2.3函数的值域与最值学案-2024届高三数学一轮复习

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2.3　函数的值域与最值【考试要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的最值，理解函数最值与值域的实际意义.2.掌握常见函数的值域与最值的求法．【再现型题组】1、设函数的定义域为,对于下列命题: ①若存在常数M,使得对任意,有,则M是函数的最小值;②若函数有最小值,则存在唯一的,使得对任意,有;③若函数有最小值,则至少存在一个,使得对任意,有; ④若是函数的最小值,则存在,使得.       则下列为真命题的选项是( )A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 【答案】D【解析】对于①,不一定是函数的函数值,所以可能的最小值大于,故错误;对于②,函数有最小值,则可能存在若干个,使得对任意,有,故错误;对于③,函数有最小值,则由最小值的定义,至少存在一个,使得对任意,有,故正确;对于④,若是函数的最小值,则存在,使得,故正确; 故真命题的选项是②错误④正确.2、 已知函数定义域为为常数,则“”是“为在上最大值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B3．y＝在[3,4]上的最大值为(　　)A．2  B.  C.  D．4答案　A解析　y＝＝＝＋1，∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.4、下列函数中，值域是的是（　　）A．y=2x+1(x>0)    B．y=x2  C．   D．y=【答案】C【解析】对于A，函数y=2x+1在上的值域为，A不是；对于B，二次函数的值域为，B不是；对于C，函数的值域为，C是；对于D，函数y=的值域为，D不是.【巩固型题组】1、函数在区间上的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B2、函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得：，即函数在为增函数，所以，即函数的值域为，故选：D.3、若函数的值域是，则函数的值域为 __．【答案】【解析】因为函数的值域是，所以函数的值域为，则的值域为，所以函数的值域为．故答案为：． 4、函数的值域为___________.【解析】依题意，在上单调递减，则当时，，在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.5、定义，若x∈R，，则f(x)的最大值为(    )A．2      B．1   C．－1     D．无最大值【解析】在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图像．所以当x＝1时，f(x)max＝1.故选B【提高型题组】1、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选：B2、点在函数的图象上，当时，的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，所以，，所以，.故选：C.3、已知函数，，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上为增函数，所以的值域为，记为，当时，在为增函数，所以的值域为，记为，当时，在为减函数， 所以的值域为，记为，当时，由题意可知是的子集，所以，得，当时，由题意可知是的子集，所以，得，综上，或，故选：C【变式】已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【解析】，使得，等价于， ，由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，又在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.【反馈型题组】1、函数f(x)=1-的值域为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：函数f(x)=1-的定义域为，所以，则，所以函数f(x)=1-的值域为，故选：A2、函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，函数的值域为，故选：A.3、已知函数，（），则它的值域为（       ）A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）【答案】D【解析】由题意，函数设，则，可得故的值域为.故选：D.4、下列函数中，最小值为的是（       ）A．      B．  C．     D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，故取不到最小值，所以A不正确；对于B，因为二次函数的开口向下，且定义域为，所以最大值为，无最小值，所以B不符合题意；对于C，当时，，当且仅当时取等号，所以C正确；对于D，，当且仅当即时等号成立，所以D不正确.故选：C.5、若函数的值域是，则函数的值域是（        ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：令，，则．当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B．6．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【解析】因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增.所以.因为对任意恒成立，所以.故选：D7、已知，，若，则的最值是（       ）A．最大值为3，最小值       B．最大值为，无最小值 C．最大值为3，无最小值     D．无最大值，最小值为【答案】B【解析】解：根据已知条件，可以求出，如图所示，在A处取得最大值，没有最小值.由得.所以有最大值，无最小值.故选：B．8．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)A．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]答案　BC解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．9．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a>0时，f(x)的值域为R答案　BCD解析　当a>0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B，C正确．