江苏省扬州市树人学校2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题

这是一份江苏省扬州市树人学校2022-2023学年七年级下学期6月期末数学试题，共22页。试卷主要包含了06，5，等内容，欢迎下载使用。
扬州树人学校2022-2023学年第二学期期末试卷
七年级数学 2023.06
（满分150 时间：120分钟）
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列运算结果为a9的是（　　）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
2．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
3．光的速度非常快，传播1米仅需要0.0000000033秒．用科学记数法表示0.0000000033是（　　）
A．3.3×10﹣10 B．3.3×10﹣9 C．3.3×10﹣8 D．3.3×10﹣7
4．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2
6．茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．560 B．490 C．630 D．700
8．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．若2×22×2n＝210，则n等于 　 　．
10．设m2﹣n2＝18，m+n＝6，则m﹣n的值是 　 　．
11．三角形的三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是 　 　．
12．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题的逆命题是　 　命题（填真或假）
13．已知一个正n边形的每个内角都为120°，则n＝　 　．
14．将分别含60°和45°的两把直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线a∥b，则∠1＝　 　°．

15．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是 　 　．


16．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6．若△ACD的周长为16，则△ABD周长为 　 　．

17．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（x+40）°，∠β＝（3x﹣40）°，则∠α的度数为 　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，CD＝4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是 　 　．

三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）； （2）．
20．（1）解方程组； （2）求不等式组．
21．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝3．
22．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
23．对x，y定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by．
例如：当x＝﹣1，y＝2时，F（﹣1，2）＝a•（﹣1）+b•2＝﹣a+2b．
（1）若F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8，求a和b的值；
（2）若b是非负数，F（2，1）＝5，求a的取值范围．
24．画图并填空：
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移，使点C移到点C'的位置．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）在方格纸中，画出△ABC的高CE；
（3）连接AA'、BB'，则这两条线段的关系是 　 　；
（4）线段AB在平移过程中扫过区域的面积为 　 　．

25．某校举行消防安全知识竞赛，竞赛试卷有选择和填空两种题型，共30道，选择题每题3分，填空题每题4分，满分100分．
（1）求选择题和填空题各有多少道？
（2）竞赛规定，答对一道选择题得3分，答对一道填空题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小红填空题全部正确，被评为优秀（90分或90分以上），小红至少答对了几道选择题？
26．如图，点D，E，F，G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：GF∥BC；
（2）若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．

27．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式x2+2x+3的最小值．
解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．
（1）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．
28．【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 　 　（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 　 　．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列运算结果为a9的是（　　）
A．a3+a3 B．a3•a3 C．a18÷a2 D．（a3）3
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵a3+a3≠a9，
∴选项A不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵a18÷a2＝a16，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）3＝a9，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则是解决问题的关键．
2．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
【分析】根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变进行判断．
【解答】解：A、由a＜b，则﹣a＞﹣b，故选项错误；
B、当c＝0，ac＝bc，故选项错误；
C、由a＜b，则a﹣1＜b﹣1，故选项正确；
D、a＜b，可得＞，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
3．光的速度非常快，传播1米仅需要0.0000000033秒．用科学记数法表示0.0000000033是（　　）
A．3.3×10﹣10 B．3.3×10﹣9 C．3.3×10﹣8 D．3.3×10﹣7
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000033＝3.3×10﹣9．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．250° C．180° D．140°
【分析】首先对图形进行角标注，根据三角形的外角定理得到∠1＝∠CED+∠C，∠2＝∠CDE+∠C，即∠1+∠2＝∠CDE+∠CED+∠C+∠C；又要根据三角形的内角和定理∠CDE+∠CED+∠C＝180°，结合∠C＝70°便可得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：对图形进行标注．

