资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
第16讲 概率的进一步认识（七大题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）
展开
这是一份第16讲 概率的进一步认识（七大题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第16讲概率的进一步认识解析版-暑假自学课2023年新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第16讲概率的进一步认识原卷版-暑假自学课2023年新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
第16讲 概率的进一步认识
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
一、用树状图或表格求概率
1.树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
二、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
考点1：列举法求概率
例1．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，
∴（反，反）的概率．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比．
例2．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：这里的无理数有，，共2个，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．
例3．从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．
【解析】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．
故选：C．
【点睛】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
考点2：列表法或树状图法求概率
例4．下列说法正确的是（ ）
A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是
B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为
C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”
D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是
【答案】D
【分析】根据概率公式可对A、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断，根据概率的意义可对C进行判断．
【解析】解：A、摸到红球的概率＝，所以A选项错误；
B、画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝，故B选项错误；
C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误；
D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
例5．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出表格，可得4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，再根据概率公式计算，即可求解．
【解析】解：根据题意，列出表格，如下：
黑
白
黑
黑黑
白黑
白
黑白
白白
一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
例6．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解析】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
例7．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（ ）
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
【答案】D
【分析】先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．
【解析】解：画树状图如下，
所有等可能的结果共6种，
摸出2个球颜色相同的概率为：；
摸出2个球颜色不相同的概率为：；
摸出2个球中至少有1个红球的概率为：；
摸出2个球中至少有1个白球的概率为：；
所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机模取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四张小图片分别记作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：将四张小图片分别记作A、B、C、D
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
共有12种情形，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为
故选B
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
例9．某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择A检票通道的概率是 ___________;
(2)求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可.
【解析】（1）解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，
∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.
∴P（选择A）=.
故答案为：；
（2）由题意列树状图得，
由上图可以看出，
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，
∴P（甲乙两人选择的通道相同）.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键.
例10．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小军选择，依次记为，，，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好.
(1)小军从中随机抽取一枚，恰好抽到是C（雪容融）概率是______．
(2)小军从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小军同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可．
（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B和C的情况，用概率公式求解即可．
【解析】（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，
∴P（抽到是C）．
故答案为： ．
（2）根据题意画树状图，如图所示，
从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．
∴恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．
【点睛】本题考查了概率公式以及画树状图法与列表法求概率．解题的关键是把所有等可能的情况都列举出来．
考点3：游戏的公平性
例11．小丽和小刚都想参加学校组织的暑期实践活动，但只有一个名额，小丽提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至9个9号码，随意转动－次转盘，根据指针指向区间决定谁去参加活动，具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若指针指向奇数区间，小丽去参加活动．
(1)求小刚去参加活动的概率是多少?
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由．
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析．
【分析】（1）根据简单事件的概率计算公式即可得；
（2）先根据简单事件的概率计算公式求出小丽去参加活动的概率，再与（1）的结论进行大小比较即可得．
【解析】（1）小刚转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向偶数区间的结果共有4种
则小刚去参加活动的概率是；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
小丽转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向奇数区间的结果共有5种
则小丽去参加活动的概率是
这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，理解题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．
例12．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
【答案】这个游戏对三人公平
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，和小明与小颖获胜的情况数，求出他们获胜的概率， 比较即可得到结果．
【解析】解：列出表格，如图所示：
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（剪刀，石头）
（布，石头）
剪刀
（石头，剪刀）
（剪刀，剪刀）
（布，剪刀）
布
（石头，布）
（剪刀，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）；
小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
∴P（小明获胜）＝P（小颖获胜），
则这个游戏对三人公平．
【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
例13．四张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如下：随机抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽一张，将抽取的第- -张第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数和个位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜，反之的 小晶胜.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请修改图游戏规则，使游戏公平.
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平；调整规则见详解
【分析】（1）根据求概率公式即可得到答案；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解析】（1）（抽到数字2）.
