2023年福建省福州市仓山区福州金山中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年福建省福州市仓山区福州金山中学中考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省福州市仓山区福州金山中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列运算结果与的绝对值相等的是（　　）
A． B． C． D．
2．在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是科学家汪淼发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”，已知“飞刃”的直径为，用科学记数法表示为，其中为（    ）
A． B．6 C． D．7
3．下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
4．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
6．雪花、风车、剪纸…．展示着中心对称、轴对称的美，我们利用对称的知识，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，哪一个图形的对称性与其他图形的对称性不同（    ）
A．扇形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．矩形
7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．15
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（    ）

A． B． C． D．
9．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）
  
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当时，的变化范围是
10．已知抛物线上有点，且m是关于x的方程的解，则下列说法正确的是（　　）
A．对于任意实数，都有 B．对于任意实数，都有
C．对于任意实数，都有 D．对于任意实数，都有

二、填空题
11．点关于轴对称的对应点是___________．
12．如图，数轴上两点分别表示数，则______0．（填“”，“＜”或“＝”）

13．在单词（数学）中任意选择一个字母，字母为“a”的概率是_______．
14．如图，点在正六边形边上运动（不与端点重合），写出一个符合条件的的度数为___________．
  
15．观察下列式子：
；

；

根据上述规律填写一个正数，满足：___________．
16．如图，等边的边长为6，是的中点，是边上的一点，连接，以为边在内作等边，若，则的长为______．
  

三、解答题
17．解不等式组：．
18．如图，点在边上，，，.求证：．
  
19．先化简，再求值：，其中．
20．福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
21．某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
每周劳动时间（小时）





学生人数（人）

30
19
18
12
(1)___________；
(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标倠（时间取整数小时），并用学过的统计学知识说明其合理性．
22．如图，在Rt中，，点为边上一点．
  
(1)尺规作图：在边上作一点，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，为半径的圆与交于点，且．求证：与相切．
23．如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y＝的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为7米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上的点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．

(1)请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，≥，请直接写出OD长度的取值范围．
24．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．

(1)当时，求，两点的坐标；
(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂分别求出各选项中的数，再与的绝对值即可．
【详解】解：，
A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握有关概念是解题的关键．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，按照该概念即可解答．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．
3．C
【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．
【详解】解：该谷堆的主视图为：
  ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．A
【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的运算法则，逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算正确，故A选项符合题意；
B．，原计算错误，故B选项不符合题意；
C．，原计算错误，故C选项不符合题意；
D．，原计算错误，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可.
【详解】如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一副三角板所对应的角度是、、、和三角形外角的性质.本题容易，解法很灵活.
6．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
7．B
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．A
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】∵在中，，
∴
在中，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
9．C
【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D．
【详解】解：设，
把代入上式得，，
∴，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
当时，，
故选项B正确，不符合题意；
由图象可得，当时，，
故选项C不正确，符合题意；
当时，，时，，
∴时，，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，求出函数解析式是解题的关键．
10．B
【分析】根据m是关于x的方程的解，得到，进而得到，根据二次函数的性质，即可得到为函数的最小值，可得出结论．
【详解】解：∵m是关于x的方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴当时，函数有最小值，
∵抛物线上有点，
∴即为函数的最小值；
∴对于任意实数，都有；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数最值．解题的关键是确定为二次函数的最小值．
11．
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】点关于轴对称的对应点是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．＜
【分析】由数轴可得且，从而即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据数轴得出且，是解题的关键．
13．
【分析】由单词“”中有1个，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】一共有，4种结果，其中是“”的有1种，
所以选到字母“”的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
14．（答案不唯一，）
【分析】先求得，在根据点的边界位置，求得的取值范围，从而得解．
【详解】解：连接、，如图：
  
∵六边形是正六边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
15．75
【分析】利用题中的等式得到（n为正整数）．
【详解】由题意得：，
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键．
16．2或1/1或2
【分析】过点作交于，交于，过点作于点，根据等边三角形的判定与性质推出，，利用证明，根据全等三角形的性质推出，则，解直角三角形求出，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作交于，交于，过点作于点，
  ，
等边三角形的边长为6，是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，  
，
设，则，，
在中，，
，，
在中，，，
，
或，
或，
故答案为：2或1．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据等边三角形的性质作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
17．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式组：．
解：解不等式①得，；
解不等式②得，．
该不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据证明即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等判定方法，证明．
19．，．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：


=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则．
20．“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析
【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．
．
【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为，“飘香2号”茉莉花单位面积产量为．
，
“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
21．(1)
(2)2.7小时
(3)见解析

【分析】（1）根据总人数100人计算即可；
（2）按平均数的概念求出平均数即可；
（3）根据平均数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）（小时），
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）（以下两种方案选一即可）
①从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
②从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，至少有的学生目前劳动时间能达标，同时至少还有的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【点睛】本题主要考查统计的知识，熟练掌握平均数，中位数等统计的基础知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为所求；
（2）先说明为半径，再证明即可．
【详解】（1）如图所示，点即为所求．
  
（2）如图，连接．
  
是的外角，
．
，
．
即为半径．
是的外角，
．
，
．
，
．
．
即．
为半径，
与相切．
【点睛】本题主要考查切线的判定和基本作图的综合应用．掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．(1)y＝﹣（x﹣5）2+2
(2)米
(3)7≤OD≤12

【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：∵B在双曲线y=上，且根据题意yB=2，
∴B（5，2），
∵B为抛物线BCD的最高点，
则设抛物线BCD的解析式为y=a（x-5）2+2顶点式，
根据题意得此时D （7，0），代入解析式得a（7-5）2+2=0，
解得：a=-，
∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y=-（x-5）2+2；
（2）令上式y＝时，则﹣（x﹣5）2+2＝，
解得x1＝4（舍去），x2＝6，
∴C（6，），
将y＝6代入y＝中得x＝，
∴A（，6），
∴6﹣＝，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；
（3）解：连接BD，作BE⊥x轴于E，
根据上面所得B （5，2），D （7，0）时，
∴点E（5，0），
∴BE=2，DE=7-5=2，∠BED=90°，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴∠BDO=45°，
∵滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，
∴ED≥2，即OD≥7，
∵实际场地限制，≥，
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
24．(1)见解析
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，

，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
25．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)或
(3)是，

【分析】(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．
(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．
(3) 设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．
【详解】（1）根据题意，得，
整理得到，
解方程，得，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．
（2）∵A，B是抛物线图像上的点，
设A（m，），B（n，），则（-n，），
当k＞0时，

根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==，
∴，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=或k= -(舍去)，
故k=；
当k＜0时，

根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴，，
∴==，
∴3==-，
∴-，
∵n≠0，
∴，，
∴，
解得k=-或k=(舍去)，
故k=-；
综上所述，k的值为或．
（3）直线A一定过定点（0，3）．理由如下：
∵A，B是抛物线图像上的点，
∴设A（m，），B（n，），则（-n，），
根据题意，得，
整理得到，
∴m，n是的两个根，
∴，
设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得
，
解得，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，
∵mn=-3，
∴-mn=3，
∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，
故直线A一定过定点（0，3）．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．