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    (暑期班)初升高数学衔接讲义第10讲 全称量词与存在量词 精讲精炼(2份打包,原卷版+教师版)

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    初高中衔接素养提升专题讲义
    第十讲 全称量词与存在量词(精讲)
    【知识点透析】
    一、全称量词与全称命题
    全称量词
    “所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
    符号

    全称命题p
    含有全称量词的命题
    形式
    “对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)
    【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的,也可能是无限的,由有题目而定;
    (2) 常见的全称量词还有“一切”、“任给”等,相应的词语是“都”
    二、存在量词与特称命题
    存在量词
    “有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
    符号

    特称命题
    含有存在量词的命题
    形式
    “存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0)
    【注意】(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题;
    (2)一个全称量词命题可以包含多个变量;
    (3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补出来。
    三、全称命题与特称命题的否定
    命题
    命题的表述
    全称命题p
    ∀x∈M,p(x)

    全称命题的否定p
    ∃x0∈M,p(x0)
    特称命题p
    ∃x0∈M,p(x0)
    特称命题的否定p
    ∀x∈M,p(x)
    命题与命题的否定的真假判断:
    一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
    即:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定是假命题,反之亦然
    四、常见正面词语的否定:
    正面词语
    等于(=)
    大于(>)
    小于(<)

    都是
    否定
    不等式(≠)
    不大于(≤)
    不小于(≥)
    不是
    不都是
    正面词语
    至多有一个
    至少有一个
    任意
    所有
    至多有n个
    否定
    至少有两个
    一个都没有
    某个
    某些
    至少有n+1个
    【知识点精讲】
    题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断
    【例题1】下列命题是全称量词命题的是(       )
    A.有些实数是无理数 B.至少有一个整数,使得是质数
    C.每个三角形的内角和都是 D.,使得
    【答案】C
    【分析】根据全称命题和存在命题的定义判断各选项即可.
    【详解】对于A,可将命题改写为:,使得为无理数,则命题为存在命题,A错误;
    对于B,可将命题改写为:,使得为质数,则命题为存在命题,B错误;
    对于C,可将命题改写为:中,,则命题为全称命题,C正确;
    对于D,命题包含存在量词,则其为存在命题,D错误.
    故选:C
    【例题2】下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是(       ).
    A.实数都大于0 B.有些菱形是正方形
    C.三角形内角和为180° D.有小于1的自然数
    【答案】C
    【分析】B、D不是全称命题,A、C是全称命题而A显然错误.
    【详解】实数都大于0,是全称命题,但不是真命题,所以A.选项错误;
    有些菱形是正方形,不是全称命题,所以B选项错误;
    三角形内角和为180°,是真命题,也是全称命题,所以C选项正确;
    有小于1的自然数,是真命题,但不是全称命题,所以D选项错误.
    故选:C.
    【例题3】下列命题中是存在量词命题的是(       )
    A.所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B.正方形都是平行四边形
    C.空间中不相交的两条直线相互平行 D.存在大于等于9的实数
    【答案】D
    【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.
    【详解】选项A中,“所有的”是全称量词;
    选项B中,意思是所有的正方形都是平行四边形,含全称量词;
    选项C中:意思是所有的不相交的两条直线相互平行,是全称量词;
    选项D中,“存在”是存在量词.
    故选:D.
    【例题4】下列命题中是存在量词命题且为假命题的是(  )
    A., B.所有的正方形都是矩形
    C., D.,使
    【答案】C
    【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可.
    【详解】A:命题为存在量词命题,当时,,故为真命题;
    B:命题为全称量词命题,不是存在量词命题;
    C:命题为存在量词命题,,,故为假命题;
    D:命题为存在量词命题,当时,,故为真命题.
    故选:C
