空间几何体的表面积与体积导学案-2024届高三一轮复习

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第八章 第二节　空间几何体的表面积与体积一、学习目标【课标解读】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【衍生考点】1.空间几何体的表面积与侧面积2.空间几何体的体积3.与球有关的切、接问题二、相关知识回顾1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是　　　　　　　　　　　　　　,表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=　　　 S圆锥侧=　　　 S圆台侧=　 　　       3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=　　　　　 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底 V=　　　　　 台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=　　　　　  V=　　　　　 【微点拨】当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:【微拓展】球的截面的性质(1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为【微思考】如何求不规则几何体的体积?  【常用结论】1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点. (2)半径:r=(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长).(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=a(a为正四面体的棱长).三、考点精讲精练考点一 空间几何体的表面积与侧面积【典例突破】例1.(1)(2021四川成都三诊)某几何体的三视图如图所示,已知网格纸上的小正方形边长为1,则该几何体的表面积为(　　)A.(20+8)π B.(20+4)πC.(24+8)π D.(24+4)π   (2)(2021河南安阳高三三模)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为∶8,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为(　　)A. B. C. D.  对点训练1(1)(2020全国Ⅱ,理10)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为        (2)(2021陕西西安检测)下图网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为(　　) A.4π+4π+6π B.4π+4π+6πC.2π+2π+6π D.2π+2π+6π考点二 空间几何体的体积(多考向探究)考向1.简单几何体的体积【典例突破】例2.(1)(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是(　　)A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨(2)(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为(　　)A.4 B. C. D.1考向2.不规则几何体的体积【典例突破】例3.(1)(2021河南开封模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为(　　)A.5 000立方尺  B.5 500立方尺C.6 000立方尺  D.6 500立方尺(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为(　　)A. B.C. D.1+对点训练2(1)(2021山东莱州高三检测)如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为　　　　　. (2)(2021福建龙岩高三模拟)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是cm3,则正方体石块的棱长为　　　　　.考点三 与球有关的切、接问题(多考向探究)考向1.几何体的外接球问题【典例突破】例4.(1)(2021广西玉林模拟)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为(　　)A.32π     B.16π     C.49π     D.64π(2)(2021甘肃兰州月考)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AD=1,AB=2,侧棱PA⊥底面ABCD,且直线PB与CD所成角的余弦值为 ,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为　　　　　. 对点训练3(1)(2021四川成都二诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为(　　)A.4π  B.8π C.12π  D.16π(2)(2021河北邯郸三模)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=BB1=CC1=DD1= ,AB=2,A1B1=1,则该四棱台的表面积为　　　　　　;该四棱台外接球的体积为　　　　　　. 考向2.几何体的内切球问题【典例突破】例5.(1)(2021四川成都石室中学高三)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC, PA=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为(　　)A. B. C. D.9π(2)(2021山东潍坊三模改编)圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的表面积与该圆锥的表面积之比的最大值为　　　　. 对点训练4(1)(2021广西桂林、崇左二模)有一底面半径与高的比值为的圆柱,则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为(　　)A.4∶3  B.3∶2 C.2∶1  D.8∶3(2)(2021云南昆明一中高三月考)在封闭的正四棱锥内有一个体积为V的球.若正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则V的最大值是(　　)A.36π B. C. D.