2023年江西省萍乡市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年江西省萍乡市中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江西省萍乡市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中是无理数的是（    ）
A．0 B．1.5 C． D．
2．下列各式运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．如图是一个底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥（《九章算术》中称为“阳马”），则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．一组数据1，2，3，4，5，x中存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为(   )
A．1 B．3 C．4 D．5
5．如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（    ）

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
7．使有意义的的取值范围是 __．
8．体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放吨，数用科学记数法表示为__________．
9．已知是一元二次方程的两根，则代数式的值是__________．
10．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为___________．

11．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．

12．如图，已知点的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，点P的坐标为__________．


三、解答题
13．（1）计算：；
（2）如图，在四边形中，为中点，连结，求证：四边形为菱形．
  
14．先化简，再求值：，其中是方程的解．
15．为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
16．如图，的三个顶点在同一个圆上，，点D，E分别为，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．

(1)在图1中画出该圆的圆心；
(2)在图2中画出的平分线．
17．如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．

(1)求k值；
(2)求的面积．
18．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：组：组：组：组：，并绘制了如下不完整的统计图．
  
请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；
(2)在扇形统计图中，E组的圆心角是_______度，补全学生成绩频数分布直方图：
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
19．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．

(1)求、两点之间的距离；
(2)求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
20．年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价
类别
价格
款钥匙扣
款钥匙扣
进货价元件


销售价元件


(1)网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
21．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
  
(1)求证：是的切线；
(2)延长和交于点，若，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
22．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
23．综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则 ；
(3)当AB=m , BC=n时． ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．

参考答案：
1．C
【分析】根据无限不循环小数是无理数进行判断即可．
【详解】解：∵0、1.5、是有理数，是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的概念，熟练掌握无理数的三种形式：含π的数；开不尽方的数；有特定结构的数是解题的关键．
2．B
【分析】由同底数幂的乘法运算可判断A，由合并同类项可判断B，D，由同底数幂的除法运算可判断C，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，不是同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
3．D
【分析】根据简单几何体的三视图的意义，找出左视图即可．
【详解】解：左视图是从左往右看得到的视图，
∵一条侧棱垂直于底面，
∴会看到一个直角三角形，
故“阳马”的左视图如选项D所示．
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的左视图，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．
4．B
【分析】根据题意先判断众数一定是x，然后根据这6个数的平均数等于众数x，列出方程即可求出x．
【详解】∵有唯一众数，且1、2、3、4、5各出现一次，
∴众数一定是x，
∴这6个数的平均数等于众数x，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和平均数，正确理解题意、得出关于x的方程是解题关键．
5．C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
6．B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=x+2中可解答．
【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），

∴PA⊥y轴，PA=4，
由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC=30°，
∴BC=2，PC=2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y=kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y=x+2，
当y=0时，x+2=0，x=-，
∴点M1（-，0）不在直线PB上，
当x=-时，y=-3+2=1，
∴M2（-，-1）在直线PB上，
当x=1时，y=+2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x=2时，y=2+2，
∴M4（2，）不在直线PB上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
7．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：有意义，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
8．
【分析】根据科学记数法的定义即可解答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，理解科学记数法的定义是解题的关键．
9．
【分析】由是一元二次方程的两根，可得，，把原式化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
10．/
【分析】连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，，
∴，，
由题意得：，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．
11．24
【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，

∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．或或
【分析】分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可．
【详解】解：①过点O作OP与相切，此时，过点O作OP与相切，连接AP，作PQ⊥x轴于点Q，

根据题意易得，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点P的坐标为；
②当时，若点P位于如图所示位置，

∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
满足，此时点P的坐标为；
③当时，点P的位置如图所示：

过点B作轴于点C，
∴，
由①知，，
∴，
∴OP=3
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键．
13．（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂及二次根式的性质与化简即可得答案；
（2）证四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质推出，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】解：（1）


（2）证明：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形
在中，为中点，
，
平行四边形为菱形．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
14．，
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后解一元二次方程可得的值，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式


．
，
，
，
，
则当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
15．（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
故答案为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
16．(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】（1）连接、交于点G，连接并延长，交于点O，即点O为圆心；
（2）连接，并延长交于点F，连接，即为的平分线．
【详解】（1）解：如图1中，点O即为所求圆心；理由如下：
∵点D，E分别为，的中点，
∴平分，
∴，
∵的三个顶点在同一个圆上，，
∴为直径，
∴点O为圆心．
  
（2）解：如图2中，射线即为所求的平分线；理由如下：
∵，点E是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴平分．
    
【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形重心的性质、垂径定理、圆周角定义、角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．(1)2
(2)

【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
【详解】（1）解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
（2）解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
18．(1)；
(2)，图见解析；
(3)1680人．

【分析】（1）由C组96人除以其占比可得总人数；由总人数乘以B组占比可得答案；再根据中位数的含义确定中位数所在的组数；
（2）由乘以E组的占比可得圆心角，再根据E组的人数补全统计图即可；
（3）由总人数乘以90分以上的占比即可．
【详解】（1）解：由题意可得：总人数为：（人）；
（人），
400个数据，排在最中间的是第200个，第201个，这两个数的平均数是中位数，
∴中位数落在D组．
故答案为：；
（2）E组人数为：，
∴；
补全学生成绩频数分布直方图如下：
．  
（3）（人）
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人
【点睛】本题考查的是从频数分布直方图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用样本估计总体，中位数的含义，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
19．(1)6.7m
(2)4.5m

【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）如图2，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
20．(1)购进款钥匙扣件，款钥匙扣件；
(2)当购进件款钥匙扣，购进件款钥匙扣时，获得最大利润，最大利润为元

【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，列出二元一次方程组求解即可．
（2）设购进件款钥匙扣，总利润为元，先求出的范围，再列出关于的函数关系式，确定最值即可得结论．
【详解】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
由题意得，，
解得，
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
（2）解：设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
则，
解得．
设再次购进后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，，
此时．
答：当购进件款钥匙扣，购进件款钥匙扣时，获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，读懂题意列出方程组，函数关系式并确定最值是解题关键
21．(1)见解析；
(2)；
(3)．

【分析】（1）根据角平分线的定义以及等边对等角得出，证明进而得出，即可得证；
（2）根据题意，设，则，由，可得，根据，即可求解．
（3）由（2）知：，勾股定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
  
，
，
平分，
，
，
，

，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
设，则，
，
，
，

（3）解：由（2）知：，
，

，
，
，
，


．
【点睛】本题考查了切线的判定，求角的余弦，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)
(2)①；②

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
（2）解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．

，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
23．(1)，证明见解析
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=，
∴．
（2）解：，
连接AF，如图所示，

由题意知，BF==1，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
（3）解：，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF==，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
（4）解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，

由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=，
设CM=PM=x，HM=y，
由知，，
即，，  
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
即，，
∴，
解得：x=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．