2023年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷(含解析)

这是一份2023年浙江省温州市龙湾区中考数学二模试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 比-2大1的数是( )
A. 3B. -3C. 1D. -1
2. 下列几何体中，主视图相同的是( )
A. ②④B. ②③C. ①②D. ①④
3. 如图，整个圆代表七年级全体同学参加数学拓展课的总人数，其中参加“生活数学”拓展课的人数占总人数的35%，则图中表示“生活数学”拓展课人数的扇形是( )
A. M
B. N
C. P
D. Q
4. 下列计算正确的是( )
A. 3x2⋅4x2=12x2B. (x-1)(x-1)=x2-1
C. (x5)2=x7D. x4÷x=x3
5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
6. 关于x的一元二次方程x2+x=k有两个不相等实数根，k的取值范围是( )
A. k≥-14B. k>-14C. k≤14D. k<14
7. 下列图象中，表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，则∠DCA的度数为( )
A. 38°B. 40°C. 42°D. 44°
9. 若函数y=x2-4x+m的图象上有两点A(0,y1)，B(1,y2)，则( )
A. y1>y2B. y1C. y1=y2D. y1，y2的大小不确定
10. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OG=12AB；
②与△DEG全等的三角形共有5个；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
其中一定成立的是( )
A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：(y+2x)2-(x+2y)2=______．
12. 某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在7天中每天所出的次品数如下(单位：个)：3，3，0，2，3，0，3.那么该班组在7天中出的次品数的方差的值是______ ．
13. a2a+3-9a+3=______．
14. 已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，则此圆心角所对的弧长为______(结果可保留π)．
15. 如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是______．
16. 如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE=m，CF=n，则n+m的最大值是______ ，最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(-3)2+(π-12)0-|-4|；
(2)化简：(1-1a+1)⋅a2+2a+1a．
18. (本小题8.0分)
如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C．
(1)求证：BD=CD；
(2)若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数．
19. (本小题8.0分)
如图，请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图．
(1)如图1，四边形ABCD的顶点都在格点上，请在AD边上找一点P，使得PA=PC；
(2)如图2，点A、B、C均为格点，请过点C画出所有满足条件的直线l，使得点A、B到直线l的距离相等．
20. (本小题8.0分)
2022年，国家教育部新颁发的《义务教育语文课程标准》提出明确要求：“要重视培养学生广泛的阅读兴趣，提高阅读品位，提倡多读书、好读书、读好书”.某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、军事、农业”四类书籍中，选取自己最想读的一种(必选且只选一种)，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题：
(1)此次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)补全条形统计图，并求出扇形中“教育”部分的圆心角度数；
(3)若该校共有1200名学生，请你估计大约有多少名学生最想阅读“科技”类书籍？
21. (本小题8.0分)
经过实验获得两个变量x(x>0)，y(y>0)的一组对应值如表．
(1)用描点法在图中画出函数的图象；
(2)求这个函数的表达式；
(3)当022. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE.连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=2，求BD的长；
(3)在(2)的条件下，连接AC，求cs∠ACF的值．
23. (本小题8.0分)
悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．
某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m.缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．
24. (本小题8.0分)
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，点D是△ABC外一动点(点B，点D位于AC两侧)，连接CD，AD．
(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是______；
(2)如图2，连接BD，当∠ADC=135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE=1，BE=7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：-2+1=-1．
故选：D．
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法，列出正确的算式是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：长方体主视图是横向的长方形，圆柱体主视图是长方形，球的主视图是圆，三棱柱主视图是长方形，
故选：A．
主视图是从物体正面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】A
【解析】解：∵扇形Q的圆心角为120°，
∴表示参加此类课的人数占总数的：120°÷360°×100%≈33%，
∵35%>33%，
∴扇形的面积一定比Q大，
∴图中表示“生活数学”拓展课人数的扇形是M，
故选：A．
首先根据扇形Q的圆心角为120°可得参加此类课的人数约占总数的33%，再根据35%>33%，可得扇形的面积一定比Q大，根据图可选出答案．
此题主要考查了扇形统计图，关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=12x4，不符合题意；
B、原式=x2-2x+1，不符合题意；
C、原式=x10，不符合题意；
D、原式=x3，符合题意，
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是：14．
故选C．
首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得Δ=12-4(-k)>0，
解得k>-14．
故选：B．
利用判别式的意义得到Δ=12-4(-k)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】B
【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此，选项B中的图象，表示y是x的函数，故B符合题意；
