2023年安徽省六安市金安区皋城中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年安徽省六安市金安区皋城中学中考二模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省六安市金安区皋城中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在，，，这四个数中，比小的是（   ）
A． B． C． D．
2．下列算式中，结果等于的是（    ）
A． B． C． D．
3．与如图所示的三视图对应的几何体是（      ）

A． B． C． D．
4．据不完全统计，2022年某市的GDP生产总值约为7600亿元，将数字7600亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
6．在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（    ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．现规定：，例如，则方程的根的情况为（     ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．必有一个正数根
8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
9．已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  

二、多选题
10．在中，，，于点D，延长至E，使得，分别连接，，与交于点F，则下列结论正确的有（    ）
A． B． C． D．

三、填空题
11．计算:______．
12．如图，是反比例函数图象上一点，轴交于点，是轴负半轴上一点，且满足，连接交轴于点，若，则________．

13．如图，已知P是平行四边形内一点，且，，则阴影部分的面积是______．
  
14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：．
（1）该抛物线的对称轴是______；
（2）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，则m的取值范围是______；

四、解答题
15．解方程：．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：

(1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的；
(2)求旋转到的过程中，点C所经过的路径长为_____；边扫过的图形面积为_____．
17．为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：

甲
乙
进价/（元/本）


售价/（元/本）
20
13
(1)求，的值；
(2)第二次小卖部购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
18．知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
19．观察以下等式：
第1个等式：；       第2个等式：；
第3个等式：；     第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：________________________（用含的等式表示），并证明．
20．如图，在Rt中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
21．为了解某次“小学生书法比赛”的成绩情况，随机抽取了30名学生的成绩进行统计，并将统计情况绘成如图所示的频数分布直方图，已知成绩x（单位：分）均满足“50≤x＜100”．根据图中信息回答下列问题：
（1）图中a的值为　　；
（2）若要绘制该样本的扇形统计图，则成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为　　度；
（3）此次比赛共有300名学生参加，若将“x≥80”的成绩记为“优秀”，则获得“优秀“的学生大约有　　人：
（4）在这些抽查的样本中，小明的成绩为92分，若从成绩在“50≤x＜60”和“90≤x＜100”的学生中任选2人，请用列表或画树状图的方法，求小明被选中的概率．

22．如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．
  
(1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）
(2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值．
23．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE．
（1）如图1，若正方形的边长为6，PB＝2，求BG的长度．
（2）如图2，当P点为BC的中点时，求证：CE：BG＝：1；
（3）如图1，当BP：PC＝2：3时，求CE：BG的值．


参考答案：
1．D
【分析】根据正数>0>负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：，，，，而，
，
故选：．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解答的关键．
2．B
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；
选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是，符合题意；
选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是，不符合题意；
选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据所给三视图判断几何题即可.
【详解】解：根据题中所给三视图可知对应几何体是B中几何体，
故选B.
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的知识是解答的关键.
4．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数字7600亿用科学记数法表示为；
故选D．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5．D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
6．D
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解．
【详解】解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化，
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键．
7．C
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴方程 可变形为：，
∵，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
8．B
【分析】根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
9．C
【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由，得，
解得，或，
抛物线和直线分别交于点和点，
，的横坐标为：，
抛物线的开口向上，交点在第三象限内，
，，
抛物线中，，对称轴，
此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值．
10．ABC
【分析】过点D分别作，垂足为H、G，由题意易得，，，，，都为等腰直角三角形，则有，然后根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：如图所示：
  
过点D分别作，垂足为H、G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，，，，都为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
∵，
∴，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∴，，故B正确；
∴在中，，且，
∴，
∴，故D错误；
故选ABC．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
11．2
【分析】先分别将 ､ 化简为最简二次根式,再进行相乘即可得出答案．
【详解】,
故答案为:2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简,二次根式的乘法,解题的关键是熟练掌握二次根式的化简,二次根式的乘法法则．
12．-20
【分析】连接AO，求出△AOB的面积，利用k的几何意义求值．
【详解】解：连接AO，
∵，
∴ ，
设S△AOB=2x，S△AOC=3x，
∴2x+3x=25，
解得x=5，
∴ ，
解得k=±20，
又因为k＜0,
∴k=-20,
故答案为-20．

【点睛】本题考查k的几何意义，注意根据反比例函数图象的位置确定k的符号是本题的易错点．
13．3
【分析】根据平行四边形的性质得出，求出，求出，代入求出即可．
【详解】解：，
，
则


．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积、三角形面积；解决问题的关键是推出．
14． 直线
【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线代入即可求解；
（2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论与，由两点中点与对称轴的位置关系求解．
【详解】解：（1）抛物线：，
对称轴为直线；
故答案为：直线；
（2）抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，，
，
即，
解得，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．
15．
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：方程两边同乘以，去分母，得

解这个整式方程，得

检验：把代入，得

∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．
16．(1)图见详解
(2)，

【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；
（2）根据弧长计算公式求出点所经过的路径即可．根据线段旋转得到的过程中，线段所扫过的面积为，进而求出即可．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
；
（2）解：点所经过的路径长为：；
所扫过的面积．
故答案为，．
【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转和弧长公式、扇形面积公式应用，根据已知得出对应点位置是解题关键．
17．(1)
(2)八折