（2）列表如下：
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
由表格可知，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足两位数不超过32的结果有10种，
所以（小贝胜），（小晶胜）.
所以这个游戏不公平.
调整规则：
法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．
法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．
法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
考点4：几何概率
例14．如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．
例15．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．
【解析】解：A、小球落在阴影部分的概率为；
B、小球落在阴影部分的概率为；
C、小球落在阴影部分的概率为；
D、小球落在阴影部分的概率为；
小球落在阴影部分的概率最小的是A，
故选：A．
【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．
例16．如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可；
【解析】解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25，
该图形总面积为8×8=64，
∴针尖落在阴影部分的概率=，
故选： D．
【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
考点5：概率的其他应用
例17．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
【答案】D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．
【解析】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
因此第一题答对的概率为：，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，
共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.
∵，
∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，
故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
例18．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可．
【解析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键．
例19．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（ ）
A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理
C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼
【答案】A
【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．
【解析】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．
考点6：频率与概率的关系
例20．下列说法中，正确的是（ ）
A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循
B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果
C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近
D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近
【答案】D
【分析】根据随机事件和利用频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、随机事件的发生具有偶然性，但反复试验也有规律可循，故本选项错误；
B、随机事件的发生具有规律性，第一次试验不一定代表最后结果，故本选项错误；
C、试验的次数越少，频率的分布越不集中，不一定稳定在一个数附近，故本选项错误；
D、试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了随机事件和利用频率估计概率，熟练掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
例21．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．
例22．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（ ）
A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的频率为0.55 D．盖面朝下的概率为0.5
【答案】D
【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．
【解析】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确；
B、该试验总次数是1000，此选项正确；
C、盖面朝下的频率是，此选项正确；
D、1000次试验的盖面朝下的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
例23．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近
【答案】B
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
例24．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于 B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近 D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系作答．
【解析】解：硬币只有正反两面，
投掷时正面朝上的概率为
根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，稳定在 附近
故选：D
【点睛】本题考查了利用频率估计概率.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．
考点7：用频率估计概率
例25．在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有（ ）个
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】设黑球可能有x个，根据摸到白球的频率稳定在附近得到口袋中摸到白球的概率为，根据概率公式即可求出黑球的个数．
【解析】设黑球可能有x个，
摸到白球的频率稳定在附近，
所以摸到白球的概率为，
解得
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点；由频率估计概率是解答本题的关键．
例26．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意；
D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
例27．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是
D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．
【答案】C
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：A、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
例28．某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，下表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（ ）
移植总数
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数
369
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0923
0.890
0915
0.905
0.897
0.902
A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9
B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株
C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率
【答案】B
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率即可得到答案．
【解析】解：由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9，故A选项正确；
如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则大约成活18000株，故B选项错误；
可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，故C选项正确；
在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率，故D选项正确.
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握这个知识点是解题的关键．
一、单选题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状图进行求解即可．
【解析】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键．
3．（2022·四川绵阳·统考中考真题）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解．
【解析】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键．
4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【解析】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【解析】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
二、填空题
6．（2017·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有__个．
【答案】15
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【解析】解：估计箱子里蓝球有（个），
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
7．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【解析】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三、解答题
8．（2021·湖南长沙·统考中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
【解析】解：（1）由题意得：，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
9．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【解析】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
一、单选题
1．掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
3．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为，则该班女生与男生的人数比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设出总人数，利用概率求出女生人数，利用总数-女生人数求出男生人数即可，
【解析】解：设总人数有5x人，
∵随机选取一名学生是女生的概率为，
∴女生人数为人，
∴男生人数为：人，
∴女生与男生的人数比是．
故选A．
【点睛】本题考查频数总数与频率的关系，掌握利用概率估计女生的方法，会求单项式除以单项式求比值是解题关键．
4．一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解析】根据题意可得：箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，共9个球，
从箱子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
6．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．
解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲VS乙，丙当裁判；
第二场：乙VS丙，甲当裁判；
第三场：甲VS乙，丙当裁判；
第四场：甲VS丙，乙当裁判；
第五场：乙VS甲，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选：C．
点评：本题考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．
7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球200次,其中16次摸到黑球,估计盒中大约有白球的个数为( )
A．30个 B．92个 C．84个 D．76个
【答案】B
【分析】可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式可求出白球的个数,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”.
