2023年浙江省金华市六校联谊中考数学模拟试卷（3月份）(含解析)

2023年浙江省金华市六校联谊中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  给出四个数，，，，其中为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在科幻小说三体中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，主视图是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于的方程，下列解法完全正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列条件中，能判定为直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ：：：： D. ，

7.  经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性相同则甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  消防云梯如图所示，于，当点刚好在点的正上方时，的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设双曲线与直线交于，两点点在第三象限，将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分如图中阴影部分为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示作若，则：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  二次根式中，的取值范围是______．

12.  已知线段，，则线段和的比例中项为______ ．

13.  某校学生“数学素养”大赛成绩的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，其中成绩为“一般”分以下的学生有______ 人

14.  如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，则阴影部分的面积是______ ．

15.  在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和美点”已知直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点是“和美点”，则的面积为______ ．

16.  如图，为一条宽为米的河，河的西岸建有一道防洪堤、防洪堤与东岸的高度差为米即米，因为施工需要，现准备将东岸的泥沙将通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为米的半圆直径米，绳子米，钢架高度米米，距离防洪堤边缘为米米．
西岸边缘点与东岸边缘点之间的距离为______ 米；
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则的长度至少保持______ 米

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，六个完全相同的小长方形长是宽的倍拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中按要求完成下列作图：
仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；
保留必要的画图痕迹；
标注字母．
在图中画出一个以为直角边的直角三角形．
在图中画出一个以为底边的等腰三角形．

20.  本小题分
如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“，”是指该枚古钱币的直径为，厚度为，质量为已知这些古钱币的材质相同．

根据图中信息，解决下列问题．
这枚古钱币，所标直径的平均数是______，所标厚度的众数是______，所标质量的中位数是______；
由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：

请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．

21.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，切点为，连结，过点作交于点，连结．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．

22.  本小题分
如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．
当时，求与的关系式不要求写出自变量的取值范围；
当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
若球一定能越过球网，又不出边界，求的取值范围．
 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为和其中为常数且，将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为；将的部分沿直线翻折，翻折后的图象记为，将和及原函数图象剩余的部分组成新的图象．
例如：如图，当时，原函数，图象所对应的函数关系式为．
当时，原函数为，图象与坐标轴的交点坐标是______ ．
对应函数为常数．
时，若图象与直线恰好有两个交点，求的取值范围．
当时，若图象在上的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，在中，，，点是直线上一动点过点作，满足点在上方，，以、为邻边作▱．

求的长以及点到的距离．
设线段与边交于点，线段与边交于点当时，求的长．
连结，沿直线分割四边形，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
根据无理数的定义，即可解答．
本题考查了无理数，解决本题的关键是熟记无理数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B.该几何体的主视图是有一个弓形缺口的矩形，故本选项不符合题意；
C.该几何体的主视图是弓形，故本选项不符合题意；
D.该几何体的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算错误，故本选项正确；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算正确，故本选项正确；
故选：．
根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：不符合解一元二次方程的方法；故A错误；
B.不是，故B错误；
C.配方时，等式两边应该加，故C错误，
D.，
，
，
或，
，故D正确；
故选：．
方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解二元一次方程因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由无法得到为直角三角形，故本选项符合题意；
B.，
，无法得到为直角三角形，故本选项符合题意；
C.：：：：，，
最大角，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据直角三角形的判定即可判断选项A和；求出最大角的度数，即可判断选项C；根据勾股定理的逆定理即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：列表如下：

所有等可能的情况有种，其中两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况有种，
则甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行．
故选：．
列表得出所有等可能的情况数，找出两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

则，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
故选：．
连接，根据题意可得，，再利用垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：以为边，作矩形交双曲线于点、，如图所示．
联立直线及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为
，
，点的坐标为
根据图形的对称性可知：，
点的坐标为
又点在双曲线上，
，
解得：．
故选：．
以为边，作矩形交双曲线于点、，联立直线及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点、的坐标，由的长度可得出点的坐标点在直线上找出点的坐标，由图形的对称性结合点、和的坐标可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
，，，，
，
∽，
，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，
同理，
，
如图，连接，

四边形为平行四边形，
，
为中点，，
，
，
设，则，
，
，
：：：．
故选：．
根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，可得，，，，证明∽，可得，连接，证明四边形为平行四边形，所以，可得，设，则，求出，，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：线段是线段、的比例中项，
，
负值舍去．
故答案为：．
根据比例中项的定义得到，然后利用算术平方根的定义求的值．
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如  ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
 

13.【答案】 

【解析】解：由直方图可得：
成绩为“一般”分以下的学生有：人，
故答案为：．
根据题意和直方图中的数据求得成绩为“一般”分以下的学生人数即可．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

，，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
与是等底等高的三角形，

故答案是：
连接、，根据已知条件可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，判断出与是等底等高的三角形，且是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：点是“和美点”，
，
解得，
当时，，
，，
，
．
当时，，
，，
，
．
故答案为：或．
先根据“和美点”的定义求出的值，进而可求出点的坐标，根据三角形的面积可求出的面积．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图所示，连接，，

