第12章第二节 古典概型与几何概型 复习导学案-2024届高三一轮复习

第十二章 第二节　古典概型与几何概型

一、学习目标

1.结合具体实例,理解古典概型,掌握古典概型的基本特征,能计算古典概型中简单随机事件的概率.

2.结合具体实例,了解几何概型及几何概型的基本特征,能计算几何概型中简单随机事件的概率.

3.根据实际问题构建概率模型,并能解决简单的实际问题.

二、基本知识回顾

1.基本事件

在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件.

2.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是　　　　　的. 

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成　　　　　的和. 

3.古典概型

(1)定义:具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.

①试验的所有可能结果　　　      　　; 

②每一个试验结果出现的可能性　　　　. 

(2)如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的可能结果(基本事件)数为m,那么事件A的概率规定为P(A)=    .

【微点拨】①判断一个试验是否为古典概型,要看这个试验是否具有有限性和等可能性;

②任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和;

③求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.

4.几何概型

向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1⫋G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即P(点M落在G1)=,则称这种模型为几何概型.

几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比.

5.随机模拟方法

使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.

三、习题精讲精炼

考点一 古典概型的概率(多考向探究)

考向1.以生活实际为题境的古典概型

【典例突破】

例1.(2021陕西西安中学二模)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其中能够组成孪生素数的概率是      

【对点训练】

1.(2021黑龙江哈尔滨三中一模)将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通,每个路口两人,则甲和乙不在同一路口的概率为      

2.(2021江苏南通四校3月联考)学校举行羽毛球混合双打比赛,每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A1,A2,A3和4名女生B1,B2,B3,B4中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为      

考向2.古典概型与代数、几何知识的结合

【典例突破】

例2.（1）(2021安徽黄山一模)从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为      

(2)设a∈{1,3,5},b∈{2,4,6},则函数f(x)= lo是减函数的概率为　　　　.

考向3.古典概型与统计的结合

【典例突破】

例3.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.

(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])

(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?

(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.

对点训练3(2021山东济宁一模)为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区部分人员,调查了2020年其人均纯收入状况.经统计,这批人员的年人均纯收入数据(单位:百元)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到如图所示的频率分布直方图.现采取分层抽样的方法,从[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6人,再从6人中随机抽取3人,则这3人中恰有2人年人均纯收入位于[60,65)的概率是　　　　

考点二 几何概型(多考向探究)

考向1.与长度、角度有关的几何概型

【典例突破】

例4.(1)(2021全国乙,文7)在区间随机取1个数,则取到的数小于的概率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

对点训练4(1)(2021山西太原一模)在区间[-1,1]内任取一个实数k,则使得直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点的概率是　　　　

考向2.与面积、体积有关的几何概型

【典例突破】

例5.(1)(2021陕西宝鸡一模)一只蚂蚁在最小边长大于4,且面积为24的三角形内自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为　　　　　. 

(2)(2021河南郑州三模)如图,△OAB为等腰直角三角形,AO⊥BO,以O为圆心、以OA为半径作大圆O,以AB为直径作小圆.在整个图形中随机取一点,此点取自阴影部分的概率为　　　　　

对点训练5(1)(2021安徽池州4月模拟)将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与另一段GN的等比中项,即满足,把称为黄金分割数,把点G称为线段MN的黄金分割点.如图,在矩形ABCD中,E,F是线段AB的两个黄金分割点.在矩形ABCD内任取一点M,则该点落在三角形DEF内的概率为(　　)

A. B. C. D.

考向3.与线性规划有关的几何概型

【典例突破】

例6.若不等式组表示的区域为Ω,不等式x2+y2-2x-2y+1≤0表示的区域为T,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T中的概率为　　　　　

对点训练6(2021全国乙,理8)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为　　　　　

考向4.与实际生活相关的几何概型

【典例突破】

例7.甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面,并约定甲若早到则等乙半小时,而乙早到无需等待即可离去,则甲、乙两人能见面的概率为(　　)

A. B. C. D.

对点训练7(2021陕西榆林二模)甲、乙约定晚上七点在某校门口见面,甲晚上七点准时到了门口,此时,乙打电话告知甲路上出现堵车状况,至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时,超过半个小时乙还未到就离开,若乙在晚上七点五十之前一定能到,则两人能见面的概率为　　　　　. 

考点三 随机模拟方法

例8.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A. B. C. D.

对点训练8“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(　　)(参考数据:≈2.094 6)

A.3.141 9    B.3.141 7    C.3.141 5    D.3.141 3