【解析】解:设盒子里有白球x个,
根据得:
解得:x=92.
经检验得x=92是方程的解.
故选B.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识,利用频率估计概率有以下条件及方法:
(1)当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时,要用频率来估计概率;
(2)当试验次数足够大时,试验频率稳定于理论概率.
8．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择7月1日至8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折线统计图可得连续3天中空气质量指数的所有情况，继而利用概率公式求得答案．
【解析】解：∵7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
0.520
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．
【解析】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
10．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】Ｐ(科普读物)==.
故选B.
二、填空题
11．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是____．
【答案】
【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【解析】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
共有4种出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有一次正面朝上的概率为
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
12．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是_____．
【答案】/0.375
【解析】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，
∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是：．
故答案为：.
13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___．
【答案】．
【解析】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
14．一个不透明的布袋中装有分别标着数字1，2，3，4的四张卡片，现从袋中随机摸出两张卡片，则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为_______.
【答案】
【分析】根据题意先画出树状图，求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意画树状图如下：
共有12种情况，两张卡片上的数字之和大于5的有4种，
则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为；
故答案为.
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于题意画树状图.
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是_____.
【答案】．
【解析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们“心有灵犀”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案：
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，m、n满足的有10种情况，
∴得出他们“心有灵犀”的概率为：．
16．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 _____．
【答案】
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当b=2，c=-1；b=3，c=-1；b=3，c=2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
【解析】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
17．如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是______．
【答案】
【解析】试题分析：首先此题需要两步完成，直接运用树状图法或者采用列表法，再根据列举求出所用可能数，再求出只有一次正确的情况数根据概率公式解答即可．
所有的结果为：BA CA DA AB CB DB AC BC DC AD BD CD
由表可知一共有12种情况，其中抽取的两张卡片上的算式只有一个正确的有8种，
所以两张卡片上的算式只有一个正确的概率==，
考点：概率的计算.
18．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
移植总数（n）
200
500
800
2000
12000
成活数（m）
187
446
730
1790
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.903
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为___（精确到0.1）．
【答案】0.9
【分析】由题意根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
19．一个不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求2个球颜色相同的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用树状图把所有可能情况罗列出来即可．
（2）找出两个颜色相同的事件的个数，再用这个个数除以总共事件的个数．
【解析】（1）如图所示
（2）：一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为： = ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，概率的计算，掌握这些是本题关键．
20．小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动．如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的4件奖品．
(1)如果随机翻1张牌，求抽中20元奖品的概率；
