2023年浙江省金华市东阳市一模数学试题（含解析）

这是一份2023年浙江省金华市东阳市一模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，八年级学生科技知识竞赛”，七等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省金华市东阳市一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在，，0，3这四个数中，最小的数是(   )
A． B． C．0 D．3
2．下列式子正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（    ）
A． B．
C． D．
5．空气是混合物，为直观介绍空气中各成分的百分比，所采用的统计图最适合的是（　　）
A．折线统计图 B．扇形统计图
C．频数分布直方图 D．条形统计图
6．将符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ）
A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数
C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0
7．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（　　）

A．15° B．25° C．35° D．40°
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴的交点分别为，，则不等式的解为（    ）
  
A． B． C． D．
9．安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树顶端点的仰角，底端点的俯角，点离地面的高度米，则大树的为（    ）
  
A．米 B．米
C．米 D．米
10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（    ）

A．4 B． C． D．

二、填空题
11．在二次根式中，字母的取值范围是________．
12．2023年2月婺城区第十届人民代表大会审议通过的政府工作报告中指出，2022年实现地区生产总值元．数用科学记数法表示为______．
13．如果两张扑克牌的牌面数字相同，那么这两张牌可以组成一对．如图是甲、乙同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对间概率是______．
  
14．如图，已知正方形的边长为，以为直径作两个半圆，分别取，的中点，连接．则阴影部分的周长为______．
  
15．剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=______．
  
16．图1是一款自动关门器，其示意图如图2所示，固定铁架的宽，支点分别固定在墙面和铁门上，，，摇臂，连杆．点在同一平面内．关门器工作时，点绕点转动，摇臂与连杆长度均固定不变．当阀门完全关闭时（如图3），点在同一直线上，．在开门的过程中，当端点落在墙面上或连杆落在上，都无法将门进一步打开，称此时为开门的极限状态．
    
（1）________；
（2）为使在开门的极限状态下，连杆落在上，则门宽的最大值为________．

三、解答题
17．计算：．
18．如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中，是两个关于的二项式．
【例题】先去括号，再合并同类项：
解：原式________________
(1)二项式A为________，二项式B为________．
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
19．如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
  
(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
20．为了解学生的科技知识情况，学校举行了“七、八年级学生科技知识竞赛”，七、八年级各有300名学生参加本次竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分）进行分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：94，87，86，85，83，81，80，80，79，79，77，76，75，75，75，75，73，71，70，59．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，81，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
【整理数据】







七年级
0
1
0
11
7
1
八年级
1
0
0
7

2
【分析数据】

平均数
众数
中位数
七年级
78
75

八年级
78
81
80.5
【应用数据】
(1)由上表填空：______，______．
(2)请估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有多少人?
(3)结合实际，解释被抽取的八年级20名学生成绩的众数的实际意义．
21．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．
  
(1)求证：是的切线．
(2)已知，，求的半径．
22．（根据以下素材，探索完成任务．
如何加固蔬菜大棚？
素材1
农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
  
素材2
为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1
确定大棚形状
结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2
探索加固方案
请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：
①从何处立第一根竹竿；
②共需多少根竹竿；
③所需竹竿的总长度（写出计算过程）．
23．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图Ⅰ是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．
(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．
(3)以如正方形的顶点分别为：
，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；
②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．
24．如图，在中，，，点P是边上的动点，连结并延长交直线于点E，将沿直线折叠得到，直线交直线于F．

(1)求证：．
(2)若四边形为菱形，且．求的值．
(3)若点P为的中点，在改变长度的过程中，当成为以为腰的等腰三角形时，求的长．

参考答案：
1．A
【分析】根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小，熟记知识点是解题关键．
2．A
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据合并同类项可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
不是同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握以上基础运算是解本题的关键．
3．C
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
4．D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
5．B
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
【详解】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图，
故选B．
【点睛】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题的关键．
6．C
【分析】根据绝对值的含义及绝对值的性质逐项判断即可解答．
【详解】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，
∴项不符合题意；
∵，表示的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，
∴不符合题意；
∵一个非负数的绝对值等于它本身，
∴符合题意；
∵，表述的是非负数的绝对值，不只是的绝对值，
∴选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值的含义及绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】解：如图：

∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA//b，即a//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
8．B
【分析】根据直线与两坐标轴的交点分别为，，以及函数的增减性，即可求出不等式的解集．
【详解】解：直线与两坐标轴的交点分别为，，且随的增大而减小，
不等式的解集为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．D
【分析】过点作，垂足为，由题意得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
    ，
由题意得：，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．B
【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，得，，，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
点在边上，点在边上，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
若，则，
不符合题意，舍去，
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
11．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算，即可得解．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
13．/
【分析】直接由概率公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：甲从乙手中随机抽取一张共有4种等可能的结果，其中恰好与手中牌组成一对的有2种结果，
甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌能组成一对的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．
14．/
【分析】取的中点，设交点于点，根据相似三角形的判定得到，再根据相似三角形的性质及勾股定理得到，最后利用弧长的和即可解答．
【详解】解：如图，取的中点，设、交于点，
∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵是，的中点，
∴弧的长为，
∴弧，弧的长度之和为，
∴图中阴影部分的周长为，
故答案为：．
  
