2023年山西省大同市平城区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山西省大同市平城区中考三模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省大同市平城区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列几何体均由5个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与俯视图相同的是（    ）
A．       B．   C．   D．  
4．国网山西省电力公司数据显示，截至2022年底，山西全省新能源装机容量达万千瓦，突破4000万千瓦大关，占全省总装机容量的．数据万千瓦可用科学记数法表示为（    ）
  
A．千瓦 B．千瓦
C．千瓦 D．千瓦
5．如图，直线，，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
6．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（    ）
  
A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
7．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是（    ）
  
A． B． C． D．或
8．如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
9．九年（1）班甲、乙、丙、丁四位同学最近6次信息技术模拟测试成绩（单位：分，满分10分）的平均数和方差如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数
9.54
9.55
9.55
9.54
方差
6.7
6.6
6.9
6.9
根据表中数据，成绩好且发挥稳定的同学是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
11．计算的结果为_____．
12．在一个不透明的袋子中装有三个编号分别为1，2，3的小球，三个小球除编号外完全相同，小明将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出一个并记下编号，然后放回袋中摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球并记下编号，则两次所摸小球的编号之积为奇数的概率为_____．
13．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，当点的对应点落在边上时，的度数为____．
  
14．春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，这两周参观人数的平均增长率为______．
  
15．如图，已知四边形是边长为4的正方形，点是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接，则的长为______．


三、解答题
16．（1）计算：．
（2）解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
  
17．如图，已知，且，连接作于点，于点，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由．
  
18．闻喜花馍享誉全国，是闻喜人民用当地生产的优质小麦粉，经和面后，采用捏，搓，揉，拽，剪，贴等多道工艺，捏出花果、人物、鸟兽等栩栩如生的形象，再经过蒸制、晾晒、着色制作而成．某展览会上展销闻喜花馍，王阿姨购买了2个A型花馍和3个型花馍共花费480元，李阿姨购买了3个A型花馍和2个型花馍共花费520元，分别求出A型、型花馍的单价．
  
19．综合与实践是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，它搭建了课程学习和实践应用之间的桥梁．学校为了解综合与实践活动的开展情况，组织全体学生进行了一次关于“每周参与综合与实践活动情况”的问卷调查，并准备随机抽取200名学生的问卷进行统计分析．
【数据收集】
（1）学校设计了以下四种抽样调查方案：
方案1：在九年级学生中随机抽取200名学生的问卷；
方案2：在七年级学生中随机抽取200名学生的问卷；
方案3：在全校男生中随机抽取200名学生的问卷；
方案4：在全校学生中随机抽取200名学生的问卷．
其中最合理的方案是__________．
【数据整理】
学校按最合理的方案进行抽样，经过对问卷数据的整理，得到如下结果．
调查主题
xx中学学生每周参与综合与实践活动情况
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学学生
数据的整理与描述
第一项
你每周参与综合与实践活动的时间大约为（每组数据包含最小值，不包含最大值）
A．0~1小时
B．1~2小时
C．2~3小时
D．3小时及以上
  综合与实践活动时间统计图
第二项
你参加综合与实践活动的类型主要有哪些（可多选）
E．考察探究类
F．设计制作类
G．社会服务类
H．职业体验类
  综合与实践活动类型统计图
【数据分析】
（2）若该校共有1800名学生，请估计每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数与选择“考察探究类”的人数．
（3）九年（1）班要根据以上调查结果对全校学生综合与实践活动情况进行分析，假如你是该班的学生，请你结合以上两项调查报告数据分别写出一条通过分析获取的信息．
20．阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，…这样的分式是假分式；如，…这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：
将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
．
将分式化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1：．
方法2：由于分母为，可设（，为常数），
，
．
，解得
．
．
这样，分式就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：
(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为__________．
(2)请将化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个的值．
21．“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些祭立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校项目学习小组的同学来到郊外山脚下，计划测量一座风力发电机组的塔筒的高度．如图，斜坡的坡角，小颖同学在坡底处测得塔筒顶端的仰角为，小颖沿坡面前行到达处，测得塔筒顶端的仰角为．其中点，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求塔筒的高度．（结果精确到．参考数据：，）
    
22．综合与实践
问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．
  
(1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．
(2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．
23．综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．点是抛物线上的一个动点．
  
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)如图1，当在直线上方时，连接交于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，连接，过点作交抛物线的对称轴于点．试探究：是否存在一点使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2．C
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项运算，然后进行判断即可．
【详解】解：A、，错误，故不符合要求；
B、，错误，故不符合要求；
C、，正确，故符合要求；
D、，错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算．
3．B
【分析】画出各选项的主视图、俯视图，然后判断即可．
【详解】解：A选项的主视图，俯视图如下：
    ，故不符合要求；
B选项的主视图，俯视图如下：
  ，故符合要求；
C选项的主视图，俯视图如下：
  ，故不符合要求；
D选项的主视图，俯视图如下：
  ，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的主视图、俯视图．解题的关键在于熟练掌握：从正面看到的是主视图，从上面看到的是俯视图．
4．C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万千瓦千瓦，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
5．A
【分析】根据三角形的外角求得，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
  