(2)如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求所获奖品总值不低于30元的概率．
【答案】 (1) ；(2)．
【分析】（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用1除以4，求出抽中20元奖品的概率为多少即可．
（2）首先应用树状图法，列举出随机翻2张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于30元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少即可．
【解析】(1)抽中20元奖品的概率为；
(2)设分别对应着5，10，15，20(单位：元)奖品的四张牌分别为A、B、C、D.画树状图如下：
由树状图知，共有12种可能的结果：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC，其中所获奖品总值不低于30元有4种：BD、CD、DB、DC，所以，P(所获奖品总值不低于30元)＝＝.所以，所获奖品总值不低于30元的概率为．
【点睛】（1）此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
（2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
21．对一批家电进行抽检、统计合格的数量，列表如下：
抽检数量/台
300
400
500
600
700
合格频数
282
352
445
546
a
合格频率
b
0.88
0.89
0.91
0.9
(1)求a，b的值．
(2)估计这批家电的合格率．
(3)若售出了3000台家电，其中存在质量问题的大约有几台？
【答案】(1)，
(2)估计这批家电的合格率约为0.9
(3)大约300台
【分析】（1）根据频率=求解即可；
（2）根据抽检数量的增加，合格频率在0.9附近波动，即可估计这批家电的合格率；
（3）由售出家电数量×合格率求出合格数量，进而可求出存在质量问题的数量．
【解析】（1）解：，；
（2）解：由表格可知，这批家电的合格频率在0.9附近波动，所以可估计这批家电的合格率约为0.9；
（3）解：售出了3000台家电，合格家电约为3000×0.9=2700（台），
所以存在质量的家电大约有3000-2700=300（台）．
【点睛】本题考查频数（率）分布表、频率公式、用样本估计总体，能从分布表中获取有用信息是解答的关键．
22．桌面上有两叠扑克牌，每叠有扑克牌三张，第一叠的三张分别是8，9，10，第二叠的三张分别是1，2，3，现将它们背面朝上分别搅匀后，再从每一叠扑克中各抽出一张，利用树状图或列表的方式：
(1)表示第一叠抽出的一张扑克牌与第二叠抽出的一张扑克牌的牌面数字之差的所有可能结果；
(2)求第一张扑克牌与第二张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据画树状图的方法解答即可；
（2）根据树状图可知，一共有9种等可能结果，数字之差是7的倍数有3种，由概率公式可得答案．
【解析】（1）解：牌面数字差的所有可能结果为：
（2）解：根据树状图可知，一共有9种等可能结果，其中两张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数有3种，所以两张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
摸球的次数
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率
(1)由此估计，当n很大时，摸到黑球的概率为________________；
(2)从该袋中一次摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出一次摸出两个颜色不同的小球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；
（2）根据概率公式可求得黑球的个数，白球的个数，再画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）解：当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
估计摸到黑球的概率为；
（2）由摸到黑球的概率为；可得黑球的个数为：，
∴白球的个数为3个；
∴树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点睛】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
24．如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D．最初，摆成如图2的样子，A、D是黑色，B、C是白色.
两次操作后观察卡片的颜色．
（如：第一次取出A、第二次取出B，此时卡片的颜色变成）
（1）取四张卡片变成相同颜色的概率；
（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率.
【答案】．
【解析】试题分析：（1）先根据题意列出表格，再由表格求得所有等可能的结果与四张卡片变成相同颜色的情况，最后用概率公式即可；
（2）由（1）中表格可求得四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的情况，再利用概率公式即可．
试题解析：（1）表格如图所示：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
∵共有16种等可能的结果，四张卡片变成相同颜色的有4种情况，
∴P（四张卡片变成相同颜色的概率）=；
（2）∵四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的有8种情况，
∴P（恰好形成各自颜色矩形）=．
考点：1. 列表法与画树状图法2.概率公式．
25．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程）
【答案】；
【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；
（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.
【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，
其中，掷出5时可以回到点A，
∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为；
（2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点，
则①第一次就掷出5，
②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，
画树状图如下：
共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种，
∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数.