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，勾股定理，弧长公式，掌握相似三角形的性质及判定是解题的关键．
15．/
【分析】如图，设，则，利用平行线分线段成比例得到y与x之间的关系，构建方程求解即可．
【详解】如图，设则，
∵，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴，
∴较长直角边为
故答案为：．
  
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．
16． 15
【分析】（1）连接，由正方形的判定与性质可得，再用勾股定理即可解答；
（2）为使在开门的极限状态下，连杆落在上，则门宽取得最大值时，端点落在墙面上，此时，连接，过点作于点，则，然后根据勾股定理列出方程，求解即可得到答案．
【详解】解：（1）连接，如图1，
  
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
在中，，
，
故答案为：15；
（2）为使在开门的极限状态下，连杆落在上，则门宽取得最大值时，端点落在墙面上，此时，
如图，连接，过点作于点，则，
    
在中，，
在中，，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
或（负值不合题意，舍去），
，
即门宽的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出图形是解决此题的关键．
17．
【分析】直接利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、有理数的乘方、二次根式的化简，分别化简即可得出答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简二次根式，特殊角三角函数值，正确技算是解题的关键．
18．(1)；
(2)

【分析】（1）根据题意添括号，即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵

∴
故答案为：．
（2）解：依题意，，
解得：．
【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)3

【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图如图所示：
  ；
（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体，
故答案为：3．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
20．(1)10，78
(2)该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有45人
(3)八年级20名学生成绩为81分的人数最多

【分析】（1）根据题意可得，根据中位数的意义可得；
（2）先求出90分以上的学生所占的百分比，再乘以总人数即可得到答案；
（3）根据众数的定义即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，
，
故答案为：10，78；
（2）解：根据题意可得：
（人），
答：该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有45人；
（3）解：八年级20名学生成绩的众数的实际意义：八年级20名学生成绩为81分的人数最多．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、中位数、频数分布表，理解众数的意义是正确解答的关键．
21．(1)见解析
(2)的半径为5

【分析】（1）连接，根据，得出，根据，，推出，进而得出，即可求证；
（2）根据垂径定理可得，通过证明四边形为矩形，可得，，设的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，则，
∴，即是的切线．
  
（2）解：∵，，，
∴四边形为矩形，，
∴，，
设的半径为r，即
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：．
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，根据勾股定理列出方程求解．
22．（1）（答案不唯一）；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，共需2根竹竿，所需竹竿总长度为米．
【分析】（1）以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，从而得到共需2根竹竿，分别求出两根竹竿长度，相加即可求解．
【详解】解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）：
  
由题意可得，，顶点的横坐标为，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为；
（2）符合要求的方案：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当时，，
当时，，
∴所需竹竿总长度为（米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，根据题意建立合适坐标系，掌握待定系数法求函数解析式．
23．(1)
(2)或．
(3)①或，②或．

【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知 “迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；
（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；
（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；
②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得，
∴则点、关于直线的对称点为，，
设直线关于直线的对称直线为，
则，
解得，
∴直线为，
∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；
故答案为：
（2），
∴的顶点坐标为
当时，解得：，，
即与轴交点为、
若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，
当与是关于直线对称时，，
当与是关于直线对称时，，
综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，
故答案为：或．
（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：

∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：
当第一象限有两个公共点时，第三个交点是第三象限，当图象上的点，，此时，
当第三象限有两个公共点时，第三个公共点是第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，
综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．
②如图：

若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；
根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，
I． 当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，
II．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，
此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，
此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，
即： 时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限由两个公共点，第二象限无公共点，
III．当，若第二象限由两个公共点，则第三象限无公共点，
此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，
此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，
∴．当，若第二象限由两个公共点，则第三象限无公共点，
综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
24．(1)见解析
(2)或
(3)13或3或或或

【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，则，由折叠可知，，则，即可得到结论；
（2）过点B作于点M，分点F在点D的右侧和点F在点D的左侧两种情况进行求解即可；
（3）分五种情况，分别画出图形，分别进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴；
（2）过点B作于点M，

则，
设，且，
∵，四边形为菱形，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
当点F在点D的右侧时，如图，

∵，
∴，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点F在点D的左侧时，如图，点F与点M重合，

则，
∴，
同理可得，
综上所述，的值为或；
（3）①当时，点F在点E的左侧，如图，过点B作于点M，

由（1）（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当时，若点F在点E的右侧，如图，

则，
同理可得，，
∵，
∴，
∴；
③当时，若点F在线段上，如图，过点B作于点M，

由（1）（2）可知，，
由（3）①可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
④当时，若点F在线段的延长线上时，如图，

同理可得，，
∴，
∴；
⑤当时，若点F在线段的反向延长线上时，如图，

同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为13或3或或或．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，分类讨论思想是解题的关键．