案为：.28．（2023·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______．【答案】【分析】由直接求解.【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.又，所以的值分别为：4，3，2.故集合.故答案为：29．（2023春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，选项中除去的是四条线；选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；选项，则且，即除去两点､，符合题意；选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．故选：C【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．考点二 集合间的基本关系（一）集合间基本关系的判定30．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.【详解】,,,，故B正确；，,,故AD正确；故选：C31．（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（    ）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系.【详解】,,表示奇数，表示整数，所以.故选：B32．（2023·高三课时练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．【详解】，，，所以.故选：B．33．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.（二）空集34．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(    )A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x6且x6或x6且x