由题意可知，，，
则由勾股定理可得：，
故答案为：；
如图所示，延长交与点，过点作于点，延长与相交于点，

，，
是等腰三角形，
，
，
滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点，则至少为米，
，，
∽，
，
设，则，，，，
，
解得，
故答案为：．
连接、，利用勾股定理求解即可；
延长交于点，过点作于点，延长与相交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点到滑轨的距离不小于，再利用∽可得，设，根据比例关系即可求出．
本题考查勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】将二次根式化为最简二次根式，将特殊角的三角函数值求出来，计算出代数式的绝对值，再计算出指数幂，最后进行加减运算即可．
本题考查了实数的运算，掌握指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式以及合并同类项法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用矩形的性质作出左侧最下面的小矩形长边的中点，则，；
利用矩形的性质作出左侧最下面的小矩形宽的中点，设小长方形的宽为，长为，利用勾股定理得到，而，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

20.【答案】解：
“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为：，
，
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为克． 

【解析】

【分析】
本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，用每一组的中间值作为该组数据的平均值进行计算是统计中的一种方法．
利用平均数的计算公式计算平均数；根据中位数、众数的意义做出判断；
“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先计算其余四个盒子的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量．
【解答】
解：这枚古钱币，所标直径的平均数是：
，
这枚古币的厚度分别为：，，，，，
其中出现了次，出现的次数最多，
这枚古钱币的厚度的众数为，
将这枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：，，，，，
这枚古钱币的质量的中位数为；
故答案为：；；；
见答案．  

21.【答案】证明：连结，则，
，
，
，，
，
，
≌，
是的切线，切点为，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：连结交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】连结，则，所以，由，得，，所以，可证明≌，得，即可证明是的切线；
连结交于点，由切线长定理得，，所以，，而，则，再证明，则，则，即可由勾股定理求得，则．
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定、切线长定理、三角形的中位线定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：，球从点正上方的处发出，
抛物线过点，
，
解得：，
故与的关系式为：，

当时，，
所以球不能过球网；
当时，，
解得：，舍去，
故会出界；

当球正好过点时，抛物线还过点，代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：，
此时球若不出边界，
当球刚能过网，此时函数解析式过，抛物线还过点，代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网，
故若球一定能越过球网，又不出边界，的取值范围是：．
解法二：过点点，代入解析式得：
，
若球越过球网，则当时，，即，
解得，
球若不出边界，则当时，，解得．
故若球一定能越过球网，又不出边界，的取值范围是：． 

【解析】利用将点，代入解析式求出即可；
利用当时，，当时，，分别得出即可；
根据当球正好过点时，抛物线还过点，以及当球刚能过网，此时函数解析式过，抛物线还过点时分别得出的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
 

23.【答案】，， 

【解析】解：当时，，
当时，点关于直线的对称点为，
设翻折后的函数解析式为，
，
解得，
翻折后的函数的表达式为，
当时，，
函数与轴的交点为，
同理沿翻折后函数的表达式为，
函数与轴的交点为，
图象与坐标轴的交点坐标是，，，
故答案为：，，；
当时，，
当时，，
解得，
图象与直线恰好有两个交点，
；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，此时图象在上的函数值随的增大而增大；
当时，，此时图象在上的函数值随的增大而减小；
当时，此时图象在上的函数值随的增大而减小；
当时，此时图象在上的函数值随的增大既有减小有增大；
综上所述：，此时图象在上的函数值随的增大而增大．
根据题意分别求出翻转后部分的表达式及自变量的取值范围，求出图象与坐标轴的交点坐标即可；
将代入函数中求出原函数的表达式，当时求出的值，根据图象求出的取值范围即可；
画出草图，分四种情况讨论：当时，，此时图象在上的函数值随的增大而增大；当时，，此时图象在上的函数值随的增大而减小；当时，此时图象在上的函数值随的增大而减小；当时，此时图象在上的函数值随的增大既有减小有增大．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题的关键再于分类讨论和数形结合，弄清定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

作于，
，
，
，
；
如图，

设和交点，作于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
可设，，，
，
，
，
由得，
，
，
；
如图，

当点在上时，
当经过点时，和可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，
即是上的高，
，
，
，
如图，

当点在的延长线上时，作于，
由上可知：，
当时，，
，
，
此时点是的中点，和四边形可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，
，
如图，

当点和点重合时，分四边形成的和四边形可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，
此时，
综上所述：或或可以分四边形分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形． 

【解析】作于，根据勾股定理求得，进而根据求得结果；
设和交点，作于，，，可设，，，表示出，，，根据列出，求得的值，进一步得出结果；
分为三种情形，当在上时，观察法可出此时及点和点重合两种情形；当点在的延长线上时，作于，当时，符合要求，此时可得出，，此时点是的中点，和四边形可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，进而得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是正确分类，全面考虑．