2023年浙江省衢州市衢江区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年浙江省衢州市衢江区中考三模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省衢州市衢江区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数中，比-1小的数是（    ）
A．2 B．-2 C．0 D．1
2．已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边长可能是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，下列等式不一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
4．某农业基地4块实验田，分别抽取10株菌，测得的平均高度和方差数据如下表，判断哪一块实验田的麦苗长得整齐（    ）

甲
乙
丙
丁
平均高度（）
12
12
12
12
方差（）
13.6
5.8
12.3
8.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
6．小宇妈妈上午在某水果超市买了元的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄在打折降价处理，小字妈妈又买了元的葡萄，结果恰好比早上多了千克．若设该水果店早上葡面的价格是元千克，则（    ）
A． B．
C． D．
7．如图1，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜，大三斜和闺（均为等腰直角三角形）．现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张，共6张拼成图2，若图1大正方形的边长为4，则图2阴影部分的周长是（    ）
  
A．4 B． C． D．5
8．如图，内接于，，直径与边交于点E，若，则的值为（    ）
  
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，点，分别为，上的点，，交于点，，记与四边形的面积分别为，则（    ）
  
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于，两点，已知，且，则下列说法正确的是（    ）
A．当且时，有最小值 B．当且时，有最大值
C．当且时，有最小值 D．当且时，有最大值

二、填空题
11．分解因式： _______．
12．在一次科学课上，小明同学设计了如下电路图，随机闭合两个开关，能使其中个灯泡发亮的概率为______．
  
13．如图，在中，，则的度数为________．

14．某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米．

15．如图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形的边OA落在x轴上，点C的坐标为，反比例函数经过的交点E，则k的值是__________．
  
16．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示，订书钉放置在轨槽内的处，由连接弹簧的推动器推紧，连杆一端固定在压柄上的点E处，另一端P在上移动．已知，，点H是底座上钉子的落点，．
（1）使用时，纸张放置在底座AB的合遗位置，将压柄CF下压，使得点D与点H重合，即完成装订，用轨槽CD的长为___________（结果精确到0.1cm）
（2）装入订书钉时，需拉动压柄，点P滑动到与点M重合，压柄会带动推动器向点C移动，当时，在处可以被入一段最长为______的订书钉．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：）


三、解答题
17．计算：
18．已知：如图，与的顶点A重合，．求证：．
  
19．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上，请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
  
(1)在图1中画一条线段垂直AB．
(2)在图2中画一条线段交于点P，使．
20．为了解我国铁路旅客发送量和货运总发送量，小明同学在中华人民共和国交通运输部两上查询到2022年7月到2023年2月，全国铁路旅客发送量和货运总发送量的数据，并绘制了如下的折线统计图．
根据图表信息，回答下列问题：
  
(1)2022年12月至2023年1月的旅客发送量的增长率为___________．
(2)为估计从2023年3月到2024年2月，12个月的货运总发送量，小明选用了平均数来分析，小军选用众数来分析．请分别说明选择两种统计量分析的合理性，并通过计算估计两种方法分别得出的货运总发送量．
(3)请结合折线统计图，估计2023年三月份的旅客发送量．
21．如图，在中，AB=AC=6，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）若∠BAC=54°，求弧DE的长；
（2）若，求CD的长．

22．某校组织九（1）、九（2）班学生外出研学，研学目的地是衢州飞鸿滑草场，搭载两个班学生的大巴车甲和乙行驶路线相同，途径衢州孔庙．其中九（1）班学生乘坐的大巴车甲先出发，以的平均速度前往孔庙，学生在孔庙参观了0.5小时后，大巴车甲以同样的速度前往滑草场；九（2）班学生乘坐的大巴车乙晚了0.1小时出发，从学校直达滑草场．两辆大巴车出发后与学校相距的路程和出发时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解决下列问题：
（1）求孔庙与学校的路程．
（2）大巴车乙出发多少小时后追上大巴车甲？
（3）在整个行驶过程中，两车何时相距？

23．小王计划建造一个150平方米的矩形大概种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题
  
(1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现，当每平方米种植4株时，平均产量为2kg；以同样的载培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25kg．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．
(2)【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以图40米，为了节约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图1所示、已知外墙长为12米，则与墙垂直一面的长度为多少？
(3)【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图2是大腰顶部建好后的侧面图，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日燃灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度．
24．如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．
  
