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(暑期班)初升高数学衔接讲义第10讲 全称量词与存在量词 精讲精炼(2份打包,原卷版+教师版)
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初高中衔接素养提升专题讲义
第十讲 全称量词与存在量词(精讲)
【知识点透析】
一、全称量词与全称命题
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
∀
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)
【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的,也可能是无限的,由有题目而定;
(2) 常见的全称量词还有“一切”、“任给”等,相应的词语是“都”
二、存在量词与特称命题
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
∃
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0)
【注意】(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题;
(2)一个全称量词命题可以包含多个变量;
(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补出来。
三、全称命题与特称命题的否定
命题
命题的表述
全称命题p
∀x∈M,p(x)
全称命题的否定p
∃x0∈M,p(x0)
特称命题p
∃x0∈M,p(x0)
特称命题的否定p
∀x∈M,p(x)
命题与命题的否定的真假判断:
一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
即:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定是假命题,反之亦然
四、常见正面词语的否定:
正面词语
等于(=)
大于(>)
小于(<)
是
都是
否定
不等式(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个
【知识点精讲】
题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断
【例题1】下列命题是全称量词命题的是( )
A.有些实数是无理数 B.至少有一个整数,使得是质数
C.每个三角形的内角和都是 D.,使得
【答案】C
【分析】根据全称命题和存在命题的定义判断各选项即可.
【详解】对于A,可将命题改写为:,使得为无理数,则命题为存在命题,A错误;
对于B,可将命题改写为:,使得为质数,则命题为存在命题,B错误;
对于C,可将命题改写为:中,,则命题为全称命题,C正确;
对于D,命题包含存在量词,则其为存在命题,D错误.
故选:C
【例题2】下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是( ).
A.实数都大于0 B.有些菱形是正方形
C.三角形内角和为180° D.有小于1的自然数
【答案】C
【分析】B、D不是全称命题,A、C是全称命题而A显然错误.
【详解】实数都大于0,是全称命题,但不是真命题,所以A.选项错误;
有些菱形是正方形,不是全称命题,所以B选项错误;
三角形内角和为180°,是真命题,也是全称命题,所以C选项正确;
有小于1的自然数,是真命题,但不是全称命题,所以D选项错误.
故选:C.
【例题3】下列命题中是存在量词命题的是( )
A.所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B.正方形都是平行四边形
C.空间中不相交的两条直线相互平行 D.存在大于等于9的实数
【答案】D
【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.
【详解】选项A中,“所有的”是全称量词;
选项B中,意思是所有的正方形都是平行四边形,含全称量词;
选项C中:意思是所有的不相交的两条直线相互平行,是全称量词;
选项D中,“存在”是存在量词.
故选:D.
【例题4】下列命题中是存在量词命题且为假命题的是( )
A., B.所有的正方形都是矩形
C., D.,使
【答案】C
【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.
【详解】A:命题为存在量词命题,当时,,故为真命题;
B:命题为全称量词命题,不是存在量词命题;
C:命题为存在量词命题,,,故为假命题;
D:命题为存在量词命题,当时,,故为真命题.
故选:C
【例题4】给出下列四个命题,其中是真命题的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【分析】根据全称量词命题,存在量词命题的概念逐项分析即得.
【详解】对于A,当x=0时,不成立,故A为假命题;
对于B,当时,满足,故B为真命题;
对于C,当时,不成立,故C为假命题;
对于D,由可得,且均为无理数,故D为假命题.
故选:B.
【例题5】下列四个命题中的真命题为( )
A., B.,
C.∀x∈R, D.∀x∈R,
【答案】D
【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可.
【详解】若1<<3,得,则,故A错误,
由得,则,故B错误,由得,故C错误,
恒成立,故D正确,故选:D.
【变式1】下列命题中
(1)有些自然数是偶数;(2)正方形是菱形;(3)能被6整除的数也能被3整除;
(4)对于任意x∈R,总有.存在量词命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】对于(1),有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题;
对于(2),正方形是菱形,可以写成“所有的正方形都是菱形”,它是全称量词命题;
对于(3),能被6整除的数也能被3整除,可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;
对于(4),对于任意x∈R,总有,含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.
所以存在量词命题的序号是(1),有1个.
故选B.
【变式2】 下列命题不是存在量词命题的是( )
A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除
C.存在x∈{x|x>3},使x2﹣5x+6<0 D.有一个m,使2﹣m与|m|﹣3异号
【答案】B
【解析】对于A,有些实数没有平方根,有存在量词“有些”,是存在量词命题;
对于B,“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”,是全称量词命题;
对于C,存在x∈{x|x>3},使x2﹣5x+6<0,有存在量词“存在”,是存在量词命题;
对于D,有一个m,使2﹣m与|m|﹣3异号,有存在量词“有一个”,是存在量词命题.
故选B.
【变式3】下列命题中的假命题是( )
A. , B.,
B. C., D.,
【答案】.B
【解析】A中命题是全称量词命题,易知恒成立,故是真命题;
B中命题是全称量词命题,当时,,故是假命题;
C中命题是存在量词命题,当时,,故是真命题;
D中命题是存在量词命题,当时,,故是真命题.
故选:B
【变式4】下列命题中真命题的个数( ).
(1); (2);
(3)能被2和3整除; (4)
A.0个 B.4个 C.2个 D.3个
【答案】.D
【解析】:(1),,,正确;
(2)时,,因此正确;
(3)时,能被2和3整除,因此正确;
(4)由于,无实数根,因此不正确.
所以真命题的个数为3个.
故选:D.
【变式5】有下列四个命题:①,;②,;③,,;④,.其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】.A
【解析】对于①,,,则,①是真命题;
对于②,因时,,,②是假命题;
对于③,因,,即,③是假命题;
对于④,因当且仅当或时,,而,且,④是假命题,
所以真命题的序号是①,共1个.
故选:A
题型二 全称命题与特称命题的否定
【例6】命题“∀x>2,x2﹣3>0的否定是( )
A.∃x0≤2,x02﹣3≤0 B.∀x>2,x2﹣3≤0
C.∃x0>2,x02﹣3≤0 D.∀x≤2,x2﹣3≤0
【答案】C
【解析】命题为全称命题,则命题的否定为,故选:C.
【例题7】设命题,,则命题p的否定为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知,
存在量词命题,的否定为:,.故选:B.
【变式1】命题“对任意,都有”的否定为( )
A.存在,使得 B.对任意,都有
C.存在,使得 D.不存在,使得
【答案】.C
【解析】
对命题“任意,都有” 的否定为:
存在,使得.
故选:C
【变式2】命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】.C
【解析】命题“,”为全称量词命题,
其否定为存在量词命题,
故选:C.
【变式3】下列命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定是“”
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,则“”是“”的必要而不充分条件
【答案】ABD
【解析】
对于选项A:“a>1”可推出“
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