2023年北京市西城区北师大附属实验中学中考数学三模试题（含解析）

2023年北京市西城区北师大附属实验中学中考数学三模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为(    )A． B． C． D．2．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）A．2 B．4 C．6 D．83．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，表示实数c的点在原点右侧，且，下列结论中正确的是（    ）  A． B． C． D．4．如图，在正方形平分于点，若，则的长为（    ）A．2 B． C． D．15．如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（    ）  A． B．6 C．8 D．106．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ）A． B． C． D．7．如果，.那么代数式的值是（   ）A．-1 B．1 C．-3 D．38．如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．10．分解因式：__．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则__________ (填“＞”，“＜”或“＝”)．  12．如图，要测量楼高，在距为的点处坚立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，则楼高是__________．13．为反比例函数上的两个点，若，写出一个满足条件的的值__________．14．如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．15．分式方程的解是______．16．如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题17．18．解不等式组：19．已知，关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求的取值范围．20．如图，（非直径）为的两条弦，与交于点，请从①为直径；②为中点；③为中点；中选择两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．  21．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．(1)求证：四边形CDEF为菱形；(2)连接DF交EC于G，若DF＝2，CD，求AD的长．22．在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．(1)求a的值及函数的表达式；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD＝　 　°；（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在 上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．24．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根据以上信息，回答下列问题：(1)在这40名被调查者中，①指标y低于0.4的有 　　人；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则 　　，s12 　　s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；(2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 　　人；(3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 　　人．25．兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：  小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；  解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）26．已知关于的二次函数．（1）当抛物线过点（2，-3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点和，当时，总有，求m的取值范围．27．如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．(1)用等式表示与的数量关系，并证明；(2)连接，延长至，使．连接，，．①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．(1)已知的半径为，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；(2)已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．012451参考答案：1．B【分析】根据科学记数法的表示形式对数值进行表示即可．【详解】解：5500=5.5×103，故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题关键．2．C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C【点睛】此题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义是解答本题的关键．3．B【分析】结合条件可得大小关系为：，根据大小关系解题即可．【详解】解：由图可知，又∵，∴，∴，故选B【点睛】本题主要考查利用坐标轴表示数的大小，能够熟练通过数轴得到数之间的大小关系是解题关键．4．C【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质得出，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵正方形∴，，∵平分于点，∴，，∵，∴，∴，∴故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线的性质和勾股定理，解题关键是根据角平分线的性质得出线段相等，利用勾股定理求值．5．B【分析】连接，证明，得出，求出即可．【详解】解：连接，如图所示：  ∵切于，∴，，，∵在和中，∴，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形性质，解题的关键是求出．6．A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．7．B【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据，即可求得所求式子的值．【详解】解：，，，原式，故选B．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．8．C【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案．【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得：，与的关系为：正比例函数关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得：，，与的关系式为：反比例函数关系，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．9．【分析】根据分式的分母不等于零求解即可．【详解】解：∵代数式有意义，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解答的关键．10．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．11．＜【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．【详解】解：由题意，，，∴；故答案为：＜．【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．12．【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：依题意，四边形都是矩形，∴，，，∵∴,∵∴∴即解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．13．不唯一，【分析】根据点的坐标特点得出反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出．【详解】解：为反比例函数上的两个点，若，随的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限，即，的值可以为．故答案为：不唯一，．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．14．【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得，进而由邻补角性质解得，再由平行四边形对角相等性质，解得，最后由三角形内角和180°解题即可．【详解】四边形是的内接四边形，四边形是平行四边形，故答案为：【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得3x-9=2x，解得x=9．检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．∴原方程的解为：x=9．故答案为：x=9．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键．16．丙，丁，甲，乙【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．17．