(1)推断与计算
①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________；
②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积；
(2)猜想与证明
请猜想与的数量关系，并证明这个结论：
(3)拓展与应用
当是等腰三角形时，求的值．

参考答案：
1．B
【分析】负数的绝对值越大，负数值越小，据此求解即可．
【详解】，即
故选：B
【点睛】此题考查有理数的大小，解题关键是负数要比绝对值的大小，再取相反的符号．
2．B
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
【详解】解：设第三边长为x，则有，所以第三边长可能是2；
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
3．D
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；    
B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；    
C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，且，∴，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
4．B
【分析】根据平均数及方差可进行求解．
【详解】解：由表格可知：甲、乙、丙、丁的平均高度相等，且，
∴乙块实验田的麦苗长得整齐；
故选B．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差是解题的关键．
5．D
【分析】移项、合并同类项、系数化成1即可求解．
【详解】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
6．B
【分析】设该水果店早上葡面的价格是元千克，根据第二次购买的数量比第一次多千克，列出分式方程即可求解．
【详解】解：设该水果店早上葡面的价格是元千克，根据题意，得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系是解题的关键．
7．C
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，
  
∵图1大正方形的边长为4，
∴，
由题意可得，是等腰直角三角形，
∴，
由题意可得，J是的中点，
∴，
由题意可得，，
∴图2中，，
∴由题意可得，图2阴影部分的周长是．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8．C
【分析】连接，，过点A作垂足为F，证明，通过相似三角形的相似比可以求出，再根据即可求出．
【详解】解：如下图所示，连接，，过点A作垂足为F，
  
∵， ，
∴，
∴过圆心，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论和相似三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造．
9．B
【分析】连接，设的面积为，根据，,得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
  
∵，，
∴，,
设的面积为,
∴，,
∴




故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．A
【分析】设直线，联立直线与抛物线解析式得出是方程的两根，进而根据，得出在的下方，得出，则，即可得出，进而结合选项，进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，过点的直线交抛物线于两点，
设直线，
联立，
即，
∴是方程的两根，
即，，
∵，
∴在的下方，
联立，
解得：或，
∴，
∵在抛物线上，则，
∴，
∴，
当且，
∴，
∴有最小值，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．
12．
【分析】根据题意得到随机闭合两个开关所有可能的结果，再利用概率的定义即可解答．
【详解】解：∵当两个开关都打开时，有种结果；当两个开关开一个的时候，有种结果；当两个开关都关闭的时候，有种结果，
∴有一个灯亮的情况概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键．
13．/度
【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．1000
【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C，
由题意可得：，
由图中数据可得：，
，
∴米，
故答案为：1000．

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形．
15．8
【分析】由勾股定理求得OC的长，再求出点A的坐标，然后求出点E的坐标，最后可求k的值．
【详解】解：∵C的坐标为，
∴，
∵菱形OABC，
∴，
∴，
∵的交点E，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，，关键是求出点E坐标．
16．
【分析】（1）由题意得，利用勾股定理求出即可；
（2）如图2，作于K，解直角三角形求出、、，即可求解．
【详解】（1）由题意得，
在中，
，
故答案为：；
（2）

如图2，作于K，
在，
，，
在中，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．见解析
【分析】证明，可以得到，即可得到．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的证明方法．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）找到格点，使得，且，则即可求解；
（2）取格点使得，交于点，则点即为所求，
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
  
理由如下，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，取格点使得，交于点，则点即为所求，
  
∵，，
∴
∴，
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．(1)
(2)见详解
(3)2023年3月旅客发送量为千万人