    【例题4】给出下列四个命题,其中是真命题的是(       )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】B
    【分析】根据全称量词命题,存在量词命题的概念逐项分析即得.
    【详解】对于A,当x=0时,不成立,故A为假命题;
    对于B,当时,满足,故B为真命题;
    对于C,当时,不成立,故C为假命题;
    对于D,由可得,且均为无理数,故D为假命题.
    故选:B.
    【例题5】下列四个命题中的真命题为(  )
    A., B.,
    C.∀x∈R, D.∀x∈R,
    【答案】D
    【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可.
    【详解】若1<<3,得,则,故A错误,
    由得,则,故B错误,由得,故C错误,
    恒成立,故D正确,故选:D.
    【变式1】下列命题中
    (1)有些自然数是偶数;(2)正方形是菱形;(3)能被6整除的数也能被3整除;
    (4)对于任意x∈R,总有.存在量词命题的个数是(  )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    【答案】B
    【解析】对于(1),有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题;
    对于(2),正方形是菱形,可以写成“所有的正方形都是菱形”,它是全称量词命题;
    对于(3),能被6整除的数也能被3整除,可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;
    对于(4),对于任意x∈R,总有,含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.
    所以存在量词命题的序号是(1),有1个.
    故选B.
    【变式2】 下列命题不是存在量词命题的是(  )
    A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除
    C.存在x∈{x|x>3},使x2﹣5x+6<0 D.有一个m,使2﹣m与|m|﹣3异号
    【答案】B
    【解析】对于A,有些实数没有平方根,有存在量词“有些”,是存在量词命题;
    对于B,“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”,是全称量词命题;
    对于C,存在x∈{x|x>3},使x2﹣5x+6<0,有存在量词“存在”,是存在量词命题;
    对于D,有一个m,使2﹣m与|m|﹣3异号,有存在量词“有一个”,是存在量词命题.
    故选B.
    【变式3】下列命题中的假命题是( )
    A. , B.,
    B. C., D.,
    【答案】.B
    【解析】A中命题是全称量词命题,易知恒成立,故是真命题;
    B中命题是全称量词命题,当时,,故是假命题;
    C中命题是存在量词命题,当时,,故是真命题;
    D中命题是存在量词命题,当时,,故是真命题.
    故选:B
    【变式4】下列命题中真命题的个数( ).
    (1); (2);
    (3)能被2和3整除; (4)
    A.0个 B.4个 C.2个 D.3个
    【答案】.D
    【解析】:(1),,,正确;
    (2)时,,因此正确;
    (3)时,能被2和3整除,因此正确;
    (4)由于,无实数根,因此不正确.
    所以真命题的个数为3个.
    故选:D.
    【变式5】有下列四个命题:①,;②,;③,,;④,.其中真命题的个数为( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】.A
    【解析】对于①,,,则,①是真命题;
    对于②,因时,,,②是假命题;
    对于③,因,,即,③是假命题;
    对于④,因当且仅当或时,,而,且,④是假命题,
    所以真命题的序号是①,共1个.
    故选:A
    题型二 全称命题与特称命题的否定
    【例6】命题“∀x>2,x2﹣3>0的否定是( )
    A.∃x0≤2,x02﹣3≤0 B.∀x>2,x2﹣3≤0
    C.∃x0>2,x02﹣3≤0 D.∀x≤2,x2﹣3≤0
    【答案】C
    【解析】命题为全称命题,则命题的否定为,故选:C.
    【例题7】设命题,,则命题p的否定为( )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】B
    【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知,
    存在量词命题,的否定为:,.故选:B.
    【变式1】命题“对任意,都有”的否定为( )
    A.存在,使得 B.对任意,都有
    C.存在,使得 D.不存在,使得
    【答案】.C
    【解析】
    对命题“任意,都有” 的否定为:
    存在,使得.
    故选:C
    【变式2】命题“,”的否定是( )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】.C
    【解析】命题“,”为全称量词命题,
    其否定为存在量词命题,
    故选:C.
    【变式3】下列命题正确的是( )
    A.“”是“”的充分不必要条件
    B.命题“”的否定是“”
    C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
    D.设,则“”是“”的必要而不充分条件
    【答案】ABD
    【解析】
    对于选项A:“a>1”可推出“

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