第16讲 概率的进一步认识
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
一、用树状图或表格求概率
1.树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
二、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
考点1：列举法求概率
例1．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，
∴（反，反）的概率．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比．
例2．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：这里的无理数有，，共2个，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法．
例3．从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．
【解析】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．
故选：C．
【点睛】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
考点2：列表法或树状图法求概率
例4．下列说法正确的是（ ）
A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是
B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为
C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”
D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是
【答案】D
【分析】根据概率公式可对A、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断，根据概率的意义可对C进行判断．
【解析】解：A、摸到红球的概率＝，所以A选项错误；
B、画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝，故B选项错误；
C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误；
D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
例5．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出表格，可得4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，再根据概率公式计算，即可求解．
【解析】解：根据题意，列出表格，如下：
黑
白
黑
黑黑
白黑
白
黑白
白白
一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
例6．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解析】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
例7．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（ ）
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
【答案】D
【分析】先画出树状图表示所有等可能的结果，再根据概率公式分别计算每种情况的概率，据此解答．
【解析】解：画树状图如下，
所有等可能的结果共6种，
摸出2个球颜色相同的概率为：；
摸出2个球颜色不相同的概率为：；
摸出2个球中至少有1个红球的概率为：；
摸出2个球中至少有1个白球的概率为：；
所以概率最大的是摸出2个球中至少有1个白球，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
例8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机模取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将四张小图片分别记作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：将四张小图片分别记作A、B、C、D
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
共有12种情形，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为
故选B
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
例9．某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.
(1)甲选择A检票通道的概率是 ___________;
(2)求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可.
【解析】（1）解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，
∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况.
∴P（选择A）=.
故答案为：；
（2）由题意列树状图得，
由上图可以看出，
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，
∴P（甲乙两人选择的通道相同）.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键.
例10．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小军选择，依次记为，，，，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好.
(1)小军从中随机抽取一枚，恰好抽到是C（雪容融）概率是______．
(2)小军从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小军同学抽到的两枚邮票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可．
（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B和C的情况，用概率公式求解即可．
【解析】（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，
∴P（抽到是C）．
故答案为： ．
（2）根据题意画树状图，如图所示，
从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．
∴恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．
【点睛】本题考查了概率公式以及画树状图法与列表法求概率．解题的关键是把所有等可能的情况都列举出来．
考点3：游戏的公平性
例11．小丽和小刚都想参加学校组织的暑期实践活动，但只有一个名额，小丽提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至9个9号码，随意转动－次转盘，根据指针指向区间决定谁去参加活动，具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若指针指向奇数区间，小丽去参加活动．
(1)求小刚去参加活动的概率是多少?
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由．
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析．
【分析】（1）根据简单事件的概率计算公式即可得；
（2）先根据简单事件的概率计算公式求出小丽去参加活动的概率，再与（1）的结论进行大小比较即可得．
【解析】（1）小刚转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向偶数区间的结果共有4种
则小刚去参加活动的概率是；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
小丽转动一次转盘的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，指针指向奇数区间的结果共有5种
则小丽去参加活动的概率是
这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，理解题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．
例12．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
【答案】这个游戏对三人公平
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，和小明与小颖获胜的情况数，求出他们获胜的概率， 比较即可得到结果．
【解析】解：列出表格，如图所示：
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（剪刀，石头）
（布，石头）
剪刀
（石头，剪刀）
（剪刀，剪刀）
（布，剪刀）
布
（石头，布）
（剪刀，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）；
小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
∴P（小明获胜）＝P（小颖获胜），
则这个游戏对三人公平．
【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
例13．四张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如下：随机抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽一张，将抽取的第- -张第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数和个位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜，反之的 小晶胜.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请修改图游戏规则，使游戏公平.
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平；调整规则见详解
【分析】（1）根据求概率公式即可得到答案；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解析】（1）（抽到数字2）.
（2）列表如下：
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
由表格可知，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足两位数不超过32的结果有10种，
所以（小贝胜），（小晶胜）.
所以这个游戏不公平.
调整规则：
法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．
法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．
法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
考点4：几何概率
例14．如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．
例15．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可．
【解析】解：A、小球落在阴影部分的概率为；
B、小球落在阴影部分的概率为；
C、小球落在阴影部分的概率为；
D、小球落在阴影部分的概率为；
小球落在阴影部分的概率最小的是A，
故选：A．
【点睛】题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．
例16．如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用割补法求得阴影面积，再根据几何概率计算求值即可；
【解析】解：将上边和左边的弓形面积补到下边和右边可得阴影面积为5×5=25，
该图形总面积为8×8=64，
∴针尖落在阴影部分的概率=，
故选： D．
【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
考点5：概率的其他应用
例17．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
【答案】D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．
【解析】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
因此第一题答对的概率为：，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，
共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.
