2023年江苏省镇江市区中考二模数学试题（含解析）

2023年江苏省镇江市区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．﹣6的绝对值是______．

2．化简：______．

3．分解因式：a2-4a+4=___

4．当x_____时，根式实数范围内有意义．

5．幺米是公认的最小长度单位，1幺米米，24幺米用科学记数法表示为__________米

6．扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为__________度．

7．已知二元一次方程组，则代数式 _______

8．两个相似多边形的面积比是，则它们的周长比是_____________．

9．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的中位数是_______．

10．已知一次函数和二次函数的自变量和对应函数值如表：

当时，自变量x的取值范围是_____________

11．如图，已知， M、N分别是中点，若，则_____________

12．如图①，有一个圆柱形的玻璃杯，底面直径是，杯内装有一些溶液．如图②，将玻璃杯绕点倾斜，液面恰好到达容器顶端时，与水平线的夹角为．则图①中液面距离容器顶端______．

二、单选题

13．下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

14．下列调查适合抽样调查的是（    ）

A．企业招聘，对应聘人员进行面试 B．检测航天飞船的设备零件的质量情况

C．检测一批汽车轮胎的使用寿命 D．全国人口普查

15．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

16．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）

A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是

C．该函数有最大值，最大值是2 D．当时，y随x的增大而增大

17．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？ 如果设清酒斗，那么可列方程为（　　）

A． B． C． D．

18．如图，在菱形纸片中，，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点在上，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

19．（1）计算：；

（2）化简：

20．（1）解不等式：，并写出不等式的最小整数解；

（2）解方程

21．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．

(1)求证：；

(2)当满足 关系时，四边形是菱形．

22．公园有一个圆形广场，公园绿化部门准备在广场前半部种植一些绿化，先将前半部分成如下四个区域，其中两个区域分别种植红、黄两种颜色的郁金香，其余部分种植绿色灌木．

(1)求红色郁金香种植在A区域内的概率是 ．

(2)用树状图或表格分析所有可能的结果，并求出两种颜色的花种植在不相邻的区域内的概率．

23．在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：

(1)频数分布表中的________，________，________；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若该校九年级共有600名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数．

24．如图，由游客中心处修建通往百米观景长廊的两条栈道，若，则游客中心到观景长廊的距离的长约为多少米？（结果精确到，）．

25．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)求AD的长．

26．如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点B，与轴交于点C，与轴交于点D；

(1)如图1，当点A坐标为时，求直线的解析式和反比例函数关系式；

(2)将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点，同时落在函数上，

①求n的值；

②平移过程中扫过的面积是 ．

27．（1）【问题背景】

①如图1，在矩形中，，点是上一点，连接，若，则＝　　；

②如图2，在正方形，点E在边上，将沿翻折至，连接，求周长的最小值；

（2）【问题解决】

如图3，某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃，点M是该花圃的一个入口，沿和分别铺两条小路，且．管理员计划沿边上种植一条绿化带（宽度不计），为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带？若可以，求出满足要求的绿化带的最大长度（用含a的式子表示）；若不可以，请说明理由．

28．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．

(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号）

(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值；

(3)若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标．

参考答案：

1．6

【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

【详解】解：∵﹣6＜0，

∴|﹣6|=6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查求绝对值，熟记绝对值的定义是解题关键．

2．

【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．

3．（a-2）2．

【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．

【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2．

故答案为：（a-2）2．

4．/

【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，解关于x的不等式即可．

【详解】解：∵根式实数范围内有意义，

∴，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，准确计算．

5．

【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：∵1幺米米，

24幺米用科学记数法表示为米．

故答案为：．

【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．

6．90

【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．

【详解】解：设此扇形的圆心角为，

由题意得，，

解得，，

故答案为：90．

【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．

7．6

【分析】将两个方程相加，可得，等式两边同时除以2，可得代数式的值．

【详解】解：两个方程相减，得，即，

两边同时除以2，得．

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是将看作一个整体，可以使计算简便．

8．

【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比计算即可．

【详解】∵两个相似多边形的面积比是，

∴相似多边形的相似比为

∴它们的周长比是．

【点睛】本题考查了相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．

9．1.5/

【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．

【详解】解：∵一组数据1，2，x，4的众数是1，

∴x=1，

把这些数由小到大排列为：1，1，2，4，

则这组数据的中位数为1.5；

故答案为：1.5．

【点睛】本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．

10．或/或

【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，画出草图，从而得到当时，自变量x的取值范围．

【详解】解：∵当时，；

当时，；

∴直线与抛物线的交点为和，

画出草图如图所示，

当时，或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数（a、b、c是常数，）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．