【分析】先用二次根式的性质、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后根据二次根式加减运用法则计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．18．【分析】分别解每个不等式，再求公共解集即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，故该不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是牢记不等式的性质，会解不等式以及求它们的公共解集．19．（1）见解析；（2）【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，解不等式求得的取值范围即可．【详解】（1）证明：，无论为何值，方程总有两个实数根；（2）∵，∴ ，∴ ，，方程有一个根是负数，，解得，．的取值范围为．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．20．见解析【分析】分三种情况分别进行推理论证即可．【详解】（1）知①，②推③：如图，连接，  为中点，，为中垂线，∵为直径，∴,所以为弧中点,（2）知①③推②：如图，连接， 为中点,,又,为的中垂线,为中点（3）知②③推①：如图，连接，  ∵为中点，∴,,∵为中点，∴，为中垂线,即为圆直径.【点睛】此题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．21．(1)见详解(2)【分析】（1）由三角形中位线定理可得EF=AB，EF∥AB，CF=BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得结论；（2）由菱形的性质可得DG=1，DF⊥CE，EG=GC，由勾股定理可得EG=GC=，可求AG=AE+EG=4，由勾股定理可求AD的长．【详解】（1）证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，∴EF=AB，EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵AB=BC=2CD，∴EF=CF=CD，∴四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，DF与EC交于点G，∵四边形CDEF为菱形，DF=2，∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，∴EG=GC=，∴AE=CE=2EG=，∴AG=AE+EG=4，∴AD=．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．22．(1)(2)【分析】（1）把点代入中，即可确定点，把点，代入中，利用待定系数法即可确定函数解析式；（2）根据题意得：，再由当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，得出不等式求解即可．【详解】（1）解：把点代入中，∴∴，把点，代入中，解得∴一次函数的表达式为；（2）根据题意得：，即，∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，∴，∴．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．23．(1)60；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM＝60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD＝60°．（2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切．（3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND＝90°，∠CFN＝60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值．【详解】解：(1)如图1，连接OD，AD∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴AB垂直平分CD∵M是OA的中点，∴OM＝OA＝OD∴cos∠DOM＝＝，∴∠DOM＝60°又：OA＝OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°故答案为60°(2)∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM＝MD．∵M是OA的中点，∴AM＝MO．又∵∠AMC＝∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM＝∠ODM．∴CA∥OD．∵DE⊥CA，∴∠E＝90°．∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．(3)如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC＝ND．∵∠CDF＝45°，∴∠NCD＝∠NDC＝45°．∴∠CND＝90°．∴∠CNF＝90°．由(1)可知∠AOD＝60°．∴∠ACD=∠AOD=30°．在Rt△CDE中，∠E＝90°，∠ECD＝30°，DE＝3，∴CD=，在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠CDN＝45°，CD＝6，∴CN=CD·sin45°=3．由(1)知∠CAD＝2∠OAD＝120°，∴∠CFD＝180°﹣∠CAD＝60°．在Rt△CNF中，∠CNF＝90°，∠CFN＝60°，CN=3，∴FN=．【点睛】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．24．(1)①9；②＜；＞(2)100(3)125【分析】（1）①直接统计指标y低于0．4的有人的个数即可；②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0．3的概率，然后500乘以该概率即可；（3）通过观察统计图确定不在“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．【详解】（1）解：①根据图象，可得指标y低于0．4的有9人．故答案为：9；②将20名患者的指标x的平均数记作 ，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则，S12＞S22．故答案为：＜，＞；（2）解：500100（人）．故答案为：100；（3）解：根据图象，可知“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”的有15人，而患者有20人，则发生漏判的概率是：1，发生漏判的有：500125（人），故答案为：125．【点睛】本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键25．(1)见解析(2)4；3(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答．【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，  ；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为，把，，，代入得，，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．26．（1），与y轴交点；（2）对称轴；（3）．【分析】(1)根据抛物线过点（2，-3），求得，即可得出抛物线的表达式；(2) 对进行变形，得到，即可求出二次函数的对称轴；(3)根据函数开口向上，当时，总有，可知，，即A点的函数值大于B点的函数值，根据距离对称轴远函数值大列出不等式求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得： ，∴抛物线的表达式为：，当时，，∴与轴的交点坐标为，（2）∵，∴，∴时，，故对称轴为，（3）由函数表达式可知函数开口向上，∵，∴，，∴，即【点睛】本题主要考查了二次函数,熟练掌握求解析式，交点坐标，正确读懂题意是解题的关键．27．(1)，理由见解析；(2)①如图；②结论：是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据，可知，，利用含角的直角三角形性质：角所对直角边等于斜边的一半，可得．（2）①根据题意补全图形即可；②延长至点使，连接，，根据可知，由，得是等边三角形，，， 根据，，可知，，得，，，由，得，由，可证明，可得，，，从而可证明是等边三角形．【详解】（1）解：线段与的数量关系：．证明： ，．，；（2）解：①补全图形，如图．②结论：是等边三角形．证明：延长至点使，连接，，如图．，．，是等边三角形．，．，，，．．．，  ，．，（），．．是等边三角形．【点睛】此题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．28．(1)(2)【分析】（1）如图，可得，解得此时，，解得，可求出范围；（2）由点在以为圆心为半径的上半圆上运动，推出以为圆心为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分两种情形分别求出的值即可判断．【详解】（1）解：∵的半径为，点的坐标为，∴点到的最近距离是，最远距离是，∵点与点是的一对平衡点，此时需要满足到的最大距离是，即，可得，同理：当到的最小距离为是时，，此时，综上所述，满足条件的的值为；  （2）∵点在以为圆心为半径的上半圆上运动，∴以为圆心为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意两点都是圆的平衡点需要满足，，如图1中，当时，作于，则，解得：或（舍去），如图2中，当时，同法可得，，综上所述，满足条件的的值为．  【点睛】本题属于圆综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、两圆的位置关系、点与圆的位置关系，勾股定理，二元二次方程组的应用等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．