2023年广东省惠州市综合高级中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省惠州市综合高级中学中考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省惠州市综合高级中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．年月日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加亿、覆盖亿人，基本医保水平稳步提高．将“亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ）

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)  

A．4 B．8 C．6 D．10
6．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，则点到的距离为（    ）
  
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
10．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解：3x3﹣12x=_____．
12．若一个正多边形的内角和是外角和的倍，则这个正多边形的边数为___________．
13．如果点在第三象限内，那么的取值范围是___________．
14．圣诞节快要到了，某同学准备做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片中，，取中点O．以O为圆心，以长为半径作弧，分别交于点M，N，得到扇形纸片，发现点M，N恰好分别是边的中点，则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的侧面积为_____．（结果保留π）
  
15．如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.
  

三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中是方程的根．
18．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
  
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
(2)本次调查所得数据的众数是 ，中位数是 ；
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
19．因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．
(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍．请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
20．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
  
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，，求的长．
21．如图，已知，，，，过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D，连接，．

(1)证明：四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求的值．
22．如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求的值．
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．

参考答案：
1．B
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是
故选B．
【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．
2．D
【分析】根据科学记数法的表示形式的形式，其中，为整数即可解答．
【详解】解：∵亿，
故选．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式的形式，其中，为整数，确定和的值是解题的关键．
3．B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
4．D
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．
【详解】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键．
5．B
【详解】解：设AG与BF交点为O，
∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，
∴∠BAO=∠FAO，
∴△ABO≌△AFO（SAS），
∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，
∵AB=5，
∴，
∵AF∥BE，
∴∠FAO=∠BOE，
又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴AO=EO，
∴AE=2AO=8，
故选B．

【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
6．A
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．A
【分析】三角函数定义，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点D，如图所示：
  
在中，
，
∴点到的距离为，
故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
8．C
【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数．
9．D
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】解：由题意得抛物线顶点坐标为，
由函数图象可知抛物线的顶点在第四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据旋转角度为，可知每旋转次后点又回到轴的正半轴上，故点在第一象限，且，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴次旋转，
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
……
如此循环，每旋转次，点的对应点又回到轴正半轴，
∵，
点在第一象限，且，
如图，过点作轴于，
在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故选：B．

【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11．3x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．
【分析】设正多边形的边数为，根据正多边形的外角和及内角和公式即可解答．
【详解】解：设正多边形的边数为，根据题意可得，
，
解得：，
故答案为；
【点睛】本题考查了正多边形的内角和及外角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
13．
【分析】根据第三象限的点的横纵坐标都为负，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵点在第三象限内，
∴
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据点所在象限求参数，解不等式组，熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
14．
【分析】根据圆锥形帽子的底面圆的周长就是扇形的弧长，求出圆心角，再利用圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，是中点，，恰好分别是边，的中点，
，，
，
，
同理可求：，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥底面圆与对应扇形弧长的关系，圆锥侧面积，掌握二者之间的关系及弧长公式是解题的关键．
15．
【分析】作点关于边所在直线的对称点，连接交于点，此时有最小值，利用正方形的性质得出，再利用勾股定理求解．
【详解】解析：如图，作点关于边所在直线的对称点，连接交于点，
    
此时有最小值，
∵四边形是正方形，关于边所在直线的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是对角线的三等分点，
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
16．3
【分析】先计算二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值，再进行加减运算．
【详解】解：



【点睛】本题考查实数的混合运算，牢固掌握二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值等知识点是解题的关键．
17．，
【分析】先根据异分母分式的加减法则，化简分式，再根据是方程的根得到，整体代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：




，
是方程的根，
，
，
原式


．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握异分母分式的加减的运算法则，以及一元二次方程的解法，整体代入法，是解题的关键．
18．(1)统计图见解答，72
(2)1，2
(3)

【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去其他3部的人数求得2部的人数，可以将条形统计图补充完整，根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
（2）根据（1）中所求数据，然后即可得到众数和中位数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
【详解】（1）解：本次调查的人数为：（人，
读2部的学生有：（人，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：72；
补全的条形统计图如右图所示：
  
（2）故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部，
故答案为：1，2；
（3）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：
  
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(1)成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元；
(2)购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低

