(暑期班)初升高数学衔接讲义第08讲 集合的基本运算 精讲精炼（2份打包，原卷版+教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义

第八讲  集合的基本运算（精讲）

【知识点透析】

一、交集

1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”

2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

3、图形语言：阴影部分为A∩B

4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A

5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集

1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”

2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

3、符号语言：阴影部分为A∪B

4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.

5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性

三、补集

1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.

2、补集

（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.

（2）符号语言：

（3）符号语言：

（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路

1、根据并集求参数范围：，

若A有参数，则需要讨论A是否为空集；

若B有参数，则

2、根据交集求参数范围：

若A有参数，则需要讨论A是否为空集；

若B有参数，则

【知识点精讲】

题型一 并集、交集、补集的运算

【例题1】设全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的定义直接求解即可.

【详解】因为，所以，

故选：C

【例题2】设集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，．

故选B．

【例题3】已知集合，，若，则实数a的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】因为，所以或，解得：．

故选：C．

【例题4】已知集合， ，若，（       ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由求出的值，进一步求出得答案.

【详解】因为， ，并且，

所以，所以.

故选：B.

【例题5】已知全集，集合，，则___________.

【答案】．

【解析】解：，1，2，3，4，，，1，2，，，，

，，，4，.故答案为：，4，.

【例题6】已知全集，集合，则（       ）．

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】直接根据补集概念运算求解即可.

【详解】因为全集，集合，所以或.

故选：D.

【例题7】已知集合，．

（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．

【答案】．（1）；（2）或.

【解析】（1）当时，，故；

（2）当时，即当时，，则；

当时，即当时，，

因为，则或，解得或，此时有.

综上所述，实数的取值范围是或.

【变式1】若集合，，则

A．    B．   C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交并运算求、，注意是否存在包含关系，即可得答案.

【详解】因为，，

所以，，相互没有包含关系.

故选：B

【变式2】设集合，，则（       ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可

【详解】由题，，则，故选：A

【变式3】已知集合，，则（       ）

A．       B．     C．     D．

【答案】C

【解析】，.

故选：C.

【变式4】已知集合，则（       ）

A．    B．  C． D．

【答案】C

【解析】由题意知：.

故选：C.

题型二  并集、交集、补集综合运算及性质的应用

【例题8】已知全集，集合，，，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.

【详解】集合，

又

故选：D

【例题9】已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（       ）

A．   B．    C． D．

【答案】D

【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.

【详解】，当时，，满足，只有D选项符合.

当时，，

要使，则或或，即或或，

所以实数a的所有值构成的集合是. 故选：D

【例题10】已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，解得即可.

【详解】解：因为，且，

所以，解得，即；

故选：D

【例题11】已知A，B都是非空集合，且．若，，则（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据交集、并集的运算及新定义求解即可.

【详解】由题意，得，，故或．

故选：D

【例题12】已知集合，．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）若 ，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】：（1）因为，所以，

；      

（2）若 ，则 或，不等式组无解，

所以  时，所以

【变式1】集合，，若，求实数的取值范围.

【答案】．，由题意，知，因为，所以.

（1）若，则1是方程的根，所以. 当时，，符合题意.

（2）若，则2是方程的根，所以.

当时，，此时不满足，所以不符合题意.

（3）若，则，解得，此时.

综上所述，的取值范围为.

【变式2】已知，设集合，，

（1）当时，求集合A．（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，有，解得，故．

（2）∵，∴，

不等式可以表示成，

当时，，此时成立，

当时，，成立，

当时，，若此时成立，则，解得，故．

综上所述，．

【变式3】已知集合，．

(1)在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析   (2)

【分析】（1）代入的值求出集合，再求并集可得答案；

（2）求出，根据可得，分、讨论可得答案.

（1）选择条件①：

因为，所以，

又，所以；

选择条件②：

因为，所以，

又，所以；

选择条件③：

因为，所以，

又，所以；

（2）因为，所以，

因为，所以，

当时，满足，此时，即，

当时，则或，

解得或，

综上，a的取值范围为．

题型三  Venn图的应用

【例题13】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】．B

【解析】，所以，图象表示集合为，

，.

故选：B

【例题14】已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．      B．     C． D．

【答案】．C

【解析】，

集合．

因为集合，所以，

所以Venn图中阴影部分表示的集合为，

故选：C．

【例题15】国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的运算可得答案.

【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为.

故选：A.

【变式】某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（       ）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人

【答案】D

【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解.

【详解】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人，

则仅参加项的有人，仅参加项的有人，

，两项公益活动都不参加的有人，

由题意得，解得，

所以只参加项不参加项的有人）.

故选D．

题型四  集合新定义创新类型

【例12】已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】．D

【解析】∵，，

∴，，

∴，其中有个元素，故选D.

已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的值域求得，由此求得.

【详解】在上递减，所以，

的对称轴为轴，所以，所以.

故选:B

【变式1】设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（    ）

A．16 B．9 C．8 D．4

【答案】B

【解析】由题意，对子集分类讨论：

当集合，集合可以是，共4中结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共1种结果，

根据计数原理，可得共有种结果.

故选：B.

【变式2】对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.

【答案】13

【解析】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；

当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，

∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}

＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），

（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，

共13个元素，

故答案为：13

初高中衔接素养提升专题课时检测

第八讲  集合的基本运算（精练）

（测试时间60分钟）

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】解：因为，，所以.

故选：B

2．已知集合，，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得集合表示满足的实数对，集合表示满足的实数对，

联立方程组，解得，表示同时满足集合与的实数对，

所以，

故选：D.

3．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，∴.

故选：D.

4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A．    B．    C． D．

【答案】C

【解析】解：因为，，所以，

所以.

故选：C

5．设全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，因为，所以.

故选：D.

6．已知集合，集合若，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由，得：

①若，即时，，符合题意；

②若，即时，因为，

则或解得， 综上所述：，实数m的取值范围为：．

故选：B．

二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）

7．已知集合，则下列结论错误的是（　　）

A．   B．   C． D．

【答案】AC

【解析】.因为，所以选项A结论不正确；

因为，所以选项B结论正确；

因为，所以选项C结论不正确；

因为，所以选项D结论正确，

故选：AC

8．集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】，A错误；

，，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC.

三、填空题

9．已知集合，，若，，则实数的值为________．

【答案】

【解析】因为，所以，所以，得，

所以，所以，即有且只有一个实根，

所以，解得.

故答案为：

10．从集合的子集中选出两个非空集合A，B，满足以下两个条件：①；②若，则．共有________种不同的选择．

【答案】5

【解析】由于若，则，故集合A中最大的元素只能出现3，且不能同时出现，故A中最多有两个元素

（1）中只有一个元素：

，；，；，；

（2）中有两个元素：

，； ，；

因此，共有5种不同的选法.

故答案为：5

四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11．已知集合，B={2，3}，C={，2，5}.

(1)当a=1时，求  (2)若，且，求实数a的值.

【答案】(1)   (2)

【解析】(1)当时，.

由，得，则或，所以.

因为，则.

因为，则.

(2)由，得，即，所以.

因为，且，则.

若，即，则，符合要求.

若，即，则，此时，不合题意.

综上分析，.

12．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：

已知集合，，若       ____，求实数的取值范围．

【答案】答案见解析

【详解】

若选①：，

当时，有，即时，满足题意，

当时，或，解得，

此时，实数a的范围是．

若选②：，则是的子集，，

当，有，即，满足题意；

当时，或，解得，

此时，实数a的范围是．

若选③：，则，

当，有，即，满足题意；

当时，，解得；

此时，实数a的范围是.