2023年辽宁省锦州市黑山县中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省锦州市黑山县中考一模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省锦州市黑山县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．
2．春节期间上映的第一部中国科幻电影《流浪地球》，斩获约4 670 000 000元票房，将4 670 000 000用科学记数法表示是（　　）
A．4.67×1010 B．0.467×1010 C．0.467×109 D．4.67×109
3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
4．某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如下表
车速/（）





车辆数/辆





则上述车速的中位数和众数分别是（    ）
A．， B．， C．， D．，
5．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有(    )
  
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
8．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
9．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共60个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为_____．
10．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”、“乙”中的一个）
11．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且， ，若，则的度数是_____．

12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____．
13．如图，在内接于，，，连接并延长交于点D，连接，则的度数为_____
  
14．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边、上，连接，将沿折叠得到，若恰好落在上，且，则的长为_____
  
15．如图，点M是线段的中点，点B在反比例函数的图象上，若的面积为，则_____ ．
  
16．如图，过点作直线m：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为，…，这样依次下去，得到一组线段，…，则线段的长为_____．
  

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中：
18．某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只填写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从被抽取的50名学生中得到一组数据，并制成了不够完善的条形统计图和扇形统计图，请结合图中所给的信息回答下列问题：

（1）在被调查的学生中，最喜欢篮球项目的学生是 　 人；占被调查学生的百分比是 　 　．
（2）在扇形统计图中，表示喜欢篮球的扇形的圆心角是　 　度．
（3）补全条形统计图；
（4）若该校学生总数是1800名，请你估算全校喜欢篮球运动项目的学生数是多少？
19．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率．
20．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多元，用元购买种奖品的件数与用元购买种奖品的件数相同．求，两种奖品的单价各是多少元?
21．如图（1）是抗美援朝烈士陵园的纪念碑，碑体正面是董必武同志1962年9月题字“抗美援朝烈士英灵永垂不朽”．图（2）是纪念碑的示意图，小颖在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进22m后，在B处测得碑顶D的仰角为（点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上）．求纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，；，）．
     
22．如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作直线交的延长线于点E，且，连接．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，求线段的长．
23．某商店了解到某种网红产品每件成本是10元，于是购进一批该产品进行销售，试销阶段每件产品的销售单价(元)与日销售量(件)之间的关系如下列图象：
  
(1)求与的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)若每日销售利润为P，当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？
24．在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．

(1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
(2)当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立?请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标．
(3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：将4 670 000 000用科学记数法表示是4.67×109．
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】根据三视图的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，它的俯视图是：  
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上方观察所得到的图形是解题的关键．
4．D
【分析】将所有数据从小到大排列，位于最中间的一个数或最中间的两个数的平均数即中位数；众数是出现次数最多的数．
【详解】解：，
中位数为按大小顺序排列后的第个数和第个数的平均数，即中位数为．
众数为出现次数最多的数，即众数为．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数，熟知中位数与众数的概念是解题的关键．
5．A
【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和单项式乘以多项式的法则分别判定各选项即可．
【详解】解：选项A：，运算正确，符合题意；
选项B：，运算错误，不符合题意；
选项C：，运算错误，不符合题意；
选项D：，运算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和单项式乘以多项式的法则，解答关键是熟练掌握相关性质．
6．C
【分析】将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后逐项进行对比即可得答案，方法是先定界点，再定方向．
【详解】不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选：C．

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是掌握不等式的解集在数轴上的表示方法.
7．D
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确；
②∵抛物线的顶点为，，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③错误；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④正确；
⑤，





，
，则⑤正确；
综上，正确是①④⑤．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
8．B
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
9．24
【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近，得到黑球的概率为0.4，从而求解．
【详解】解：经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，
摸出的黑球的概率为0.4，
袋子中装有黑、白两种球共60个，
袋子中黑球的个数为：个，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，能够根据题目已知条件分析出摸出黑球的概率是解决本题的关键．
10．乙
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，且平均成绩相同
∴射击成绩较稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．/度
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12． 且
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
13．/27度
【分析】根据题意，，再根据计算即可．
【详解】∵，，连接并延长交于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．3
【分析】连接，由翻折的性质和正方形的性质可得，，，在和中，利用勾股定理可得，再进行求解即可．
【详解】解：连接，由翻折的性质可得，，，
∵四边形是正方形，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
故答案为：3．
  
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列等式是解题的关键．
15．
【分析】过点作轴于点，根据题意易证明为的中位线，则，，根据的面积为可得，因此，再根据反比例函数系数的几何意义得，以此即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，如图，
  
