(暑期班)初升高数学衔接讲义第02讲 分式和根式类问题的延伸 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第二讲   分式和根式类问题的延伸（精讲）

【知识点透析】

【知识点一】  分式的相关知识

1．分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

； ．

2．繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

【知识点精讲】

【例1】若，求常数的值．

【解析】： ∵，

　　   ∴ 

 解得  ．

【变式1】已知实数x、y满足，求代数式的值．

【答案】

【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．

【详解】解：，

∵，∴，

∴，，

∴原式．

【例2】观察下列各式：

①；        ②；     ③；        ④…

（1）请用以上规律计算：__________；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）2019．

【分析】（1）将化解为题目中的规律的形式，根据规律计算即可；

（2）根据题意规律计算即可求m得值．

【详解】解：（1），

，

，

，；

故答案为：；

（2）由规律可得

即解得：，

检验：当时，，

∴是原分式方程的解．

∴的值为2019．

【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）；

（2）计算：；

（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．

【解析】（1）证明：∵，

∴（其中n是正整数）成立．

（2）解：由（1）可知

 ＝．

（3）证明：∵＝＝，

又n≥2，且n是正整数，

∴一定为正数，∴＜．

【变式2】下列一组方程：①，②，③，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：

由①得：，解是x=1或x=2;

由②得：，解是x=2或x=3;

由③得：，解是x=3或x=4.

请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：

（1）第④个方程是         ，解是：          ；

（2）若n为正整数，则第n个方程是          ，解是：         ；

（3）若n为正整数，求关于x的方程的解．

【答案】（1）；或；

（2）；或；

（3）方程的解是x=n+3或x=n+4．

【分析】（1）根据已知方程的规律即可写出结论；

（2）根据已知方程的规律即可写出结论；

（3）将方程两边同时减去3，类比已知方程规律可得或，从而得出结论．

【详解】解：（1）解是：或

经检验：或是原方程的解

故答案为：； 或；

（2）解是：或

经检验：或是原方程的解

故答案为：；或；

（3）

则或

解得：x=n+3或x=n+4,

经检验，x=n+3或x=n+4是原方程的解．

所以，方程的解是x=n+3或x=n+4．

【例3】观察下列不等式：①；②；③；

根据上述规律，解决下列问题：

（1）完成第个不等式：___________；

（2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)；

（3）利用上面的猜想，比较和的大小．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；

(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；

(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．

【详解】(1)①， ②， ③，  ，

则第5个不等式为：，故答案为：；

(2)第n个不等式为：，故答案为：；

(3)，其理由是：

由(2)得：，即，

∴，

∴，则．

【例4】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．

解：知，所以，即．

所以．

故的值为．

该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：

已知：，求的值．

【答案】

【分析】由同时取倒数，可得，方程左侧分子、分母同时除以，可得，取倒数后分子、分母同时除以可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解．

【详解】解：由知，

∴，即，

∴．

∴．

【知识点二】根式类问题

一、基本知识

一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下：

 (1)             (2)

(3)  (4)

二次根式的意义

二、拓展知识

2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.

例如：，是无理式，而不是无理式

2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.

2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：

①与    ②与

【知识点精讲】

【例5】将下列式子化为最简二次根式：

（1）；    （2）；   （3）．

【解析】： （1）；

（2）；

（3）．

【变式1】与最接近的整数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

解：原式=，∵49<63<64， ∴，

∵， ∴，∴最接近8，

∴最接近8-3即5，

故选：C．

【变式2】化简下列各式：

(1)   (2)

