(暑期班)初升高数学衔接讲义第04讲 常见不等式的解法 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第四讲   常见不等式的解法（精讲）

【知识点透析】

1、一元二次不等式的解法

（1）定义：只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 且系数 不等于零的不等式.

（2）一般形式：

（3）解法：

注：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零。[来源:学科网Z【知识点精讲】

【例1】 解下列一元二次不等式

（1）         （2）           

（3）         （4）　

【解析】：（1） ∴

（2）， ∴

（3） ∴

（4） ∴无解

【变式1】如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________．

【答案】

解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，

∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，

观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方，

∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为，

故答案为：．

【变式2】．解关于x的不等式

解：原不等式可以化为：

若即则或

若即则    

若即则或

【例2】 不等式的解为，求关于的不等式的解

【解析】：是一元二次方程的两个不等实根

由韦达定理，得

不等式，，

∴不等式解：

【变式1】已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．

【答案】

【详解】因为不等式的解集为，

所以，可得，所以可化为，

因为，所以可化为，

即，解得：或，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

【例3】  已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

【解析】：（1）当，即或时，

若时，，成立；当时，，舍[来源:Zxxk.Com]

（2）当时，，得：

综上：

【变式】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ）

A．     B．    C．或    D．或

【答案】A

【详解】对一切实数都成立，

①时，恒成立，②时，，解得，

综上可得，.

故选：A.

2、简单分式不等式的解法

形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）.

通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数.

（I）           （II）  

对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解.

【知识点精讲】

【例4】 解不等式：．

【解析】：解法1：化为两个不等式组来解：

∵x∈φ或，

∴原不等式的解集是．

解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

∵，

∴原不等式的解集是.

【例5】解不等式．

【解析】：原不等式可化为：

，所以原不等式的解集为． 

【变式1】解关于的不等式．

【答案】或

【详解】

，解得或，

所以不等式的解集为或，

【变式2】解下列不等式

(1)   (2)

【答案】(1)或

(2)

(3)或

【详解】（1）可化为，解得：或，

所以原不等式的解集为：或.

（2）可化为，解得：，

所以原不等式的解集为：.

3、简单的高次不等式的解法

【知识点精讲】

【例6】解不等式：；

【解析】：解法一（列表法）：①检查各因式中的符号均正；

②求得相应方程的根为：，1，3；

③列表如下：

④由上表可知，原不等式的解集为：．

列表法，解题步骤是：

①将不等式化为形式（各项的系数化为正数），令，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分……；

②按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．

解法二：（穿根法）

①的根是，1，3，在数轴上表示这三个数，

②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点

③若不等式（的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在轴上方的区间；

若不等式是“< 0 ”,则找“线”在轴下方的区间.

由图可知，原不等式的解集为：．

穿根法，解题步骤是：

①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间．

注意：奇穿偶不穿

【例7】 解不等式：

【解析】：：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；

③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ．

【变式训练1】不等式的解集是______.

【答案】或，

【解析】不等式等价为且，

∴或，∴不等式的解集是或，

【变式2】．求下列不等式的解集

（1）；          （2）.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：

(1)将不等式进行恒等变形，结合数轴穿根法可知原不等式解集为；

(2) 将不等式进行恒等变形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集为.

试题解析：

（1）原不等式等价于≤0 ≤0

由数轴穿根法可知原不等式解集为；

（2）不等式即，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不等式解集为.

4、绝对值不等式的解法

表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合.

【知识点精讲】

【例8】  求下列不等式的解集.

（1）               （2）  

【答案】                             【答案】

 【解析】  -5<2x-3< 5                      【解析】 x2-3x>4  或 x2-3x<-4     

  解得 -1<x<4                               解得  x< -1   或  x>4

 （3）                    （4）

【答案】         【答案】

【解析】                     【解析】

【变式1】、不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化去绝对值，移项合并即可

【详解】解：因为，所以，解得，

故选：C

【变式2】．不等式≥1的实数解为________．

【解析】　≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.

∴x≤－且x≠－2.

【答案】　

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第五讲   常见不等式的解法（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．不等式的解集是（   ）

A．或    B．或   C．    D．

【解析】由，可得；，

所以原不等式的解集为。

【答案】C

2．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－1<x<2，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为(　　)

A．－2<x<1    B．x>2或x<－1    C．x>1或x<－2 D．x<－1或x>1

【答案】C

【解析】　∵ax2＋bx＋2>0的解集为－1<x<2，

∴解得

∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.

3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　)

A.   B.  C.   D.

【答案】D　

【解析】[t∈(0,1)时，t<，∴解集为.]

4．一元二次不等式kx2+2（2k+1）x+9＞0对一切实数x恒成立，则k的取值范围是（　　）

A．（0，1） B． C． D．（0，+∞）

【解答】解：设f（x）＝kx2+2（2k+1）x+9，

当k＝0时，f（x）＝2x+9＞0，解得，不合题意；

当k≠0时，则，解得；

综上，实数k的取值范围为．

故选：B．

5．不等式|x2－2|＜2的解集是(　　)

A．(－1,1)     B．(－2,2)     C．(－1,0)∪(0,1)   D．(－2,0)∪(0,2)

【解析】　由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．

【答案】　D

6.不等式的解集是   （　　）

Ａ.   Ｂ.    Ｃ.　 Ｄ.

【解答】C

【解析】先将原不等式化为，

即，化简得，

即，解得，故选C.

7.不等式的解集为（   ）

A.     B.

C.    D.

【解答】C

【解析】原不等式可化为，即，

解得或，故选C.

二、填空题

8．抛物线的部分图像如图所示，则不等式的解集为______．

【答案】x＜-3或x＞1

解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0），

∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）

又∵抛物线开口向上

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1．

故答案为：x＜-3或x＞1．

9．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】∵ 不等式的解集为

∴或是方程的解，即， ，∴

∵∴或

∴或∴不等式的解集为，故答案为

10.已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________．

【答案】

【详解】因为不等式的解集为，

所以1和2是方程的两根，且，

由韦达定理可得

则不等式可化为，即

即，解得，所以不等式解集为

故答案为:

三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11.求下列不等式的解集.

（1）；  （2）；

（3）；  （4）.

【解析】（1）因为，所以原不等式等价于，

解得，所以原不等式的解集为.

（2）原不等式可化为,配方得 ,

又,所以,解得，所以原不等式的解集为.

（3）原不等式可化为，因为恒成立，

所以原不等式的解集为.

（4）原不等式可化为，因为恒成立，

所以原不等式无解，即原不等式的解集为.

12.解下列不等式

（1）    （2）    （3）

 【解析】：：（1），

所以原不等式的解集为．

（2），

所以原不等式的解集为．

（3）

所以原不等式的解集为．