轴，
∴，
点是线段的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义、三角形中位线的判定与性质，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键．
16．
【分析】根据点可得，，，，，，则，，，，……，可推导一般性结论：，然后计算求解即可．
【详解】解：∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
，
，
，
……
∴可推导一般性结论：；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦，余弦，正切，一次函数，规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
17．；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．
【详解】解：


；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．
18．（1）15，30%；（2）108；（3）补全条形统计图见解析；（4）估计全校喜欢篮球运动项目的学生数是540名．
【分析】（1）根据调查的学生人数即可求出最喜欢篮球项目的学生人数及占比；
（2）用最喜欢篮球项目的学生占比乘以360°即可求解；
（3）根据最喜欢篮球项目的学生人数即可补全统计图；
（4）用最喜欢篮球项目的学生占比乘以全校人数即可求解．
【详解】（1）最喜欢篮球项目的学生是50﹣（4+8+10+13）＝15（人），
占被调查学生的百分比是×100%＝30%，
故答案为：15，30%；
（2）在扇形统计图中，表示喜欢篮球的扇形的圆心角是360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）补全图形如下：

（4）估计全校喜欢篮球运动项目的学生数是1800×＝540（名）．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意列式求解．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据事件发生的概率计算公式：，（k为包含事件的结果数，n为该事件所有等可能出现的结果数），抽到牌面数字是3的结果有两种，共有4种结果，可得出答案；
（2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果数（如下图），牌面数字相同的有两种，共有12种结果，故可得出答案．
【详解】（1）四张牌为：2,3,3,6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种，
∴；
（2）解：列表如下：
第二次
第一次
2
3
3
6
2




3




3




6




由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴．
【点睛】题目主要考查简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）．
20．种奖品的单价为元，种奖品的单价为元
【分析】设种奖品的单价为元，根据题意列方程求解．
【详解】解：设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出正确的未知数，并根据题意列出方程是解题的关键．
21．
【分析】过D作于H，如图（2）所示：设，则，，建立方程，再求解即可．
【详解】解：过D作于H，
  
如图（2）所示：设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
答：纪念碑的高度约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解题意，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）过点作于点，利用正方形的判定方法证明四边形为正方形，则，可求，利用得到 比例式求得的长，则结论可得．
【详解】（1）证明：连接，如图，
  
为的直径，
．
是的平分线，
，
．
．
，
，
，
为圆的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，如图，
  
，，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形．
．
，
．
，
．
．
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
23．(1)
(2)当销售价定为25元时，每日的销售利润最大，最大利润为225元

【分析】（1）设，将，，代入得，计算求解的值，进而可得结果；
（2）由题意知，，根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设，
将，，代入得，解得，
∴与的函数表达式为；
（2）解：由题意知，，
∵，
∴当，有最大值，值为225，
∴当销售价定为25元时，每日的销售利润最大，最大利润为225元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．(1)
(2)①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析

【分析】（1）根据题意得，进而可得，得出，由，推出，即可得出答案；
（2）①由是等腰直角三角形，，，可得，推出仍然成立；
②如图3，过点作于点，由旋转得：，进而得出，推出，再由，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案．
【详解】（1）如图1，当时，点在线段上，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
（2）①仍然成立
理由如下：
如图2，是等腰直角三角形，

，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
仍然成立．
②四边形是平行四边形．
理由如下：
如图3，过点作于点，

由旋转得：，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
由①知，，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）根据，，利用勾股定理求出，可得和，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，求出直线的表达式，设点，利用三角形面积公式，即可求出的面积最大时点P的坐标；
（3）分类讨论，一是当为平行四边形对角线时，二是当为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，，
∴，即，
解得：，
∴，
把代入中，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，过点P作y轴的平行线交于点H，
设直线的表达式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
，
∵，
∴的面积有最大值，最大值为 ，此时
把代入得，，
∴点P的坐标为；

（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
若为平行四边形的对角线，
如图，此时，此时P、Q关于直线对称，

∵点P的坐标为
∴；
如图，，此时P、Q关于直线对称，

∵点P的坐标为，
∴；
如图，，此时点Q的纵坐标等于点P的纵坐标的相反数，

∴点Q的纵坐标为，
把代入中，得：，
解得：或（舍），
∴点Q的坐标为；
如图，，此时点Q的纵坐标等于点P的纵坐标的相反数，

∴点Q的纵坐标为，
把代入中，得：，
解得：（舍）或，
∴点Q的坐标为；
综上：点Q的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．