选项A、C、D中的图象，不表示y是x的函数，故A、C、D不符合题意．
故选：B．
在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
8.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=26°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°，
根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
△ADC中，∵∠BAC=26°，
∴∠DCA=180°-116°-26°=38°，
故选：A．
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论．
本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的对称轴为直线x=--42=2，抛物线开口向上，
∴当x<2时．y随x的增大而减小，
∵0<1<2，
∴y1>y2，
故选：A．
先求出二次函数的对称轴，再根据函数的性质判断即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的应用．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB//CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD(SSS)，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=12CD=12AB，故①正确；
∵AB//CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD(SSS)，
在△BGA和△COD中，
AG=DO∠BAG=∠CDOAB=DC，
∴△BGA≌△COD(SAS)，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=12CD=12AB，①正确；
先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB=BD=AD，因此OD=AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG=S△DOG，S△ABG=S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】3(x+y)(x-y)
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y)=3(x+y)(x-y)，
故答案为：3(x+y)(x-y)
12.【答案】127
【解析】解：∵7天中每天所出的次品数如下：3，3，0，2，3，0，3，
∴这七个数的平均数为3+3+0+2+3+0+37=2，
∴该班组在7天中出的次品数的方差的值是：
(3-2)2+(0-2)2+(3-2)2+(3-2)2+(3-2)2+(0-2)2+(2-2)27=127，
故答案为：127．
先求得次品数的平均数，然后用方差公式进行计算即可．
本题考查了求平均数和方差，掌握求一组数据的平均数和方差的公式是解题的关键．
13.【答案】a-3
【解析】
【分析】
此题考查的是分式的加减运算，因为分母相同，所以分母不变，分子直接相减，然后约分化简．
【解答】
解：a2a+3-9a+3
=a2-9a+3
=a+3a-3a+3
=a-3．
故答案为a-3．
14.【答案】8π
【解析】解：圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，
则此圆心角所对的弧长l=60π×24180=8π，
故答案为8π
利用弧长的计算公式计算即可．
本题考查了弧长的计算公式，运用公式解题时，需注意公式中n的值在代入计算时不能带有度数．
15.【答案】22.5°
【解析】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，
∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'
∴∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°
∴∠ABD=22.5°
故答案为：22.5°
由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
16.【答案】15 12
【解析】解：在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，AH⊥BC于点H，

∴设BH=x，
则CH=14-x，
∴AB2-AH2=AC2-CH2，
即132-x2=152-(14-x)2，
解得x=5，
即AH=5，
∴BH= AB2-BH2= 132-52=12，
∴S△ABC=12BC⋅AH=12×14×12=84，
由三角形面积公式，得S△ABD=12BD⋅AE=12xm，S△CBD=12BD⋅CF=12xn，
∴m=2S△ABDBD，n=2S△CBDBD，
∴y=m+n=2S△ABDx+2S△CBDx=2S△ABCx=168x，
即y=168x．
∵△ABC中AC边上的高为2S△ABCAC=16815=565，
∴x的取值范围为565≤x≤14．
∵m+n随x的增大而减小，
∴当x=565时，y的最大值为15，当x=14时，y的最小值为12．
故答案为：15，12．
根据S△ABC=S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值．
本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式，反比例函数的应用是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(-3)2+(π-12)0-|-4|
=9+1-4
=6；
(2)(1-1a+1)⋅a2+2a+1a
=a+1-1a+1⋅(a+1)2a
=a+1．
【解析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值；然后计算加减法；
(2)先计算括号内的，然后对分式的分子进行因式分解，通过约分进行化简．
本题主要考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，把分式化到最简是解答(2)题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD∠B=∠CAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴BD=CD．
(2)解：由(1)得：△ABD≌△ACD，
∴∠C=∠B=100°，∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠BDC+∠C=360°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°．
【解析】(1)由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，利用AAS可判定△ABD≌△ACD，从而得BD=CD；
(2)结合(1)与四边形的内角和为360°可求得∠BAC的度数，从而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是明确图中的隐含条件公共边．
19.【答案】解：(1)如图1中，点P即为所求；
(2)如图2中，直线l，直线l'即为所求．

【解析】(1)连接AC，作出线段AC的垂直平分线交ADF于点P，连接PC，点P即为所求；
(2)取格点Q，作直线CQ，连接AB取AB的中点T，作直线CT即可．
本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】200
【解析】解：(1)根据题意得：50÷25%=200(名)，
故答案为：200；
(2)360°×80200=144°，
答：扇形中“教育”部分的圆心角度数为144°；
(3)根据题意得：1200×30200=180(名)，
答：估计大约有180名学生最想阅读“科技”类书籍．