∵，
∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，
故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
例18．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可．
【解析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键．
例19．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（ ）
A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理
C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼
【答案】A
【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．
【解析】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．
考点6：频率与概率的关系
例20．下列说法中，正确的是（ ）
A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循
B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果
C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近
D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近
【答案】D
【分析】根据随机事件和利用频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、随机事件的发生具有偶然性，但反复试验也有规律可循，故本选项错误；
B、随机事件的发生具有规律性，第一次试验不一定代表最后结果，故本选项错误；
C、试验的次数越少，频率的分布越不集中，不一定稳定在一个数附近，故本选项错误；
D、试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了随机事件和利用频率估计概率，熟练掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
例21．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（ ）
A．的值一定是 B．的值一定不是
C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．
例22．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（ ）
A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000
C．盖面朝下的频率为0.55 D．盖面朝下的概率为0.5
【答案】D
【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．
【解析】解：A、盖面朝下的频数是550，此选项正确；
B、该试验总次数是1000，此选项正确；
C、盖面朝下的频率是，此选项正确；
D、1000次试验的盖面朝下的频率为0.55，则盖面朝下概率约为0.55，此选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
例23．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近
【答案】B
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
例24．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于 B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近 D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系作答．
【解析】解：硬币只有正反两面，
投掷时正面朝上的概率为
根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，稳定在 附近
故选：D
【点睛】本题考查了利用频率估计概率.大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．
考点7：用频率估计概率
例25．在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有（ ）个
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】设黑球可能有x个，根据摸到白球的频率稳定在附近得到口袋中摸到白球的概率为，根据概率公式即可求出黑球的个数．
【解析】设黑球可能有x个，
摸到白球的频率稳定在附近，
所以摸到白球的概率为，
解得
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点；由频率估计概率是解答本题的关键．
例26．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意；
D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
例27．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是
D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．
【答案】C
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：A、当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的频率是，概率不一定是，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率不一定是，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
例28．某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，下表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（ ）
移植总数
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数
369
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率
0923
0.890
0915
0.905
0.897
0.902
A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9
B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株
C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率
【答案】B
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率即可得到答案．
【解析】解：由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9，故A选项正确；
如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则大约成活18000株，故B选项错误；
可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，故C选项正确；
在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率，故D选项正确.
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握这个知识点是解题的关键．
一、单选题
1．（2022·山东济南·统考中考真题）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画出树状图进行求解即可．
【解析】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，读懂题意，画出树状图是解题的关键．
3．（2022·四川绵阳·统考中考真题）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解．
【解析】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：
∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键．
4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【解析】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【解析】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：
故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
二、填空题
6．（2017·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有__个．
【答案】15
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【解析】解：估计箱子里蓝球有（个），
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
7．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【解析】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三、解答题
8．（2021·湖南长沙·统考中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
【解析】解：（1）由题意得：，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
9．（2023·福建·统考中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【解析】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③
共有种等可能结果．
（）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
一、单选题
1．掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
3．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为，则该班女生与男生的人数比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设出总人数，利用概率求出女生人数，利用总数-女生人数求出男生人数即可，
【解析】解：设总人数有5x人，
∵随机选取一名学生是女生的概率为，
∴女生人数为人，
∴男生人数为：人，
∴女生与男生的人数比是．
故选A．
【点睛】本题考查频数总数与频率的关系，掌握利用概率估计女生的方法，会求单项式除以单项式求比值是解题关键．
4．一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解析】根据题意可得：箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，共9个球，
从箱子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
6．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．
解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲VS乙，丙当裁判；
第二场：乙VS丙，甲当裁判；
第三场：甲VS乙，丙当裁判；
第四场：甲VS丙，乙当裁判；
第五场：乙VS甲，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选：C．
点评：本题考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．
7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球200次,其中16次摸到黑球,估计盒中大约有白球的个数为( )
A．30个 B．92个 C．84个 D．76个
【答案】B
【分析】可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式可求出白球的个数,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”.
