2023年浙江省宁波市北仑区中考数学二模试卷(含解析)

2023年浙江省宁波市北仑区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的正确结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年宁波舟山港完成货物吞吐量超亿吨，连续年位居全球第一其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则这个圆锥的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点、是边上的三等分点，且，为的中点，连接、，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点，是二次函数上的两点，若，，则下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将的直角边、斜边按如图方式构造正方形和正方形，在正方形内部构造矩形使得边刚好过点，则已知哪条线段的长度就可以求出图中阴影部分的面积(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于______ ．

14.  某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价元，工商局限价元，以及定价系数来确定定价，、、满足关系式，经验表明，最佳定价系数恰好使得，据此可得，最佳定价系数的值等于______ ．

15.  如图，等腰中，，，半径为的在射线上运动，当与的一边相切时，线段的长度为______ ．

16.  如图，将矩形的顶点与原点重合，边、分别与、轴重合将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，反比例函数上恰好经过、两点，若点的坐标为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

18.  本小题分
在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，分别按要求画出图形仅用无刻度直尺，并保留画图痕迹．

在图中，已知线段的端点均在格点上，画出一个以为腰的等腰，且在格点上；
在图中，已知为格点三角形，作出的内心点Ⅰ．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于，请根据图象直接写出的取值范围．

20.  本小题分
新能车是当下热点，某品牌新能汽车去年月五个月的销售总量为万台，图表示该品牌新能汽车月各月的销量，图表示该品牌新能汽车月各月和上个月的环比增长率，请解答下列问题：

请你根据信息将统计图补充完整；
增长率最大的是哪个月，增长了多少万台；
小明观察图后认为，从十月份开始该品牌新能汽车的销量逐渐降低他的说法正确吗？请说明理由．

21.  本小题分
如图为某校园的闸口，其双翼展开时为两个圆心角的扇形，，、处于同一水平线上且距离地面高度为，水平距离为．
求点距离地面的高度精确到；
为了起到有效的阻隔作用，要求，请通过计算说明该设备的安装是否符合要求参考数据

22.  本小题分
某宾馆有个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加元时，就会有一个房间空闲，设每个房间的房价每天增加元为的正整数倍．
设一天订住的房间数为，求出关于的函数表达式；
定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？

23.  本小题分
定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．

初步理解：如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形；
尝试应用：在的基础上，如图，若，，，求四边形的周长；
拓展提高：如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且若，，求的值．

24.  本小题分
已知：如图，内接于，直径交于点，满足．

若，求的度数；
求证：；
连接．
如图，若，，求的值；
如图，过点作于点，若长为，，长为，求关于的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为、．
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
应从乙和丁同学中选，
乙同学的方差比丁同学的小，
乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：．
先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

6.【答案】 

【解析】解：底面圆的直径为，
底面圆的半径为，
圆锥的侧面积
故选：．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

7.【答案】 

【解析】解：点、是边上的三等分点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
，
故选：．
先证明≌，根据全等三角形的性质可得，再证明为的中位线，根据三角形中位线定理可得，即可求出的长．
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知抛物线开口向上，对称轴为，函数有最小值，
点，是二次函数上的两点，且，，
，
点离对称轴较近，
，
故，
故选：．
由解析式可知可知抛物线开口向上，对称轴为，函数有最小值，然后根据，，得出，即可判断点离对称轴较近，根据与对称轴的远近即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形和是正方形，
，，，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
已知的长度就可以求出图中阴影部分的面积，
故选C．
由“”可证≌，可得，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解．
本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，掌握运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、圆共个，
因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
判断平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据概率的意义求解即可．
本题考查概率的意义，平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，理解概率的意义，掌握平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，

，
，
，
整理得：，
解得，
，
．
故答案为：．
根据，得出，从而得出，再根据得出关于的方程，解方程即可．
本题考查分式的混合运算，解题时要注意一元二次方程的求解方法．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当与相切时，设切点为，
连接，

则，
过作于，
，
，，
，
，
，
当与相切时，设切点为，
连接，

，
，
．
，
综上所述，线段的长度为或，
故答案为：或．
当与相切时，设切点为，连接，求得，过作于，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，当与相切时，设切点为，连接，根据平角的定义得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连结，过作于．
点坐标为，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
反比例函数上恰好经过、两点，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
又，
∽，
，即，
，
，，
由折叠可得，
在中，由勾股定理可得，
解得，舍．
的值为．
故答案为：．
连结，过作于，由点坐标为，即可得出点的坐标为，点的坐标为，证得∽，得到，求得，进而求得，，由折叠可得，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求得的值．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，坐标与图形性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，以及折叠的性质，正确表示出线段的长度是解本题的关键．
 

17.【答案】解：


．
解不等式，得．
解不等式，得．
这个不等式组的解集为． 

【解析】根据整式的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法．
先分别解不等式，再确定解集．
本题主要考查整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、解一元一次不等式组，熟练掌握整式的混合运算法则、平方差公式、完全平方公式、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，点Ⅰ即为所求．
 

【解析】作腰为的三角形即可；
作平分，平分，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：反比例函数图象与一次函数图象相交于点，．
，
解得，
反比例函数解析式为，
，
解得，
点的坐标为，
，
解得，
一次函数解析式为；
点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于，
或． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
根据图象写出的取值范围即可．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点的坐标求出反比例函数解析式以及点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知，月份销量为万台．
所补作图形如图所示：

由题意可知，月增长率最高为，增长了万台；
小明的说法是错误的，理由如下：
因为月份只是增长率降低，但是增长率仍为正，说明销量仍在增加答案不唯一． 

【解析】用销售总量减去其他四个月的销售量可得月份的销售量，进而补全条形统计图；
结合统计图数据列式计算即可；
根据增长率的定义解答即可．
本题考查的是条形统计图和折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：过点作 ，垂足为，

由题意得：，
在中，，
，
点距离地面的高度为 ，
点距离地面的高度，
点距离地面的高度约为；
该设备的安装符合要求，
理由：过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
水平距离为，
，
，
该设备的安装符合要求． 

【解析】过点作 ，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：；
关于的函数表达式为；
设宾馆的利润为元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为，
定为元时，宾馆可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据“每个房间每天的房价每增加元时，就会有一个房间空闲“即可得：；
设宾馆的利润为元，根据总利润每个房间利润乘以订住的房间数得：，由二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

23.【答案】证明：在中，，
，
，
，
，
平分，
，
∽，
和为叠似三角形；

解：，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，，
四边形的周长为：；

解：如图，过作的平行线交的延长线于，

，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
为中点，
，
又，，
≌，
，，
即，
，，
，，
． 

【解析】先判断出，再判断出，得出∽，即可得出结论；
先判断出，再由∽，得出，进而得出，，，即可得出结论；
过作的平行线交的延长线于，先判断出∽，得出，再判断出≌，得出，，即可得出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

连结，
是的直径，
，
，
，
在中，，
；
证明：设，则，，，
在中，
，
，
；
解：如图，

连结，设的半径为，
设，则，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为正三角形，
，
；
如图，

作于，连接，并延长交于，
由知：，，
，，
，
，
，，
≌，
，
在中，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，可得出，，进而求得，进一步得出结果；
设，则，，，可计算得出，进一步得出结论；
连结，设的半径为，设，则，可得出，，进而证得∽，从而得出，求得的值，进而得出，从而，进一步得出结果；
作于，连接，并延长交于，可证得≌，从而，根据，，可求得，进而得出，进而得出，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．