【分析】（1）根据“购买500本甲和400本乙共需要8200元”和“甲类书刊比乙类书刊每本贵2元”列出方程组求解即可；
（2）先求出两类书刊进价设甲书刊打了x折，再根据“全部售完后总利润为8500元”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，解得：．
（2）解：根据题意，得两类书刊进价共为元，
设甲书刊打了折，则两类书刊售价为（元），
根据题意，得，解得．
答：甲书刊打了八折．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，正确找准等量关系列出方程组合方程是解题的关键．
18．(1)3.8m
(2)，能安全使用

【分析】（1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可；
（2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可．
【详解】（1）解：∵，当时，取最大值，
在中，，
（米，
梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米；
（2）解：在中，，
，
，
∵，
人能安全使用这架梯子．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键．
19．(1)
(2)；证明见详解

【分析】（1）每个等式两边分别是一个分数与一个数字的差与商，分别分析分数与数字的规律，分数的分母第一个是1，以后序号每增加1分母增加3，第一个等式的分子为2的平方，第二个等式为5的平方，则分子等于分母加1的平方，数字等于分数的分子中的底数，根据此规律写出第5个等式即可；
（2）根据（1）中的规律，写出第n个等式即可，根据完全平方公式以及多项式乘多项式法则将等号左右两边的代数式化简即可证明结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，第5个式子为：，
即：，
故答案为：．
（2）解：猜想第n个式子为：，
证明：，
，
∵，
∴成立．
【点睛】本题考查寻找数之间的规律，完全平方公式，多项式乘以多项式，能够发现规律，总结规律，应用规律是解决本题的关键．
20．(1)见详解
(2)

【分析】（1）连接，，由为圆的直径，得到为直角，可得出三角形为直角三角形，为斜边的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，利用等边对等角得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形中两锐角互余，利用等角的余角相等得到与互余，可得出为直角，即垂直于半径，可得出为圆的切线；
（2）连接，由为的中点，为的中点，即为三角形的中位线，可得出等于的一半，接下来求出，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由一对角为公共角，一对直角相等，得到三角形与三角形相似，由相似得比例将，，及的长代入求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即可得出的长．
【详解】（1）证明：连接，，
为圆的直径，
，
在中，为斜边的中点，
，
，  
，
，
，即，
，即，
，又为圆的半径，
为的切线；

（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
，，
，
，即，
解得：，
在中，根据勾股定理得：，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
则．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
21．（1）6；（2）144；（3）100；（4）小明被选中的概率为．
【分析】（1）用总人数减去其他分组的人数即可求得60≤x＜70的人数a；
（2）用360°乘以成绩在70≤x＜80的人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可得；
（4）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出有C的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）a=30﹣（2+12+8+2）=6，
故答案为6；
（2）成绩x在“70≤x＜80”所对应扇形的圆心角度数为360°×=144°，
故答案为144；
（3）获得“优秀“的学生大约有300×=100人，
故答案为100；
（4）50≤x＜60的两名同学用A、B表示，90≤x＜100的两名同学用C、D表示（小明用C表示），
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中有C的结果数为6，
所以小明被选中的概率为．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图、用样本估计总体、列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂直方图，熟记用列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键．
22．(1)
(2)关于的函数表达式为；最大值为56

【分析】（1）由于正方形和正方形面积相等，可得出两个正方形的边长相等，根据题意可得，，代入即可得到关于的函数表达式．
（2）由（1）可知的面积，又因为，即可得到，再根据二次函数的性质，为开口向上的抛物线，在离对称轴远的点的位置取最大值，可判断出在当时，取最大值，从而可计算出最大面积．
【详解】（1）解：由题可知， ，，
∴，即，
∴．
（2）解：∵正方形和正方形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
又，
∴


整理得关于的函数表达式为；
由，
∵，
故：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又，
∴当时，取最大值，，
即最大值为56．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用—图形的面积问题，熟练掌握二次函数的性质，开口向上在顶点处取最大值 ，开口向下在离对称轴远的点的位置取最大值是解题的关键．
23．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由勾股定理求得AP的长，则由面积相等关系即可求得BG的长；
（2）过点C作CH⊥AE于点E，易证△BGP≌△CHP，则CH=BG，其次可证明HE=CH，则由勾股定理得，进而证得结论；
（3）过点C作CH⊥AE于点E，易证△BGP∽△CHP，则由相似三角形的性质可得CH：BG的值，其次可证明HE=CH，则由勾股定理得，进而求得结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=6，∠ABC=90゜
∴由勾股定理得
∵
∴
（2）过点C作CH⊥AE于点E，如图2所示

∵BG⊥AP
∴∠BGP=∠CHP=90゜
∵P为BC的中点
∴PB=PC
在△BGP和△CHP中

∴△BGP≌△CHP(AAS)
∴CH=BG，∠GBP=∠HCP  
∵BG⊥AP
∴∠GAB+∠GBA=∠GBA+∠GBP
∴∠GAB=∠GBP
∴∠GAB=∠HCP
∵BG⊥AP，AG=EG
∴AB=BE
∴∠GAB=∠GEB
∴∠HCP=∠GEB
∵AB=BC，AB=BE
∴BC=BE
∴∠BCE=∠BEC  
∴∠BCE−∠HCP=∠BEC−∠GEB
即∠HCE=∠HEC
∴CH=HE即△CHE是等腰直角三角形
∴由勾股定理得
∴
（3）过点C作CH⊥AE于点E，如图1所示

则∠CHP=∠ABC=90゜
∵∠BPG=∠CPH
∴△BGP∽△CHP
∴CH：BG=PC：BP=3：2
由（2）的证明知：HE=CH  
由勾股定理得
∴
即
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理等知识，运用了等积方法求线段BG的长，构造辅助线得到三角形全等和相似是本题的关键．