【分析】（1）根据折线统计图可进行求解；
（2）根据折线统计图可进行求解；
（3）通过折线统计图求出2022年7月到2023年2月的旅客平均发送量，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由折线统计图可得：；
故答案为；
（2）解：平均数表示的是一组数据集中趋势的量数，所以小明选用平均数来分析是可以反映2023年3月到2024年2月之间的货运总发送量；而众数是指在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平，所以小军选用众数来分析是可以反映出2023年3月到2024年2月之间的货运总发送量的一般水平及集中趋势数值；
∴当选用平均数时，则从2023年3月到2024年2月，12个月的货运总发送量为（千万吨）；
当选用众数时，则从2023年3月到2024年2月，12个月的货运总发送量为（千万吨）；
（3）解：由折线统计图可知：从2022年7月到2023年2月旅客发送量的平均数为（千万人）；
∴预估2023年3月旅客发送量为（千万人）．
【点睛】本题主要考查折线统计图、众数及平均数，熟练掌握折线统计图、众数及平均数是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）连结AE，根据根据直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质可得出∠ABE的度数，再根据余角可得出∠BAE的度数，根据角的和差可得出∠EAC的度数，然后根据圆周角定理及弧的度数即可得出弧DE，最后根据弧长公式即可得出答案；
（2）根据切线的性质可知∠ABF=90°，根据余切的概念可知，连结BD，
可知，根据正切的概念可知，再根据勾股定理即可求得AD，最后根据线段的和差即可求得CD的值．
【详解】解：（1）连结AE，

∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=54°
∴∠ABE=∠ACB=

∴∠EAC=27°，
∴弧DE=54°，
∴弧DE的长度为．
（2）∵BF是⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABF=90°，
∵
∴
连结BD，

AB为直径


设
根据勾股定理得
解得：（负值已舍去）


．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、正切的概念、圆周角定理以及弧长公式，正确添加辅助线和掌握性质定理是解题的关键．
22．（1）；（2）小时；（3）当或时，两车相距．
【分析】（1）结合函数图象，根据大巴车甲的平均速度即可得；
（2）先求出大巴车乙的平均速度，再利用两车相遇时的路程除以大巴车乙的平均速度即可得；
（3）先分别求出大巴车甲到达滑草场时、大巴车乙追上大巴车甲时，再分，，，，和六种情况，结合函数图象建立方程，解方程即可得．
【详解】解：（1），
答：孔庙与学校的路程为；
（2）大巴车乙的平均速度为，
因为当大巴车乙行驶至孔庙时，才追上大巴车，
所以此时，
答：大巴车乙出发小时后追上大巴车甲；
（3）当大巴车甲到达滑草场时，，
当大巴车乙追上大巴车甲时，，
由题意，分以下六种情况：
①当时，
则，解得，不符题设，舍去；
②当时，
则，解得，不符题设，舍去；
③当时，
则，解得，不符题设，舍去；
④当时，
则，解得，符合题设；
⑤当时，
则，解得，符合题设；
⑥当时，
则，解得，不符题设，舍去；
综上，在整个行驶过程中，当或时，两车相距．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用等知识点，读懂函数图象是解题关键．
23．(1)每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为kg
(2)米
(3)米

【分析】（1）设每平方米种植增加x株，总产量为y，根据题意可以得到，将二次函数的解析式化解为顶点式即可得到答案；
（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；
（3）设二次函数的解析式为，先根据图2得数据求出解析式，再将代入即可求得答案．
【详解】（1）解：设每平方米种植增加x株，总产量为ykg，
根据题意得，
∴，
∴当株时，有最大值，且kg，
∴每平方米计划种植6株时，能获得最大产量，最大产量为kg，
（2）解：设与墙垂直一面的长度为多少m米，
根据题意得平方米，
解方程得米，
∵
∴与墙垂直一面的长度为米；
（3）解：直角坐标系建立如下图所示，
  
设二次函数的图像解析式为：，
由题意可得，抛物线过点，
∵外墙长为12米，
∴抛物线过点，
∴，
解方程组得：
∴，
当米时，米，
∴灯安装的高度为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的二次函数解析式．
24．(1)①；②
(2)，证明见解析
(3)或或

【分析】（1）①如图所示，连接，证明，即可得到；
②先根据正方形的性质得到，，则，由，得到，再由E是的中点，可得；
（2）如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，求出 则，，即可得到，进而证明；
（3）如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，时，三种情况建立方程求出m的值，再根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：①如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵F是中点，
∴，
∵，B、D、P三点共线，
∴，
∴，
故答案为：；
  
②∵正方形的边长为1，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
  
（3）解：由（2）得
如图3-1所示，当时，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在直线上，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴在中，；
  
如图3-2所示，当时，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴在中，；
  
如图3-3所示，时，
∴，
∴，即
解得或（所去），
经检验是原方程的解，
∴在中，；
综上所述，的值为或或．
  
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，求角的正切值，等腰三角形的定义等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．