【解析】解:设盒子里有白球x个,
根据得:
解得:x=92.
经检验得x=92是方程的解.
故选B.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识,利用频率估计概率有以下条件及方法:
(1)当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时,要用频率来估计概率;
(2)当试验次数足够大时,试验频率稳定于理论概率.
8．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择7月1日至8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折线统计图可得连续3天中空气质量指数的所有情况，继而利用概率公式求得答案．
【解析】解：∵7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
0.520
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．
【解析】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
10．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】Ｐ(科普读物)==.
故选B.
二、填空题
11．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是____．
【答案】
【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【解析】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
共有4种出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有一次正面朝上的概率为
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
12．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是_____．
【答案】/0.375
【解析】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，
∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是：．
故答案为：.
13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___．
【答案】．
【解析】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
14．一个不透明的布袋中装有分别标着数字1，2，3，4的四张卡片，现从袋中随机摸出两张卡片，则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为_______.
【答案】
【分析】根据题意先画出树状图，求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意画树状图如下：
共有12种情况，两张卡片上的数字之和大于5的有4种，
则这两张卡片上的数字之和大于5的概率为；
故答案为.
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于题意画树状图.
15．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是_____.
【答案】．
【解析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们“心有灵犀”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案：
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，m、n满足的有10种情况，
∴得出他们“心有灵犀”的概率为：．
16．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 _____．
【答案】
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当b=2，c=-1；b=3，c=-1；b=3，c=2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
【解析】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
17．如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是______．
【答案】
【解析】试题分析：首先此题需要两步完成，直接运用树状图法或者采用列表法，再根据列举求出所用可能数，再求出只有一次正确的情况数根据概率公式解答即可．
所有的结果为：BA CA DA AB CB DB AC BC DC AD BD CD
由表可知一共有12种情况，其中抽取的两张卡片上的算式只有一个正确的有8种，
所以两张卡片上的算式只有一个正确的概率==，
考点：概率的计算.
18．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：
移植总数（n）
200
500
800
2000
12000
成活数（m）
187
446
730
1790
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.903
根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为___（精确到0.1）．
【答案】0.9
【分析】由题意根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率进行分析即可．
【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故答案为：0.9.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
19．一个不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求2个球颜色相同的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用树状图把所有可能情况罗列出来即可．
（2）找出两个颜色相同的事件的个数，再用这个个数除以总共事件的个数．
【解析】（1）如图所示
（2）：一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为： = ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，概率的计算，掌握这些是本题关键．
20．小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动．如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的4件奖品．
(1)如果随机翻1张牌，求抽中20元奖品的概率；
(2)如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求所获奖品总值不低于30元的概率．
【答案】 (1) ；(2)．
【分析】（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用1除以4，求出抽中20元奖品的概率为多少即可．
（2）首先应用树状图法，列举出随机翻2张牌，所获奖品的总值一共有多少种情况；然后用所获奖品总值不低于30元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少即可．
【解析】(1)抽中20元奖品的概率为；
(2)设分别对应着5，10，15，20(单位：元)奖品的四张牌分别为A、B、C、D.画树状图如下：
