2023年山东省聊城市莘县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省聊城市莘县中考一模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省聊城市莘县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．正数2的平方根可以表示为（   ）
A． B． C． D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．青 B．春 C．梦 D．想
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（   ）

A． B． C． D．
5．据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
6．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（    ）
A． B． C． D．
8．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（　　）

A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为
9．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（    ）

A． B．垂直平分线段
C． D．
12．如图，在中，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（其中点为切点），则线段长度的最小值为（　　）
  
A． B． C． D．4

二、填空题
13．计算：___________．
14．从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
15．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．
16．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
17．如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为_______．


三、解答题
18．先化简，再求值：，其中
19．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）
  
b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．
c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七年级
76.5
m
八年级
78.2
79
请结合以上信息完成下列问题：
(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；
(2)表中m的值为______；
(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．
20．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．

(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
21．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）

23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
24．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的切线与的延长线交于点P．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当，时，求线段的长．
25．已知：如图，在中，，，，将对折，使点C的对应点H恰好落在直线上，折痕交于点O，以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接、，求的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据平方根的性质：如果一个数的平方为，那么这个数叫做的平方根，的平方根表示为即可求解．
【详解】解：正数2的平方根可以表示为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平方根的性质，解决问题的关键是理解平方根的性质．
2．D
【分析】根据正方体表面展开图相对面之间相隔一个正方形这一特点即可作答．
【详解】在原正方体中，
与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，
与“点”字所在面相对的面上的汉字是：春，
与“青”字所在面相对的面上的汉字是：梦，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，准确的找出每个面的相对面是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算即可．
【详解】解：A．，原式计算错误；
B．，原式计算错误；
C．，原式项计算错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幂的乘方．
4．A
【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积

．
故选：．
【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积．
5．C
【分析】根据科学记数法的定义处理，将一个绝对值大于1的数表示成，其中，n为原数的整数位数减1．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，注意表示绝对值大于1的数时，10的指数为原数的整数位数减1．
6．C
【分析】用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值．
【详解】解：，
①②，得，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
7．B
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为，即可得解．
【详解】解：，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
8．D
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：本次调查的样本容量为：，故选项B中的说法正确，不符合题意；
选“责任”的有（人），A选项正确，不符合题意；
选“感恩”的人数为：，故选“感恩”的人数最多，故选项C中的说法正确，不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为，故选项D中的说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．B
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．D
【分析】根据平移和旋转的性质，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，即可得点A的对应点的坐标．
【详解】解：如图，

即为所求，
则点A的对应点的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
11．C
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论．
【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A正确；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B正确；
，，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．
12．A
【分析】连接、，作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据垂线段最短得到当时，最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，作于，
  
是的切线，
，
，
当最小时，线段的长度最小，
当时，最小，
在中，，
，
在中，，
，
线段长度的最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．12
【分析】先计算乘方和开方，并化简绝对值，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解：原式

．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：

共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
15．120
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），
设圆心角的度数是n度．
则=4π，
解得：n=120．
故答案为120．
16．
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
17．
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，即，
∵是等边三角形，轴，，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
以此类推，点的横坐标为，
∴当时，点的横坐标为．

故答案为：
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点的横坐标的变化规律．
18．，0
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解：



；
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．(1)38，理由见解析
(2)77
(3)甲
(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人

【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；
（2）根据中位数的计算方法求解即可；
（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；
（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，
∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，
故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；
  
（2）解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，
∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，
∴第25、26的数据分别为77，77，
∴m=，
故答案为：77；
（3）解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，
∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，
故答案为：甲；
（4）解：（人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．
【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
20．(1)详见解析
(2)四边形AEFG是矩形，详见解析

【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；
（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，

∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
21．(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．

【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴当时，y取最大值，此时，，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
22．96米
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】延长交于点，
过点作，交于点，
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大楼的高度约为96米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)12

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可．
【详解】（1）将A(2，-4)代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B(-4，m)代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．

令，则，
∴点D的坐标为(-2，0)，
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴




=12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）连接，由是直径所对的圆周角，可知，再由是的平分线，可得，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得，再由切线，可证；
（2）由（1），得，再由同弧所对圆周角相等，得，进而得到，又由，，即可证明；
（3）由已知可求，在中，，在中，，再由，可得，即可求．
【详解】（1）证明：连接，
  
是的切线，
，
是的平分线，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
25．（1）；（2）4；（3）点E的坐标为（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）先通过勾股定理求出AB的长，再通过证△AHO∽△ACB，分别求出点A，B的坐标，将其代入y=ax2+bx即可；
（2）求出线直AB的解析式，可设P（x，），则M（x，），用含x的代数式表示出△MAB的面积，通过二次函数的图象及性质可求出其最大值；
（3）先求出抛物线的对称轴，分情况讨论：①如图3-1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，利用平行四边形的性质可求出点E的横坐标，即可写出点E坐标；②如图3-2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，直接求出抛物线顶点坐标即可．
【详解】解：（1）如图：

在Rt△ABC中，AB=，
由翻折知，△BCO≌△BHO，
∴BH=BC=3，
∴AH=ABBH=2，
∵∠HAO=∠CAB，∠OHA=∠BCA=90°，
∴△AHO∽△ACB，
∴，即，
∴AO=，
∴A（，0），B（，3），
∵抛物线经过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将点A（，0），B（，3）代入，得
，
解得，，
∴过A，B，O三点的抛物线解析式为；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（，0），B（，3）代入，得
，解得：，
∴直线AB的解析式为；

∴可设P（x，），则M（x，），
∴PM==，
∴S△MAB=PM（xA-xB）
=（）×4
=
=；
∴当x=时，△MAB的面积取最大值4；
（3）在y=中，对称轴为x=；
①如图3-1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，

∵OA=，
∴EF=，
∵xF=，
∴xE=，
∴或；
当或时，，
∴点E的坐标为（，）或（，）；
②如图3-2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，

∵当x=时，y=，
∴点E的坐标为（，）；
综上所述，点E的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质等，解题关键是能够结合抛物线与平行四边形的性质求点的存在性．