11．/

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到答案．

【详解】解：连接、，

，是的中点，

，

，

是等腰直角三角形，

，

是的中点，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

12．

【分析】延长交于点，，则是平行四边形，则，根据题意可得，即可求解．

【详解】解：如图②所示，延长交于点，

∵如图②，将玻璃杯绕点倾斜，液面恰好到达容器顶端时，与水平线的夹角为．

∴

∴，

依题意，，则是平行四边形

∴，

∵，，

∴，

∴，

过点的中点作，则为原来液面，即为图①中液面距离容器顶端的距离，

∴，  

即，

故答案为：．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

13．D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

14．C

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．

【详解】解：A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，适合普查，故该选项符合题意．

B. 检测航天飞船的设备零件的质量情况，适合普查，故该选项符合题意．

C. 检测一批汽车轮胎的使用寿命调查具有破坏性，适合抽样调查，故该选项不符合题意；

D. 全国人口普查，适合普查，故该选项符合题意．

故选C．

【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．

15．A

【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．

【详解】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，

∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，

∵，

∴∠1＝∠3＝80°．

故选：A．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．

16．D

【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．

【详解】解：中，

A．的系数为1，，函数图象开口向上，A错误；

B．函数图象的顶点坐标是，B错误；

C．函数图象开口向上，有最小值为2，C错误；

D．函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确．

故选：．

【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．

17．A

【分析】设清洒有斗，则醑酒有斗，然后根据一共有30斗谷子列出方程即可．

【详解】解：设清洒有斗，

由题意得，，

故选：A．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

18．B

【分析】根据已知条件求得的半径为，进而求得，当与相切时，取得最大值，根据含度角的直角三角形的性质求得，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴的长为，

∴的半径为，

连接，则是等边三角形，，

∴

当与相切时，取得最大值，

设与相切于点，则

∵在菱形纸片中，，

∴，

∴

∴的最大值是，

故选：B．

【点睛】本题考查了菱形的性质，圆锥侧面积公式，切线的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．

19．（1）；（2）

【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题；

（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．

【详解】（1）  

=

=

（2）

=

=

=

【点睛】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂和特殊角三角函数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20．（1），；（2）

【分析】（1）根据不等式的性质，运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解；

（2）根据分式的性质，运用去分母，去括号，移项，合并同类项，检验根是否符合题意，即可求解．

【详解】解：（1）

去分母，

去括号，

移项，合并同类项，

系数化为，

∴最小整数解是；

（2）

去分母，

去括号，

移项，合并同类项，

检验：把代入得：，

∴原分式方程的解为．

【点睛】本题主要考查解不等式，解分式方程的综合，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法解方程是解题的关键，注意分式方程要检验根的情况是否保证原分式方程有意义．

21．(1)见解析

(2)相等

【分析】（1）根据即可证明；

（2）首先证明四边形是平行四边形，再结合即可解决问题．

【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵点F是的中点，

∴，

∴．

（2）解：结论：相等，

理由：∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

当时，

∴四边形是菱形．

故答案为：相等．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22．(1)

(2)画图见解析；

【分析】（1）利用概率公式求解即可；

（2）画出树状图可得共有12种等可能的结果，其中两种颜色的花种植在不相邻的区域内有2种等可能的结果，再利用概率公式计算即可．

【详解】（1）解：由题意可得，，

故答案为：；

（2）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两种颜色的花种植在不相邻的区域内有2种等可能的结果，

