(暑期班)初升高数学衔接讲义第07讲 集合间的基本关系 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第七讲   集合间的基本关系（精讲）

【知识点透析】

一、子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)

【注意】

（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．

例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；

同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，

并规定：空集是任何集合的子集．

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

（1）空集只有一个子集，即它本身；

（2）空集是任何非空集合的真子集．

2、0，{0}，∅，{∅}的关系

三、子集的性质

（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.

（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.

（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

（4）如果AB，BC，则AC.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2n个．

（2）A的非空子集的个数有2n－1个．

（3）A的真子集的个数有2n－1个．

（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．

五、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

【知识点精讲】

题型一 集合间关系的判断

【例题1】已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.

【详解】由题意得，集合．所以，B错误；

由于空集是任何集合的子集，所以A正确；

因为，所以C、D中说法正确．

故选：B．

【例题2】已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由图可得，由选项即可判断.

【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，

故选：D.

【变式1】已知集合，则下列关系正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．∅

【答案】C

【解析】因为集合，

所以根据子集的定义可知，故选：C.

【变式2】已知集合，则下列关系中正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】集合，

中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；

中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；

中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；

故选C．

题型二  子集、真子集、空集的概念

【例3】已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】．D

【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为：．

故选：D．

【例题4】定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）

A．14 B．15 C．16 D．17

【答案】B

【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数

【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，

∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，

则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，

故选：B

【例5】已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】．C

【解析】满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合的个数为个

【变式1】已知集合，则满足条件的A的个数为（       ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】A

【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，5，的子集的个数．

【详解】解：因为，

集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6，

因此满足条件的集合A为，2，，2，，2，，2，，2，3，，2，3，，

2，3，，2，4，，2，4，，2，5，，2，3，4，，2，3，4，，

2，3，5，，2，4，5，，2，3，4，5，共16个．

故选：A．

【变式2】已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）

A．32 B．4       C．5   D．31

【答案】．D

【解析】解：因为，且的约数有1，2，3，4，6，12，

当时，，则，故不符题意，舍去，

当时，，则，故符合题意，

当时，，则，故符合题意，

当时，，则，故符合题意，

当时，，则，故符合题意，

当时，，则，故符合题意，

所以，

所以集合A的真子集个数为.故选：D．

题型三 与空集有关的问题

【例题6】以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是

A．   B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据空集含义逐一判断.

【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合，不是空集；因为无实数解，所以；

故选：B

【例7】已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.

【答案】．

【解析】解：分两种情况考虑：

①若B不为空集，可得：，解得：，

，且，解得：，

②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.

综上，实数m的取值范围是.

【变式1】下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】．B

【解析】①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．

故选：B．

【变式2】下列四个集合中，是空集的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】．D

【解析】选项A，；选项B，；

选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.

题型四 集合关系的应用

【例8】已知，，，且不是空集，

（1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值.

【答案】（1）或或；（2）或或.

【解析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；

（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.

【详解】（1），且，

则或或；

（2）若，由韦达定理可得，解得；

若，由韦达定理可得，解得；

若，由韦达定理可得，解得.

综上所述，或或.

【例9】．设，集合，，且，求实数x，y 的值

【答案】．或

【解析】由得 : 解得    或  

【例题10】设集合，，且．

(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．

【答案】(1){或}   (2)

【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；

（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．

（1）当即时，，符合题意；

当时，有，解得．

综上实数的取值范围是或；

（2）当时，，所以集合的子集个数为个．

【变式1】已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.

【详解】因为，所以，解得，或，解得，

当时，，，，满足题意.

当时，，不满足集合的互异性.

当时，，，若，满足题意.

当时，，，若，满足题意.

故选：C.

【变式2】．已知M={x| 2≤x≤5}， N={x| a+1≤x≤2a1}.

（1）若MN，求实数a的取值范围；（2）若MN，求实数a的取值范围.

【答案】．．（1）空集；（2）.

【解析】（1）由得：

无解；故实数的取值范围为空集；

（2）由得：

当时，即；

当时，

，故；

综上实数的取值范围为.

题型五：根据集合的相等关系求参数

【例题11】已知集合，则与集合相等的集合为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.

【详解】对A，，故A错误；

对B，，故B错误；

对C，，故C错误；

对D，，故D正确.

故选：D.

【例12】（1）已知集合，当，求的值；

（2）已知集合，，若，求实数的取值范围.

 【答案】．．（1）1；（2）.

【解析】（1）若，则，，不合题意；

若，则或，当时，，当时，，不合题意；

若，则或，都不合题意；因此，所以.

（2），，∴借助数轴可得，

的取值范围为.

【变式1】已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.

【答案】．．a2 020+b2 020=1

【解析】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1.

【变式2】（1）已知集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有两个子集，求m的值．

（2）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值．

【答案】．．（1）0或；（2）2.

【解析】（1）集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有两个子集，则方程mx2﹣2x+3＝0有且只有一个根，当m＝0时，满足，

当△＝4﹣12m＝0，即m＝，满足，故m的值为0或，

（2）a、b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，

则a≠0，即a+b＝0，则b＝﹣a，

此时{1，0，a}＝{0，﹣1，b}，

则a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2.
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第七讲   集合间的基本关系（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．①，②，③，④，其中正确的个数为(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；

不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.

故正确的有①②，共2个.

故选：B.

2．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】因为集合的所有非空真子集为：，

所以有，

故选：D

3．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，

若满足条件，

则共4个集合.

故选：B

4．集合，，，则，，的关系

A．    B．    C．   D．

【答案】A

【解析】试题分析：通过列举可知，所以.

考点：两个集合相等、子集．

5．已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）

A．B．C．D．

【答案】 B

【解析】

N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.

故选：B

6．若非空集合，，则使得成立的所有a的值组成的集合是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，可知，当时，有

当时，有

因此，满足条件的a的值组成的集合是．

故选：C．

二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）

7.下列选项中两个集合相等的是（       ）

A．  B．

C．

D．

【答案】ACD

【解析】A. 因为，故两个集合相等；

B. 因为的元素是， 的元素为0，故两个集合不相等；

C. 因为 且，故两个集合相等；

D. ，故两个集合相等；

故选：ACD

8．已知集合，且，则实数的取值可以为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】．ABC

【解析】依题意，当时， ，满足题意；

当时，，要使，则有或，解得.

综上，或或.

故选：ABC.

三、填空题

9．已知集合有两个子集，则m的值是__________．

【答案】0或4

【解析】当时，，满足题意

当时，由题意得，

综上，或

故答案为：0或4

10．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个

【答案】7

【解析】因为，,

因为，所以1，2都是集合C的元素，

集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，

所以集合C为：，，，，，， ，共7个.

故答案为：7

四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11．已知集合.

（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；

（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）0或1.

【解析】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根，

于是得，即，解得，

所以实数a的取值范围为；

（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根，

当时，集合满足题意，则，

当时，则，，集合满足题意，即，

所以实数a的值为0或1.

12.已知M={x| -2≤x≤5}， N={x| a+1≤x≤2a-1}.

（1）若MN，求实数a的取值范围；（2）若MN，求实数a的取值范围.

【答案】．．（1）空集；（2）.

【解析】（1）由得：

无解；故实数的取值范围为空集；

（2）由得：

当时，即；

当时，

，故；

综上实数的取值范围为.