2024年新高考数学一轮复习 第六章 第一节 数列的概念及通项公式

课时跟踪检测（三十九） 数列的概念及通项公式

一、全员必做题

1．数列－1,3，－5,7，－9，…，的一个通项公式为(　 )

A．an＝2n－1

B．an＝(－1)n(1－2n)

C．an＝(－1)n(2n－1)

D．an＝(－1)n＋1(2n－1)

解析：选C　∵数列{an}各项值为－1,3，－5,7，－9，…，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n－1，又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝(－1)n(2n－1)．

2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　 )

A.       B        C.  D.

解析：选A　因为Sn＝，a4＝32，所以S4－S3＝－＝32，解得a1＝，故选A.

3．已知数列{an}满足＝，a1＝3，则数列{an}的通项公式是(　 )

A．an＝3n  B．an＝n＋2

C．an＝2n＋1  D．an＝3n2

解析：选A　由题意得＝，即＝＝…＝＝＝3，所以数列是以＝3为首项的常数列，则＝3，得an＝3n.

4．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　 )

A．第2项  B．第3项

C．第4项  D．第5项

解析：选B　因为Sn＝n2－10n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11.当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式，所以an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，所以当n＝3时，f(n)取最小值．

5．记Sn为递增数列{an}的前n项和，“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　 )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　因为“an>0”⇒数列{Sn}是递增数列，所以充分性成立；反之，如数列{an}为－1，1,3,5,7，9，…，显然{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，所以必要性不成立．因此“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．故选A.

6．已知数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则a10＝(　 )

A．36        B．45       C．55      D．66

解析：选C　由an＋1＝an＋n＋1得an＋1－an＝n＋1，∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，则an－a1＝2＋3＋…＋n＝，∴an＝1＋，∴a10＝1＋＝55.

7．若数列{an}的前n项和Sn＝，则其通项公式为____________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，当n＝1时，不满足上式，所以an＝n∈N*.

答案：an＝n∈N*

8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 022＝______________.

解析：由题意得a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，…，故数列{an}是以4为周期的周期数列，故a2 022＝a2＝－3.

答案：－3

9．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．

解析：∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．

答案：an＝(n∈N*)

10．已知数列{an}满足an＝，n∈N*，则该数列的最大项是________．

解析：an＝，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，an＝，n∈N*，由n＝⇒n＝，所以{an}在[1,2]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，所以{an}的最大项为a2＝a3＝.

答案：

11．已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n(n＋4)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解：(1)∵5S1＝5，∴a1＝1；

∵5Sn＝n(n＋4)，

∴5Sn－1＝(n－1)(n＋3)(n≥2)两式相减可得an＝(n≥2)，

又a1＝1符合上式，∴an＝.

(2)由(1)知，bn＝，所以当n＝1,2,3时，1≤<2，此时bn＝1；

当n＝4,5时，2<<3，此时bn＝2；

当n＝6,7,8时，3≤<4，此时bn＝3；

当n＝9,10时，4<<5，此时bn＝4，

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.

(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；

(2)求n为何值时，an最小．

解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6且bn＝an＋1－an，即(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，

即bn＋1－bn＝2n－6，又a1＝1，a2＝－13，所以b1＝a2－a1＝－14.

当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)

＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]

＝－14＋2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－6(n－1)

＝－14＋2×－6(n－1)

＝－14＋n(n－1)－6(n－1)＝n2－7n－8，

当n＝1时，上式也成立．

所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.

(2)由(1)可知an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)．

当n<8时，an＋1<an，

即a1>a2>a3>…>a8；当n＝8时，a9＝a8；

当n>8时，an＋1>an，即a9<a10<a11<…，

所以当n＝8或n＝9时，an的值最小．

二、重点选做题

1．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　 )

A．b1<b5  B．b3<b8

C．b6<b2  D．b4<b7

解析：选D　当n取奇数时，由已知b1＝1＋，b3＝1＋，因为>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因为>，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；因为>，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确．故选D.

2．(多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0<k<1)，下列命题正确的有(　 )

A．当k＝时，数列{an}为递减数列

B．当k＝时，数列{an}一定有最大项

C．当0<k<时，数列{an}为递减数列

D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项

解析：选BCD　当k＝时，a1＝a2＝，A错误；当k＝时，＝·，当n<4时，>1，n>4时，<1，所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0<k<时，＝k·<≤1，所以数列{an}为递减数列，C正确；当为正整数时，1>k≥，当k＝时，a1＝a2>a3>a4>…，当1>k>时，令＝m∈N*，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确．

3．(2023·北京海淀区期末)数列{an}的通项公式为an＝n2－3n，n∈N*，前n项和为Sn，给出下列三个结论：

①存在正整数m，n(m≠n)，使得Sm＝Sn；

②存在正整数m，n(m≠n)，使得am＋an＝2；

③记Tn＝a1a2…an(n＝1,2,3，…)，则数列{Tn}有最小项．

其中所有正确结论的序号是(　 )

A．①       B．③    C．①③  D．①②③

解析：选C　由题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－3n，令an＝0，即n2－3n＝0，解得n＝3或n＝0(舍去)，即a3＝0，所以S2＝S3，即存在正整数m，n(m≠n)，使得Sm＝Sn，所以①正确；由an＝n2－3n，可得当n≥3时，an≥0，且数列递增，当m，n∈[1,3]且m，n∈N*时，可得am＋an＜0，2≥0，所以am＋an≠2；当m∈[1,3]，n∈(3，＋∞)或m∈(3，＋∞)，n∈[1,3]且m，n∈N*时，易知am＋an≠2；当m，n∈[3，＋∞)且m，n∈N*时，am＋an≥2，当且仅当am＝an时等号成立，与n≥3时数列{an}递增矛盾，故am＋an＞2.综上，不存在正整数m，n(m≠n)，使得am＋an＝2，所以②不正确；由an＝n2－3n，可得a1＝－2，a2＝－2，a3＝0，当n＞3时，an＞0，数列{an}递增，又Tn＝a1a2…an(n＝1,2,3，…)，所以当n＝1时，数列{Tn}有最小项T1＝－2，所以③正确．故选C.

4．已知数列{an}满足：①先单调递减后单调递增；②当n＝3时取得最小值．写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝____________.

解析：设an＝(n－3)2(n∈N*)，则an＋1＝(n－2)2，an＋1－an＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，当1≤n≤2时，an＋1－an＝2n－5<0，数列单调递减，当n≥3时，an＋1－an＝2n－5>0，数列单调递增，即a1>a2>a3<a4<…，可得当n＝3时数列取得最小值．

答案：(n－3)2(n∈N*)(答案不唯一)