【分析】（1）设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为元，根据用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数列出方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设购买a包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为w元，列出总费用的一次函数表达式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为元，
根据题意，得
解得：
经检验，是原分式方程的解且符合题意．  
，
答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元．
（2）设购买a包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为w元，依题意，得
，
，
，
∵，
∴当时，w有最小值，
此时，
答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低．
【点睛】此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
20．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，进而得到，推出四边形是平行四边形，进而证明四边形为矩形即可；
（2）根据菱形的性质，得到，再根据矩形的性质，得到，，，利用勾股定理，求得，然后根据平行线分线段成比例定理，得出为中点，最后由直平行线分线段成比例定理，即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
由（1）得：四边形为矩形，
，，，
在中，，
，
，
为中点，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
21．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．

【分析】（1）利用对边分别平行得到四边形为平行四边形，再根据平行四边形邻边相等即可证明结论；
（2）利用菱形的性质，得到D点坐标为，将其代入反比例函数解析式，得到，即可求出此反比例函数的解析式；
（3）根据平行线的性质，得到，利用勾股定理得到，求出，即可得到的值．
【详解】（1）解：轴，在 x 轴上，
，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，，，
，，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过D点，
，
，
反比例函数的解析式为：；

（3）解：
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了平行判定和性质，菱形的判定和性质，求反比例函数解析式，勾股定理，三角函数，熟练掌握坐标与图形的关系是解题关键．
22．(1)见详解
(2)见详解
(3)

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质（三线合一），可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和，可以证明结论成立；
（3）根据全等三角形的判定和性质和锐角三角函数可以求得的值．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示，

点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（3）解：如图2，作于点，

则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是一道圆的综合题目，考查圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．(1)y＝x²﹣2x﹣3
(2)①t＝4﹣2或4﹣；②t＝或3或2或

【分析】（1）由直线BC求出B、C的坐标，再待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①由OB＝OC得出∠OBC＝∠OCB＝45°，所以∠CBP＝15°就可以分别得到∠PBE＝30°或60°，再由tan30°或tan60°求出EP，进而求出DP，又因为P的速度为1，求出t即可；
②设出P的坐标，根据两点距离公式求出AP²、AC²和PC²，分三种情况：∠APC＝90°或∠PCA＝90°或∠PAC＝90°分别讨论，求出P的坐标，进而求出DP，求出t即可．
【详解】（1）解：令y＝x﹣3＝0，x＝3，
∴B的坐标为（3，0），
令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3，
∴C的坐标为（0，﹣3），
将B、C代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
记抛物线对称轴交x轴于E，
∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴EB＝2，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），
若∠CBP＝15°，则分两种情况，
①如图，当P在直线BC下方时，

此时∠EBP＝60°，
∴tan∠EBP＝＝，
∴EP＝2，
∴DP＝4﹣2，
∴t＝＝4﹣2，
当P在直线BC上方时，

此时∠EBP＝30°，
∴tan∠EBP＝＝，
∴EP＝，
∴DP＝4﹣，
∴t＝＝4﹣，
综上，t＝4﹣2或4﹣；
②设P的坐标为（1，n），
令y＝x²﹣2x﹣3＝0，
x＝3或﹣1，
∴A的坐标为（﹣1，0），
此时PC²＝1+（n+3）²＝n²+6n+10，
PA²＝（1+1）²+n²＝4+n²，
AC²＝1+3²＝10，
当∠PCA＝90°时，PC²+AC²＝AP²，
n²+6n+10+10＝4+n²，
解得：n＝，
∴P的坐标为（1，），DP＝4＝，
∴t＝，
当∠APC＝90°时，AP²+PC²＝AC²，
4+n²+n²+6n+10＝10，
解得：n＝﹣1或﹣2，
∴P的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣2），
DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2，
∴t＝3或2，
当∠PAC＝90°时，PA²+AC²＝CP²，
n²+4+10＝n²+6n+10，
解得：n＝，
∴P的坐标为（1，），
DP＝4+＝，
∴t＝，
综上，t＝或3或2或．
【点睛】本题时二次函数综合题，考查了待定系数法，角度15°的处理，直角三角形存在性问题，勾股定理，画出图形将15°转化成特殊角30°或60°是关键，直角三角形分三种情况讨论是关键．