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．D
【分析】依题意，一元二次方程的几何解法，构造图形解方程，体现的熟悉思想是数形结合，据此即可求解．
【详解】解：依题意，造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是数形结合思想,
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键．
7．A
【分析】利用数形结合思想，以交点为界，反比例函数图象在正比例函数图象上方，且在轴上方，即可求解．
【详解】解：依题意，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．
当时，的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
8．D
【分析】先由平行线的性质求出，再由圆内接四边形对角互补求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
9．B
【分析】根据平均成绩越高，成绩越好，方差越小，稳定性越好，进行判断作答即可．
【详解】解：由表可知，乙、丙的平均数更高，乙的方差更小，
∴成绩好且发挥稳定的同学是乙，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用平均数作决策，方差与稳定性．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10．C
【分析】如图，连接，证明是等边三角形，则，，则，是的中点，是底边上的中线，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
  
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是的中点，是底边上的中线，
∴，
∴

，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，扇形面积，中线等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分面积．
11．4
【分析】利用平方差公式进行求解即可．
【详解】解：


，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知平方差公式是解题的关键．
12．
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
















共有9种等可能结果，其中符合题意的有4种，
∴两次所摸小球的编号之积为奇数的概率为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
13．
【分析】根据旋转的性质得出，根据三角形内角和定理以及等边对等角，即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．
【分析】设这两周参观人数的平均增长率为x，根据今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这两周参观人数的平均增长率为x，则由题意可得，
，
解得（不合题意，舍去），
∴这两周参观人数的平均增长率为，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的相关知识是解题的关键．
15．
【分析】过点作于点M，交于点N，得到矩形，设，，证明，求得，运用勾股定理解答．
【详解】如图，过点作于点M，交于点N，
则得到矩形，

设，，
∵四边形是边长为4的正方形，沿翻折得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，
解得，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
16．（1）1；（2），数轴表示见解析
【分析】（1）依次计算乘方、有理数的除法、负整数指数幂，最后求解即可；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，冉家根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
  
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】由可得，再根据、可得即，再证可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解答．
【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵，,
∴,
∴
∵，，，
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行的性质、全等三角形的判定与性质、平行线四边形的判定等知识点，掌握平行线四边形的判定定理是解答本题的关键．
18．120元，80元
【分析】审题，找出等量关系，列二元一次方程组求解．
【详解】设A型、型花馍的单价分别为x元，y元，则
，
解得
答：A型、型花馍的单价分别为120元，80元．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，审题确定等量关系是解题的关键．
19．（1）方案4；（2）估计每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数为432人，选择“考察探究类”的人数为720人；（3）信息一、有的学生，不愿意或愿意花费极少的时间参与综合与实践活动；信息二、超过一半的学生倾向于设计制作类的综合实践活动（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）根据抽样调查的总体是全校学生，进行判断作答即可；
（2）根据，计算求解可得每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数，根据，计算求解可得每周参与综合与实践活动选择“考察探究类”的人数；
（3）获取的信息合理即可．
【详解】（1）解：∵抽样调查的总体是全校学生的“每周参与综合与实践活动情况”，
∴最合理的方案为，方案4，
故答案为：方案4；
（2）解：由题意知，每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数为（人），
每周参与综合与实践活动选择“考察探究类”的人数为（人），
∴估计每周参与综合与实践活动不低于2小时的学生人数为432人，选择“考察探究类”的人数为720人．
（3）解：信息一、有的学生，不愿意或愿意花费极少的时间参与综合与实践活动；
信息二、超过一半的学生倾向于设计制作类的综合实践活动．
【点睛】本题考查了抽样调查，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．(1)真；
(2)
(3)或

【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（3）根据题意可得是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴是真分式，

故答案为：真；．
（2）解：∵




（3）解：由（2）可得
∵的值为整数，
∴是整数，
∴
∴或．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．69.2
【分析】如图，延长交于，则，过作于，由题意知，，，，则，，，，，，，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，则，过作于，
  
由题意知，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（m），  
∴塔筒的高度为69.2．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，等角对等边等知识．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
22．(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)的长为或．

【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出，由旋转可得，，则，进而证明，即可得证
（3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，勾股定理求得的长，进而求得的长，勾股定理即可求解；②当时，证明三点共线，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
  
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
故答案为：．
（2）四边形是菱形，
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；

（3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，
  
∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴，
②如图所示，当时，
  
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正切的定义，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)或
(3)或或或

【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）如图所示，过点P作轴于H，过点E作轴于G，设，则，，证明，推出，进一步求出，再由点E在直线上，得到，解得或，由此即可求出答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4所示，通过一线三垂直模型构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
（2）解：如图所示，过点P作轴于H，过点E作轴于G，设，
∴，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点E在直线上，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或；
  
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设
如图3-1所示，当点P在点C上方时，
过点P作轴，分别过点C、Q作直线的垂线，垂足分别为E、F，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点Q在抛物线对称轴上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
    
如图3-2所示，当点P在点C上方时，
过点P作轴，分别过点C、Q作直线的垂线，垂足分别为E、F，
同理可证，
∴，
∵点Q在抛物线对称轴上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
   
如图3-3所示，当点P在点C下方时，
同理可求出点P的坐标为；
  
如图3-4所示，当点P在点C下方时，
同理可求出点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或
  
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．