(暑期班)初升高数学衔接讲义第05讲 一元二次方程根的分布 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第五讲   一元二次方程根的分布（精讲）

【知识点透析】

1、一元二次方程根的0分布

方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

2、一元二次方程根的k分布

3、一元二次方程根在区间的分布

【知识点精讲】

题型一 R上根的分布情况

【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___.

【答案】.

【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根

∴，∴

解得：.

【变式1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）

A．        B．       C．       D．

【答案】D

【解析】因为关于的方程有两个不等的实根

且，即：且，

解得且.故选：D.

【变式2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（    ）

A．        B．且        C．        D．且

【答案】B

【解析】由题可知：，所以，

又因为，所以且.故选：B.

题型二 根的“0”分布

【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，

所以，解得，

故实数的取值范围是.故选：C

【变式1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为_______.

【答案】

【解析】首先，

设方程的两根为，则，

所以，又，解得．

故答案为：．

【变式2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，

得，解得.

题型三 根的“k”分布

【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】令

由题可知：

则，即，故选：C

【变式1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】的两个根都大于

，解得

可求得实数的取值范围为，故答案为：

【变式2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，

设，根据二次函数的性质，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

题型四 根在区间上的分布

【例4】关于x方程在内恰有一解，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】当时，，不合题意；

∴，令，有，，

要使在内恰有一个零点，

∴即可，则，故选：B

【变式1】若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．

【答案】（，＋∞）

【解析】设，

由题意，解得，

故答案为：．

【变式2】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，

由题意知，解得－<a<－2.

【变式3】．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，

因为方程在上有两个不相等的实根，

所以，解得．

故选：．

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第五讲  一元二次方程根的分布（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（   ）

A．        B．

C．        D．

【答案】C

【解析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实根，

所以，即

解得：或故选：C.

2.一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根，

，解得，故选：C

3.若方程只有正根，则m的取值范围是（    ）

A．或        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】方程只有正根，则

当，即时，

当时，方程为时，，符合题意；

当时，方程为时，不符合题意.

故成立；

当，解得或，

则，解得.

综上得.故选B.

4．设，是关于的方程的根．若，，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知，函数开口方向向上，

若，，则函数须同时满足三个条件：

当时，，代入解得，恒成立；

当时，，代入解得，；

当时，，代入解得，

综上，实数的取值范围是．

故选：．

5．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：一元二次方程有两个实数根，，且，令，

则，即，解得，，．

故选：．

二、填空题

6.若关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，

令，则，解得，

7.已知方程x2－a2x－a＋1＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1，x2＞1.则实数a的取值范围是        ．

【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.

依题意有解得a＜－2.

8.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是        ．

【解析】　依题意有解得m＞4.

9.关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是        ．

【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.

依题意有即

解得m＜－.

三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

10方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m的取值范围．

【解析】方法一　设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图．

若两实根均大于1，需

即解得m≥25.

方法二　设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为两根均大于1，

所以x1－1＞0，x2－1＞0，

故有即解得

11．求实数的范围，使关于的方程

(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；

(2)有两个实根，且满足；

(3)至少有一个正根.

【解析】（1）设．

依题意有，即，得．

（2）设．

依题意有，解得．

（3）设．

方程至少有一个正根，则有三种可能：

①有两个正根，此时可得，即

②有一个正根，一个负根，此时可得，得．

③有一个正根，另一根为，此时可得

综上所述，得．

12.已知关于x的方程．

(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？

(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？

(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？

【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，

故方程的一个根大于1，另一个根小于1，

则，解得，所以a的取值范围是．

（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，

作满足题意的二次函数的大致图象，

由图知， ，

解得．所以a的取值范围是．

（3）方程的两个根都大于0，

则 ，解得，所以a的取值范围是．