则∠1＝∠CED+∠C，∠2＝∠CDE+∠C．
故∠1+∠2＝∠CDE+∠CED+2∠C．
而∠CDE+∠CED+∠C＝180°，∠C＝70°，
所以∠1+∠2＝180°+70°＝250°．
故选：B．
【点评】此题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形外角性质及三角形内角和定理是解决此题的关键．
5．下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．
【解答】解：∵a＞b，
∴C，D两个选项，不符合题意；
A选项，∵3＞2，与结论不符，
∴该选项是命题的反例，符合题意；
D选项，∵3＞2，与结论相符，
该选项不是命题的反例，不符合题意；
∴故选：A．
【点评】本题考查了反例，理解反例的概念是解题的关键．
6．茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解答】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
7．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．560 B．490 C．630 D．700
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据小长方形的长×2＝小长方形的宽×5；小长方形的长+宽＝21，列出方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴长方形ABCD的长为5y＝5×6＝30，宽为21，
∴长方形ABCD的面积＝7xy＝7×15×6＝630，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足x+4y≤3，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A．12 B．6 C．﹣10 D．﹣14
【分析】由方程组得x＝，y＝，由x+4y≤3，得到关于m的不等式，解不等式得到m≤﹣2，再解不等式组求得每个不等式的解集，根据不等式组只有3个整数解得出﹣1≤＜0，从而确定m的取值范围，继而得出答案．
【解答】解：，
①+②×2，得：5x＝6m+3，
解得x＝，
①﹣②×3，得：5y＝m+8，
解得y＝，
∵x+4y≤3，
∴+≤3，
解得m≤﹣2，
解不等式5x﹣m＞0，得：x＞，
解不等式x﹣4＜﹣1，得：x＜3，
∵不等式组只有3个整数解，
∴﹣1≤＜0，
解得﹣5≤m＜0，
∴﹣5≤m≤﹣2，
∴符合条件的整数m的值的和为﹣5﹣4﹣3﹣2＝﹣14，
故选：D．
【点评】本题主要考查解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题）
9．若2×22×2n＝210，则n等于 　7　．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：∵2×22×2n＝210，
∴21+2+n＝210，
∴1+2+n＝10，
解得：n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．设m2﹣n2=18，m+n＝6，则的值是m﹣n＝
【分析】原式利用平方差公式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝6
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝18，∴m﹣n＝3
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．三角形的三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，1﹣2a，8，
∴8﹣3＜1﹣2a＜8+3，即﹣5＜a＜﹣2．
【点评】考查了三角形三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”，该命题的逆命题是　假　命题（填真或假）
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【解答】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的条件是如果a＝b，结论是a2＝b2，
故逆命题是：如果a2＝b2，那么a＝b，为假命题．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．已知一个正n边形的每个内角都为120°，则n＝　6　．
【分析】根据多边外角和360°进行求解即可．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都为120°，
∴正n边形的每个外角＝180°﹣120°＝60°，
∴多边形边数n＝360°÷60°＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查多边形内角与外角，解题关键是熟知多边形的外角和为360°．
14．将分别含60°和45°的两把直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线a∥b，则∠1＝　75　°．

【分析】先根据平行线的性质求出∠EFH的度数，再由直角三角形的性质得出∠EHF的度数，根据对顶角相等得出∠BHG的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠EFH＝∠DAC＝60°，
∴∠EHF＝90°﹣∠EFH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BHG＝∠EHF＝30°，
∴∠1＝∠B+∠BHG＝45°+30°＝75°．
故答案为：75．

【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
15．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是 　4＜x≤10　．


【分析】根据第一次运算结果不大于28，且第二次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得4＜x≤10，
故答案为：4＜x≤10．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6．若△ACD的周长为16，则△ABD周长为 　18　．

【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长为16，
∴AC+AD+CD＝16，
∵AC＝6，
∴AD+CD＝16﹣6＝10，
∴AD+BD＝10，
∴△ABD周长为：AB+BD+AD＝10+8＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
17．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（x+400）°，∠β＝（3x﹣40）°，则∠α的度数为 　80°或85°　．
【分析】根据已知得出（x+40）°+（3x﹣40）°＝180°或x°+40°＝3x°﹣40°，求出x，代入求出即可．
【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（x+40）°，∠β＝（3x﹣40）°，
∴（x+40）°+（3x﹣40）°＝180°或x°+40°＝3x°﹣40°，
解得：x＝40°或x＝45°，
当x＝40°时，∠α＝80°，
当x＝45°时，∠α＝85°．
故答案为：80°或85°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，CD＝4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是 　7　．

【分析】连接CF，设S△BFD＝a，由三角形面积公式可得S△CFD＝4a，S△ADC＝4S△ABD，由点E是AC的中点，得S△ABE＝S△CBE，S△AFE＝S△CEF，进而得S△ABF＝S△CBF＝5a，S△ABD＝6a，S△ADC＝24a，S△AFC＝20a，S△ABC＝30a，S△EFC＝10a，得出S四边形DCEF＝14a，通过讨论△ABC的面积最大值得四边形DCEF的面积最大值．
【解答】解：连接CF，
设S△BFD＝a，
∵CD＝4BD，
∴S△CFD＝4a，S△ADC＝4S△ABD，
∵点E是AC的中点，
∴S△ABE＝S△CBE，S△AFE＝S△CEF，
∴S△ABF＝S△CBF＝5a，
∴S△ABD＝6a，
∴S△ADC＝24a，
∴S△AFC＝20a，S△ABC＝30a，
∴S△EFC＝10a，
∴S四边形DCEF＝14a，
∴S四边形DCEF＝S△ABC，
∵在△ABC中，AB＝5，AC＝6，
∴S△ABC的最大值＝×5×6＝15，
∴四边形DCEF的面积的最大值是7，
故答案为：7．

