3.1导数的概念及其意义、导数的运算学案-2024届高三数学一轮复习

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3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
【考试要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
【再现型题组】 基础知识回顾练
1、 下列说法中正确的是
①f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．
②与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
③f′(x0)＝ ＝
④(cos 2x) ′＝－2sin 2x.
⑤f′(x0)＝[f(x0)]′
2、已知函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，则

故选：D
3.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，
又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率，
结合图象，可得，所以.
故选：A.

4.曲线在处的切线的方程为（       ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由，得，所以，，
所以曲线在处的切线的方程为，即．
故选：B.
5.（多选）下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】，，，
，故AD错误，BC正确.
故选：BC.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1、　(1)(多选)下列求导正确的是(　　)
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C＝
D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x
【答案】　ABD
【解析】　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，＝＝，故C错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于(　　)
A．1 B．－9 C．－6 D．4
【答案】　C
【解析】　因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，
把x＝1代入f′(x)，
得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，
所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
2.已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　)
A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0
答案　B
解析　因为f(x)＝2e2ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x，
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
【变式1】若曲线在点处的切线与直线平行，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
由，显然在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因此切线方程为：，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，
故选：C
【变式2】若曲线的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
由题意，可设切点坐标为(x0，)，由，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝ (x－x0)，又切线过点(8，3)，所以
3－＝ (8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.
故选：C.
【变式3】(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.
答案　y＝x　y＝－x
解析　先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
【变式4】已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
【变式5】若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|＝(x0＋a＋1)＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
【变式6】若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，
又，，
∴有正根，即有正根，
即函数y＝－2a与函数的图像有交点，
令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，
∴－2a≥，即a≤.
故选：C.
【提高型题组】 能力提升拓展练
1.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，

由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
【变式1】点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，
则两平行线间的距离即为的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线的切点为，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得，
由切线斜率等于切点的导数值可得，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得的最小值为，
故选：A.
【变式2】已知，则的最小值为
2.若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于(　　)
A．0 B．1 C．e D．－e
【答案】　D
【解析】　设l与f(x)的切点为(x1，y1)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝＋(1－x1).
同理，设l与g(x)的切点为(x2，y2)，
则由g′(x)＝，得l：y＝x＋e(ln x2－1)．
故
解得或 则l：y＝x或y＝ex－e.
因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.
【变式1】若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2e] B.C. D．[2e，＋∞)
答案　B
解析　设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，
对于y＝ln x－1有y′＝，则y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，
即y＝＋ln x1－2，
对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－ax＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax，
所以则－＝ln x1－2，
即＝2x－xln x1(x1>0)，
令g(x)＝2x2－x2ln x，
则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g()＝e3，故0<≤e3，
即a≥e－3.
【变式2】知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　)
A．－3 B．1 C．3 D．5
答案　D
解析　依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．
∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，
∴f′(x)＝2x，h′(x)＝－4，
∴
即
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
【变式3】已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案　C
解析　根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，
对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em，
则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m) ，
即y＝emx＋em(1－m)－1，
对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝，
则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，
即y＝x＋ln n，
直线l是f(x)与g(x)的公切线，则
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，
则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条．
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.设是可导函数，且，则（       ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
解：∵，
∴.
故选：B.
2．若直线与曲线相切，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设切点坐标为，
∵，，
直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
即，
所以，
因此．
故选：B．
3.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（       ）.


A．1 B．3 C． D．
【答案】D
因为函数的图象在点处的切线方程是，
切点的横坐标为，
由导数的几何意义可得，
所以，
故选：D.
4.记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案　A
解析　因为f(x)＝exsin 2x，
则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，
所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.
5.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)
A．－2 B．2 C．－e D．e
答案　B
解析　设切点坐标为(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，
∴直线l的方程为y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，
将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，
∴直线l的斜率为f′(e)＝2.
6.若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，
又，，
∴有正根，即有正根，
即函数y＝－2a与函数的图像有交点，
令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，
∴－2a≥，即a≤.
故选：C.
7．已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋的最小值为(　　)
A．2 B．2e C．e2 D.
答案　B
解析　设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn)．
由f′(x)＝，有
解得m＝e，a＝ek.
又由g′(x)＝bex，有
解得n＝1，b＝，
所以a＋＝ek＋≥2＝2e，
当且仅当a＝e，b＝时等号成立．
8．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　)
A．g(x)＝x·2x B．g(x)＝－ex－2x
C．g(x)＝ln x D．g(x)＝sin x＋2cos x
答案　ABC
解析　对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，
由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
解得x＝，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于B，g′(x)＝－ex－2，
由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
对于C，g′(x)＝，
根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，
由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
∴tan x＝－，
根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．