由树状图知，共有12种可能的结果：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC，其中所获奖品总值不低于30元有4种：BD、CD、DB、DC，所以，P(所获奖品总值不低于30元)＝＝.所以，所获奖品总值不低于30元的概率为．
【点睛】（1）此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
（2）此题还考查了列举法与树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
21．对一批家电进行抽检、统计合格的数量，列表如下：
抽检数量/台
300
400
500
600
700
合格频数
282
352
445
546
a
合格频率
b
0.88
0.89
0.91
0.9
(1)求a，b的值．
(2)估计这批家电的合格率．
(3)若售出了3000台家电，其中存在质量问题的大约有几台？
【答案】(1)，
(2)估计这批家电的合格率约为0.9
(3)大约300台
【分析】（1）根据频率=求解即可；
（2）根据抽检数量的增加，合格频率在0.9附近波动，即可估计这批家电的合格率；
（3）由售出家电数量×合格率求出合格数量，进而可求出存在质量问题的数量．
【解析】（1）解：，；
（2）解：由表格可知，这批家电的合格频率在0.9附近波动，所以可估计这批家电的合格率约为0.9；
（3）解：售出了3000台家电，合格家电约为3000×0.9=2700（台），
所以存在质量的家电大约有3000-2700=300（台）．
【点睛】本题考查频数（率）分布表、频率公式、用样本估计总体，能从分布表中获取有用信息是解答的关键．
22．桌面上有两叠扑克牌，每叠有扑克牌三张，第一叠的三张分别是8，9，10，第二叠的三张分别是1，2，3，现将它们背面朝上分别搅匀后，再从每一叠扑克中各抽出一张，利用树状图或列表的方式：
(1)表示第一叠抽出的一张扑克牌与第二叠抽出的一张扑克牌的牌面数字之差的所有可能结果；
(2)求第一张扑克牌与第二张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据画树状图的方法解答即可；
（2）根据树状图可知，一共有9种等可能结果，数字之差是7的倍数有3种，由概率公式可得答案．
【解析】（1）解：牌面数字差的所有可能结果为：
（2）解：根据树状图可知，一共有9种等可能结果，其中两张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数有3种，所以两张扑克牌的牌面数字之差是7的倍数的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
摸球的次数
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率
(1)由此估计，当n很大时，摸到黑球的概率为________________；
(2)从该袋中一次摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出一次摸出两个颜色不同的小球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；
（2）根据概率公式可求得黑球的个数，白球的个数，再画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）解：当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
估计摸到黑球的概率为；
（2）由摸到黑球的概率为；可得黑球的个数为：，
∴白球的个数为3个；
∴树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点睛】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
24．如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D．最初，摆成如图2的样子，A、D是黑色，B、C是白色.
两次操作后观察卡片的颜色．
（如：第一次取出A、第二次取出B，此时卡片的颜色变成）
（1）取四张卡片变成相同颜色的概率；
（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率.
【答案】．
【解析】试题分析：（1）先根据题意列出表格，再由表格求得所有等可能的结果与四张卡片变成相同颜色的情况，最后用概率公式即可；
（2）由（1）中表格可求得四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的情况，再利用概率公式即可．
试题解析：（1）表格如图所示：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
∵共有16种等可能的结果，四张卡片变成相同颜色的有4种情况，
∴P（四张卡片变成相同颜色的概率）=；
（2）∵四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的有8种情况，
∴P（恰好形成各自颜色矩形）=．
考点：1. 列表法与画树状图法2.概率公式．
25．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程）
【答案】；
【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；
（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.
【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，
其中，掷出5时可以回到点A，
∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为；
（2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点，
则①第一次就掷出5，
②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，
画树状图如下：
共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种，
∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数.
相关试卷
第23讲 图形的位似（七大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）： 这是一份第23讲 图形的位似（七大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第23讲图形的位似解析版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第23讲图形的位似原卷版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
第16讲 概率的进一步认识（七大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）： 这是一份第16讲 概率的进一步认识（七大题型）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第16讲概率的进一步认识解析版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第16讲概率的进一步认识原卷版-新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
第18讲 成比例线段-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）： 这是一份第18讲 成比例线段-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版），文件包含第18讲成比例线段解析版-暑假自学课2023年新九年级数学暑假精品课北师大版docx、第18讲成比例线段原卷版-暑假自学课2023年新九年级数学暑假精品课北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
