2023年新疆乌鲁木齐市等五地中考数学二模试卷（含解析）

2023年新疆乌鲁木齐市等五地中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  网络用语“”是比较厉害的意思，且“”本身是一个自然数将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个几何体的表面展开图则该几何体是(    )

A. 正方体
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 四棱锥

6.  如图，在▱中，已知，，的平分线交边于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与轴相交于负半轴，给出五个结论：，，，，当时，；其中正确的结论的序号(    )

A.
B.
C.
D.

9.  古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  若在实数范围内有意义，则的取值范围为______ ．

11.  若多项式可以用完全平方式来分解因式，则的值为______ ．

12.  小明用计算一组数据的方差，那么______．

13.  如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、点，作直线交于点，交于点，连接若，，则的长为______ ．

14.  如图，，反比例函数的图象过点，若点的坐标为，，则        ．

15.  如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．



证明：；
 

当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．

19.  本小题分
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，“健美操”、“跳绳”、“剪纸”、“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
组所对应的扇形圆心角为______度；
若该校共有学生人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
现选出了名跳绳成绩最好的学生，其中有名男生和名女生．要从这名学生中任意抽取名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到名男生与名女生的概率．

20.  本小题分
越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点，与在一条直线上，求电池板离地面的高度的长．结果精确到米；参考数据，，

21.  本小题分
某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多元，用万元购进甲型平板与用万元购进乙型平板的数量相等．
求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共台进行试销，其中甲型平板为台，购买资金不超过万元，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，试销时甲型平板每台售价为元，乙型平板每台售价元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润的最大值．

22.  本小题分
如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

23.  本小题分
我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

思路梳理
，把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，，点、、共线．
易证≌ ______ 其判断理由是______ ，可得．
类比引申
如图，四边形中，，，点、分别在边、上，若、都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
联想拓展
如图，在中，，，点、均在边上，且猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程若，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、，故本选项不符合题意；
选项B、，故本选项符合题意；
选项C、，故本选项不符合题意；
选项D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，才是轴对称图形；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，才是中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：．
由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
本题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的得，，，再证，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故选：．
先根据判别式的意义得到，然后解关于的一元一次不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，即时，，
，所以正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
、异号，即，
抛物线与轴相交于负半轴，
，
，所以错误；
，
而，
，
即，所以正确；
二次函数经过点和，
，，
，即，所以正确；
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，不一定小于，所以错误．
故选：．
利用时，可对进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴在轴的右侧得到，由抛物线与轴相交于负半轴得到，则可对进行判断；利用对称轴方程得到，则可对进行判断；利用二次函数经过点和得到，，两式相加消去可对进行判断；利用函数图象可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：三角形数的第个图中点的个数为；
正方形数第个图中点的个数为，
A、令，解得，不合题意，舍去；再令，不合题意，都舍去；不符合条件，错误；
B、令，解得都不合题意，舍去；再令，；不符合条件，错误；
C、显然不是平方数，不符合条件，错误；
D、令，解得，不合题意，舍去；再令，，不合题意，舍去，符合条件，正确．
故选：．
图中求出、、、，，第个图中点的个数是，即；图中、、、，，第个图中点的个数是然后把下列数分别代入，若解出的是正整数，则说明符合条件就是所求．
主要考查了数式规律问题，通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据完全平方公式的结构特点得结论．
本题考查了完全平公式，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
平均数为，共个数据，
，
故答案为：．
根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．
本题考查了方差的知识，牢记方差公式是解答本题的关键，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作图得：垂直平分，
，
，
，
平分，
，
在中，
，
故答案为：．
由作图得：垂直平分，再根据线段的垂直平分线的性质和勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，
，
，
，
，
∽，
：：，
的坐标是，
，，
：：，
令，，
，
，
，
的坐标是，
，
．
故答案为：．
作轴于，轴于，由条件可以证明∽，得到：：，令，，由勾股定理列出关于的方程，求出的值，即可得到的坐标，即可求出的值．
本题考查反比例函数，关键是通过作辅助线构造相似三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接、交于点，连接．

，
，
点的运动轨迹在以边长为直径的上，
当点从点运动到点时，点的运动路径长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，
的长，
故答案为：
如图，连接、交于点，连接首先说明点从点运动到点时，点的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
当满足：时，四边形是矩形，
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由为的中点，得到，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
当满足：时，四边形是矩形，理由为：由与平行且相等，得到四边形为平行四边形，再由，，利用三线合一得到垂直于，即为直角，即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

19.【答案】解：；
补全图形如下：

；
人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力 
由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出组人数即可补全图形；
用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：本次调查的学生总人数为名，
组人数为名，
统计图见答案．
组所对应的扇形圆心角为，
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是人，
见答案．  

20.【答案】解：延长交于点，米，
设米，

，故EH米，
在中，，解得，
则米，
电池板离地面的高度的长约为米。 

【解析】设，，故EH，则，进而求解。
本题是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 

21.【答案】解：设每台乙型平板进价是元，则每台甲型平板的进价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：每台甲型平板的进价是元，每台乙型的进价是元．
该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共台进行试销，其中甲型平板为台，
则购进乙种型号的平板台，
购买资金不超过万元，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，
，
解得：，
为整数，
的值为或或，
该公司有种进货方案：
购进甲型平板台，乙型平板台；
购进甲型平板台，乙型平板台；
购进甲型平板台，乙型平板台；
依题意，得：，
，
随的增大而减小，
方案购进甲型平板台，乙型平板台时的利润最大元，
答：该公司有种进货方案，在这几种方案中，销售完后获得的利润的最大值为元． 

【解析】设每台乙型平板进价是元，则每台甲型平板的进价是元，由题意：用万元购进甲型平板与用万元购进乙型平板的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
由题意：购买资金不超过万元，并且甲型平板不少于乙型平板的倍，列出一元一次不等式组，解得，再由为整数得该公司有种进货方案，然后由一次函数的性质即可得出的最大值．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，，

是的直径，
，，
即，，
由知：，
为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，
． 

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
连接和，求出，，解直角三角形求出和，再求出答案即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】证明：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：．
故答案为：，；
解：时，；
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
≌，
，
即：．
故答案为：；
解：猜想：．
理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，
≌，
，，
，，
在中，，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
当时，，
，
，
当时，的最小值，
的最小值．
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，再证明≌进而得到，即可得；
时，，与的证法类同；
根据绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知≌得到，，，，根据中的，得到，所以，证≌，利用得到；结合，得到，根据二次函数的性质求出的最小值，进而求出的最小值．
此题主要考查了四边形的综合题，关键是正确画出图形，证明≌此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．