【点评】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）1（2）-16x6
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
20．（1）（2）-2＜x≤3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法是解题关键．
21．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝3．
【分析】首先利用完全平方公式和多项式乘法进行计算，再合并同类项，化简后再代入x、y的值求值即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣y2），
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2，
＝4xy+2y2，
∵，y＝3，
∴＝6+18＝24．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算法则和顺序．
22．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【分析】（1）解方程组得，根据x为非正数，y为负数得，解之可得答案；
（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m＜﹣，再从﹣2＜m≤3中找到符合此条件的整数m的值即可．
【解答】解：（1）解方程组得，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
解不等式①，得：m≤3，
解不等式②，得：m＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜m≤3；
（2）∵不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1，
∴2m+1＜0，
解得m＜﹣，
在﹣2＜m≤3中符合m＜﹣的整数为﹣1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．对x，y定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by．
例如：当x＝﹣1，y＝2时，F（﹣1，2）＝a•（﹣1）+b•2＝﹣a+2b．
（1）若F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8，求a和b的值；
（2）若b是非负数，F（2，1）＝5，求a的取值范围．
【分析】（1）根据定义的新运算F，将F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8代入F（x，y）＝ax+by，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据定义的新运算F，将F（2，1）＝5代入F（x，y）＝ax+by，得到2a+b＝5，即可得到b＝5﹣2a，由b是非负数得到5﹣2a≥0，解得a≤．
【解答】解：（1）根据题意得：F（﹣1，3）＝﹣a+3b＝2，
F（1，﹣2）＝a﹣2b＝8，
解得：a＝28，b＝10；
（2）根据F（x，y）＝ax+by，
得F（2，1）＝2a+b＝5，
∴b＝5﹣2a，
∵b是非负数，
∴5﹣2a≥0，
∴a≤．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式组的解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．画图并填空：
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过一次平移，使点C移到点C'的位置．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）在方格纸中，画出△ABC的高CE；
（3）连接AA'、BB'，则这两条线段的关系是 　AA'∥BB'且AA'＝BB'　；（4）线段AB在平移过程中扫过区域的面积为 　12　．

【分析】（1）利用C点和C′点的位置确定平移的方向与距离，然后根据此平移规律确定A′、B′的位置；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）根据网格特点和三角形中线、高的定义作图；
（4）利用平行四边形的面积进行计算．
【解答】解：（1）如图．△A'B'C'为所作；
（2）AA'∥BB'且AA'＝BB'．
（3）如图，BD和CE为所作；

（4）线段AB在平移过程中扫过区域的面积为＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．某校举行消防安全知识竞赛，竞赛试卷有选择和填空两种题型，共30道，选择题每题3分，填空题每题4分，满分100分．
（1）求选择题和填空题各有多少道？
（2）竞赛规定，答对一道选择题得3分，答对一道填空题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小红填空题全部正确，被评为优秀（90分或90分以上），小红至少答对了几道选择题？
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解出即可；
（2）根据题意列一元一次不等式，解出即可．
【解答】解：（1）设选择题和填空题各有x、y道．
根据题意，得，
解得，
答：选择题和填空题各：20道，10道；
（2）设小红至少答对了m道选择题，
根据题意，得10×4+3m﹣（20﹣m）≥90，
解得m≥17.5，
∵m取正整数，
∴m＝18，
答：小红至少答对了18道选择题．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，掌握题目中的等量关系式是解题关键．
26．如图，点D，E，F，G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：GF∥BC；
（2）若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．

【分析】（1）由平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再根据补角性质得∠1＝∠3，便可由平行线的判定得结果；
（2）先由平行线的性质求得∠3＝42°，再由平分线的定义求得∠ABC，再由平行线的性质求得结果．
【解答】（1）证明：∵BF∥DE，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠1＝∠3，
∴GF∥BC；
（2）解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝138°，
∴∠3＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠3＝84°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝84°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，关键是明确平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
27．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式x2+2x+3的最小值．
解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．
（1）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．
【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可；
（3）由a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8可得，a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8，再化简即可得a，b，c，进而得周长．
【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣9﹣1＝（x+3）2﹣10．
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣10≥﹣10．
∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣1的最小值是﹣10；
（2）∵a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8，
∴a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8，
∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9+c2﹣8c+16﹣16﹣4﹣9＝﹣29，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝4，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+3+4＝9．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
28．【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是 　∠AEC＝∠A+∠C　（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 　42°或41°　．

【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A＝∠1，∠2＝∠C，进而可求解；
（2）由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，由角平分线的定义结合∠1＝∠2可得∠EG2F＝∠2+∠EFG2，再根据三角形的内角和定理可证明结论；
（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，可求得∠BAE＝4x﹣60°，结合∠BAE度数的取值范围可求解x的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）解：过点E作EF∥AB，

∴∠A＝∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），
故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；
（2）证明：由（1）可知：∠EG2F＝∠1+∠DFG2，
∵FG2平分∠MFD，
∴∠EFG2＝∠DFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠EG2F＝∠2+∠EFG2，
∵∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，
∴∠FG1E+∠G2＝180°；
（3）由（1）知：∠AEF＝∠BAE+∠DFE，
设∠CEF＝x，则∠AEC＝3x，
∵∠EFD＝60°，
∴x+3x＝∠BAE+60°，
∴∠BAE＝4x﹣60°，
又∵8°＜∠BAE＜20°，
∴8°＜4x﹣60°＜20°，
解得17°＜x＜20°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠C＝∠DFE﹣∠CEF＝∠DFE﹣x，
∵∠C的度数为整数，
∴x＝18°或19°，
∴∠C＝60°﹣18°＝42°或∠C＝60°﹣19°＝41°，
故答案为：42°或41°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．
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