∴两种颜色的花种植在不相邻的区域内的概率为．

【点睛】本题考查概率公式、用列表法或树状图求概率，熟练掌握用列表法或树状图求概率的方法和概率公式是解题的关键．

23．(1)14，0.15，40

(2)见解析

(3)225名

【分析】（1）先根据运动时间在的频数除以频率求出总人数n，然后根据频数与频率的关系即可求出a、b；

（2）根据（1）中求出的数据即可解答；

（3）利用样本估计总体的思想解答．

【详解】（1）解：本次调查的总人数是（人），即；

∴，，

故答案为：14，0.15，40；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有（人），占频率，

以此估计全年级600人中，大概有（人）学生的平均每天体育运动时间不低于120 min．

【点睛】本题考查了条形统计图、频数与频率以及利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题关键．

24．64米

【分析】根据题意，在中，求出；在中，得到；从而由，列方程求解即可．

【详解】解：在中，，，即，

在中，，，

∵，

∴，解得（米），

答：游客中心到观景长廊的距离的长约为64米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键．

25．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；

（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD．

【详解】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴ADOC，

∵AD⊥DC，

∴CO⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，

∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，

∵OE＝6，

∴AC＝12，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

又∠DAC＝∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，即，

∴AD．

【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．

26．(1)；

(2)①；②10

【分析】（1）由点坐标与解析式的关系，将已知点坐标代入解析式，求得，进而确定直线解析式，反比例函数解析式；

（2）①过作轴，垂足为H，联立解析式求得，由平移知,设平移的距离为，则，求得直线与x轴交于，与y轴交于，所以是等腰直角三角形，,于是，，，代入反比例函数，得，解得，故

②令等腰斜边上的高为h,则，求得，可证四边形是平行四边形，于是，由，得，于是，得扫过的面积是．

【详解】（1）在上，

∴

把代入中得：

则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；

（2）①过作轴，垂足为H，

，解得

由平移知：,

设平移的距离为，则

∵轴，

∴

直线与x轴交于，与y轴交于

∴是等腰直角三角形，,

∵,

∴,

∴

∴

同理:，

代入反比例函数

得

解得

∴ ；

②令等腰斜边上的高为h,则

∴

由平移知,

∴四边形是平行四边形

∴

∵，

∴

∴

∴扫过的面积是．

【点睛】本题考查函数图象点坐标与解析式，图形的变化——平移，等腰直角三角形性质、三角形面积计算，平行四边形面积计算，理解平移后图形的构成，运用数形结合思想是解题的关键．

27．（1）①16；②；（2）可以，

【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可．

（2）连接，根据翻折，得到，，从而得到的周长，进而得到当点A、F、C三点共线时，最小，即的周长最小，即可求解．

（3）沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，从而得到当、、三条线段共线时，有最大值，进而求解．

【详解】解：（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

由勾股定理得，，

故答案为：16．

（2）连接，如图，

∵沿翻折至，

∴≌，

∴，，

∴的周长，

∵，

∴当点A、F、C三点共线时，最小，即的周长最小，此时，

∴，

∴，

∴的周长最小值为；     

（3）管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带．

如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，

∴，，，，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴当、、三条线段共线时，有最大值，此时，

故管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带，绿化带的最大长度为．

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，本题综合性强，属于常见的中考压轴题，熟练的掌握折叠的性质，勾股定理是解决本题的关键．

28．(1)③

(2)或或或

(3)

【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可；

（2）可求，，①当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；②当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；③当为等腰三角形的顶点时，，此时在的垂直平分线上，由进行求解即可．

（3）设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，

然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；由，进行求解即可．

【详解】（1）解：①，

，

故此函数不存在“平衡点”；

②当时，，

，

，

，

故此函数不存在“平衡点”；

③当时，，

，

，

整理得：，

，

此方程有两个不相等的实数根，

此函数存在“平衡点”；

④当时，，

，

，

整理得：，

此方程无实数根，

此函数不存在“平衡点”；

故答案：③．

（2）解：当时，，

，

，

解得：，（舍去） ，

，

，

同理可求：，

①如图，当为等腰三角形的顶点时，，

此时在以圆心，长为半径的圆周上，

，

解得：，，

当时，，

与重合，舍去

；

②如图，当为等腰三角形的顶点时，，

此时在以圆心，长为半径的圆周上，

，

解得：，；

③如图，当为等腰三角形的顶点时，，

此时在的垂直平分线上，

，

解得：；

综上所述：的值为、、、．

（3）解：设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：，

然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；

，

整理得：，

旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，

，

解得：，

．

【点睛】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键．