(1)由农业类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
(2)用360°乘以教育”部分的人数占被调查人数的比例即可；
(3)求出最想读科技类书籍的学生占的比例，乘以1200即可得到结果．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)利用描点法画出图形即可．

(2)由图象可知，y是x的反比例函数，设y=kx(k≠0)，
把(1,6)代入得到，k=6，
∴y关于x的函数解析式为y=6x；
(3)∵x>0时，反比例函数y=6x中y随x的增大而减小，
∴0∴MN=6a3a=6a3a=2．
【解析】(1)利用描点法即可解决问题；
(2)由图象可知，y是x的反比例函数，设y=kx(k≠0)，利用待定系数法即可解决问题；
(3)由图象得出函数的增减性，求出最大值M，最小值N，代入MN即可求解．
本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，OE=BE ∠OEC=∠BEF CE=EF ，
∴△OCE≌△BFE(SAS)，
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=2，
∴OB=OC=1，
由(1)得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=1，
∴AF= AB2+BF2= 22+12= 5，
∴S△ABF=12AB×BF=12AF×BD，
∴2×1= 5⋅BD，
∴BD=2 55．
(3)解：作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵AB=2，
∴OA=OC=OB=1，
由(1)得：△OCE≌△BFE，
∴OE=BE=12OB=12，
∴AE=OA+OE=32，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC= 22AB= 2，
∵OC⊥AB，
∴CE= OC2+OE2= 12+(12)2= 52，
∵△ACE的面积=12CE×AG=12AE×OC，
∴AG=AE×OCCE=32×1 52=3 55，
∴CG= AC2-AG2= ( 2)2-(3 55)2= 55，
∴cs∠ACF=CGAC= 55 2= 1010．
【解析】(1)证明△OCE≌△BFE(SAS)，可得∠OBF=∠COE=90°，可得结论；
(2)由(1)得：△OCE≌△BFE，则BF=OC=1，根据勾股定理得：AF= 5，利用面积法可得BD的长；
(3)作AG⊥CE于G，由题意得出AB=2OB=2，OE=BE=12，得出AE=32，由等腰直角三角形的性质得出AC=BC= 22AB= 2，由勾股定理得出CE= OC2+OE2= 52，由面积法求出AG=AE×OCCE=3 55，由勾股定理求出CG的长，然后由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系．
依题意可知MN=3，PQ=13，MP=100，AC=600，CE=124，AB=DC，BA⊥AC，DC⊥AC，MN⊥AC，PQ⊥AC．
由抛物线的对称性可知，MC=12AC=300.则可得点坐标：M(0,0)，N(0,3)，Q(100,13)．
设抛物线的表达式为y=ax2+3，
因为抛物线经过点Q，
所以将点Q的坐标带入得13=1002a+3．
解得a=11000，
得抛物线的表达式为y=11000x2+3，
当x=300时，得y=11000×3002+3=93，
因为DC⊥AC，
所以∠DCE=90°．
所以DE= DC2+CE2= 932+1242= (3×31)2+(4×31)2=5×31=155．
答：索塔顶端D与锚点E的距离为155米．
【解析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令y=300求得DC的长，然后利用勾股定理求得DE的长即可．
考查了二次函数的性质，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系并求得函数的解析式，难度中等．
24.【答案】(1)135°；
(2)线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD= 2CD+DA，理由如下：
过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：
则∠CDH=180°-∠ADC=180°-135°=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH=CD，HD= 2CD，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
∴△ACH≌△BCD(SAS)，
∴BD=AH=HD+DA= 2CD+AD；
(3)连接OC，如图3所示：
∵∠BCA=90°，BC=AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=OA=12AB=12(AE+BE)=12×(1+7)=4，
∴OE=OA-AE=4-1=3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE= OC2+OE2= 42+32=5，
∵CE是定值，
∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，
∵AB是⊙O的直径，
过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，
∵S△OCE=12OC⋅OE=12CE⋅ON，
∴ON=OC⋅OECE=4×35=125，
∵OD=OC=4，
∴DN=OD-ON=4-125=85，
此时，在Rt△CNO中，CN= OC2-ON2= 42-(125)2=165，
在Rt△CND中，CD= CN2+DN2= (165)2+(85)2=8 55，
在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=82-AD2，
由(2)知，BD= 2CD+AD= 2×8 55+AD=8 105+AD，
∴82-AD2=(8 105+AD)2，
∴AD=6 105，
∴BD=8 105+AD=8 105+6 105=14 105，
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD=14 105．
【解析】解：(1)∵∠BCA=90°，BC=AC，点O是AB的中点，
∴∠COA=90°，CO=12AB=OA，
∵△AOD是等边三角形，
∴OD=OA，∠ODA=∠DOA=60°，
∴OC=OD，∠COD=∠COA-∠DOA=90°-60°=30°，
∴∠ODC=12(180°-∠COD)=12×(180°-30°)=75°，
∴∠ADC=∠ODC+∠ODA=75°+60°=135°，
故答案为：135°；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由等腰直角三角形的性质得∠COA=90°，CO=OA，再由等边三角形的性质得OD=OA，∠ODA=∠DOA=60°，然后求出∠ODC=75°，即可求解；
(2)过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD(SAS)，得BD=AH=HD+DA= 2CD+AD；
(3)连接OC，由勾股定理得CE=5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交圆O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=125，则DN=OD-ON=85，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助(2)的结论求出AD，即可求出BD．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明△ACH≌△BCD是解题的关键，属于中考常考题型．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
3
2
1.5
1.2
1