【解析】：(1) 原式=

*(2) 原式=

【例6】阅读下列材料，然后回答问题：

在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

方法一：＝＝＝

方法二：＝＝＝＝

（1）请用两种不同的方法化简：；

（2）化简：．

【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；

方法二：原式＝＝﹣；

（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）

＝（﹣）＝﹣．

【变式1】化简：．

【解析】解：原式＝

＝

＝＝．

【变式2】 满足不等式的整数m的个数是_____．

【答案】7

解：∵，，

∴ ，，

∵<m<，

∴3.312<m<10.472，

∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，

∴整数m的个数是7，

故答案为：7．

【变式3】观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．

【答案】

解：原式

，故答案是：2021．

【例7】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：

（1）点的“横负纵变点”为　  　   ，点的“横负纵变点”为　　  ；

（2）化简：

【答案】（1），；（2）；

解：（1）根据题目意思，

∵和,

点的“横负纵变点”为，

点的“横负纵变点”为，

故答案为：，；

（2）∵2+5=7,2×5=10,  ∴；

【变式1】先阅读然后解答问题：化简

解：原式＝

根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：

（1）化简：（2）化简：．

【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；

（2）∵（）2，

＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，

∴＝．

【变式2】化简：（1）；         （2）．

【解析】

（1）原式．

（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．

【例 8】已知，求的值 ．

【解析】：∵，

，

∴．

【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．

【解析】解：（2）原式＝•＝，[来源:学科网ZXXK]

当x＝1+，y＝1﹣时，

原式＝＝＝．

初高中衔接素养提升专题课时检测

第二讲   分式和根式类问题的延伸（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．分式与都有意义的条件是（　　）

A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不对

【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，

解得x≠，x≠1，故选：C．

2.对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】B

【分析】将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得．

【详解】解：，

为非负整数，是一个正整数，的所有可能取值为，

即符合条件的个数有4个，故选：B．

3．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（　　）

A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1

【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，

∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．

故选：A．

4.若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．

【答案】D

【详解】解：若对任意总有意义，则恒成立，

的最小值为，

，即．故选：D．

5.已知，关于x的分式方程有增根，且，则的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】首先解分式方程，用含有字母m的式子表示x，再根据方程有增根求出m的值，然后将m的值代入得出关于a，b的等式，再配方根据完全平方公式的非负性求出a和b的值，即可得出答案．

【详解】，解得．

∵分式方程有增根，∴x-4=0，即x=4，∴6-m=4，解得m=2．

当m=2时，，

即，解得a=-1，b=3．则a+b=-1+3=2．

故选：B．

6.已知关于的分式方程无解，则的值为（    ）

A． B．或 C． D．或或

【答案】D

【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.

【详解】解：由得x=

∵分式方程无解∴=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或∴或或

故答案为D.

二、填空题

7.若分式方程无解，则______．

【答案】或2

【分析】先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．

【详解】解：在方程的两边同时乘以x－1，得 ，

解得．∴当k=2时，上述一元一次方程，即原分式方程无解，

当时，有，∵分式方程无解，∴，解得，

故答案为：或2．

8．计算：＝ ____．

【答案】

解：原式=

．

故答案为：．

9解方程：

①的解x=　   　．

②的解x=　   　．

③的解x=　   　．

④的解x=　   　．

…

（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．

（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．

【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1

【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是．

（2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是

试题解析：①，②，③，④

（1）第⑤个方程：解为 第⑥个方程：解为

（2）第个方程：解为 方程两边都乘 得解得

三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

10．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：

a＝＝＝2﹣，

∴a＝2﹣，

∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，

∴a2﹣4a＝﹣1，

∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1

请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)计算：．

(2)若．

①求4a2﹣8a﹣1的值；

②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．

【答案】(1)(2)①3；②﹣18

(1)解：

=（-1）+（-）+（-）+…+（-）=-1；

(2)解：①∵a=+1，∴a−1=，∴(a−1)2=2，∴a2−2a=1，

∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；

②∵a2−2a=1，

∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12=3a-6a2+9a-12=-6（a2﹣2a）-12=﹣18．

11.判断下列各式是否成立：

；；．

(1)类比上述式子，再写出两个同类型的式子．

(2)根据以上式子你能得出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

【答案】(1)，

(2)规律：，证明见解析

【解析】(1)，

，

(2)规律：．

证明：

12.在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：

(1)；(2)；(3)．

【答案】(1)(2)(3) 

(1)；

(2)；

(3)＋……＋．

．