2023年贵州省贵阳市某区中考三模数学试题（含解析）

2023年贵州省贵阳市某区中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．四个有理数2、1、0、﹣1，其中最小的是（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．2

2．如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（    ）

A．   B．   C．   D．  

3．化简的结果是（    ）

A． B．0 C．2 D．

4．若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角体系上的位置是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

5．如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．若数轴上点A、B分别表示数，，则A、B两点之间的距离可表示为（    ）

A． B． C． D．

7．地球上的太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋称为四大洋，总面积为36100万平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占，小明制作了扇形统计图来表示各部分面积所占的百分比，如图所示，在这个统计图中，扇形所代表的是（    ）

A．太平洋 B．大西洋 C．印度洋 D．北冰洋

8．如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

9．一组人平分枚硬币，每人分得若干，若再加上人，平分枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第二次分硬币的人数．设第二次分硬币的人数为人，则可列方程为（    ）

A． B． C． D．

10．长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，，射线在平面内．射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，已知平分，当与互余时旋转角等于（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

二、填空题

13．如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是______．

14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是_____．

15．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是________．

16．已知，为函数（为常数，，）图象上的两个点，为坐标原点，若，，则________．

三、解答题

17．（1）计算：；

（2）化简：．

18．北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生600人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的竞赛成绩，小明对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

(1)小明在统计竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表（如下图），请你帮他计算出成绩为95分的人数为________人；

(2)这组数据的中位数为________分；

(3)若成绩为85分及以上为优秀，根据以上信息估计，九年级学生中约有多少人成绩达到优秀．

19．山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．

(1)求与之间的函数关系式；

(2)求的值，并解释它的实际意义．

20．如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若正方形的周长是，当时，求证：四边形是正方形．

21．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低元．

(1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由；

(2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是否正确并指出应采取谁的意见．

22．小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东的方向上，求桥的长度（精确到米，参考数据：，，，）．

23．如图，为的直径，为上的点，是的中点，交的延长线于点．

(1)填空：________（选填“>”“=”或“<”）；

(2)判断与的位置关系，并说明理由；

(3)已知，，求点到的距离．

24．三个同学在研究一个二次函数（为常数且）的图象，小明说：抛物线的对称轴在轴左侧；小亮说：抛物线与轴的交点在正半轴上；小颖说：抛物线与轴没有交点．

(1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此二次函数的草图；

(2)抛物线上有两点，，请比较，的大小；

(3)已知此抛物线始终经过一个定点，请求出此定点的坐标．

25．在中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．

(1)如果，如图①，当点与点重合时，求证：；

(2)在（1）的条件下，当点在线段上，且不与点，重合时，如图②，小明想要求证，他发现过点作交于点，交于点后，就可以借助第（1）题的结论来解决此题，请你按照他的思路完成证明过程；

(3)如果，如图③，已知（为正数），当点在线段上，且不与点，重合时，请探究的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．

参考答案：

1．C

【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．

【详解】解：∵-1＜0＜1＜2，

最小的是-1．

故选C．

【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．

2．A

【分析】根据图形平移的性质：不改变形状与大小，逐项验证即可得到答案．

【详解】解：根据平移性质可知由图中所示的图案通过平移后得到的图案是A，

故选：A．

【点睛】本题考查图形平移，熟记图形平移性质是解决问题的关键．

3．A

【分析】根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可．

【详解】解：，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．

4．B

【分析】根据的坐标信息可得点在第二象限，从而可得答案．

【详解】解：一个点的坐标为，

则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置是点N，

故选：B．

【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键．

5．C

【分析】根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．

【详解】解：∵纸条的对边平行，即，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键．

6．D

【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．

【详解】解：A、B两点之间的距离可表示为：，

故选：D．

【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

7．A

【分析】根据太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占，结合扇形统计图中各部分面积所占的百分比，即可得到占比在一半左右，从而确定答案．

【详解】解：太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占，

太平洋占比近，

根据扇形统计图中各部分面积所占的百分比，即可得到占比在一半左右，

在这个统计图中，扇形所代表的是太平洋，

故选：A．

【点睛】本题考查扇形统计图，熟记扇形统计图各个扇形部分面积大小表示所占百分比大小是解决问题的关键．

8．B

【分析】根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．

【详解】解：由题意可得：，

∴四边形是菱形．

故选：B．

【点睛】此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．

9．C

【分析】设第二次分硬币的人数为人，根据第二次每人所得与第一次相同，列出分式方程即可求解．

【详解】解：设第二次分硬币的人数为人，根据题意得，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．

10．C

【分析】根据弧长公式进行计算便可．

【详解】解：点旋转的路径长为，

故选：C．

【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

11．A

【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．

12．D

【分析】分当在的外部时，当在的内部时，分别表示出与，根据与互余，建立方程，解方程即可求解．

【详解】解：当在的外部时，如图所示，

∴

∵与互余

∴，

解得：；

当在的内部时，如图所示，

∴

∴

解得：；

故选：D．

【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，余角的定义，一元一次方程的应用，分类讨论，数形结合是解题的关键．

13．

【分析】根据图形可知左边的物体质量比右边的物体质量大，从而可得答案.

【详解】由图可知，.

故答案为.

【点睛】本题考查了列不等式，仔细观察图形得出左边物体的质量比右边物体的质量大是解答本题的关键.

14．

【详解】解：根据题意可得，掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，所以朝上一面的点数为偶数的概率是．

故答案为：．

【点睛】本题考查概率公式．

15．28

【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解．

【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知，

∴

故答案为：28．

【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键．

16．

【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意可得在同一象限，且关于第一象限的角平分线对称，进而求得点的坐标，即可求解．

【详解】解：如图所示，过分别作轴的垂线，垂足分别为，

依题意，，为函数（为常数，，）图象上的两个点，，，

∴在同一象限，且关于第一象限的角平分线对称，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

17．（1）3；（2）

【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；

（2）根据整式加减运算法则进行计算即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算和整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算．

18．(1)2

(2)100

(3)480人

【分析】（1）根据样本容量得出答案；

（2）根据中位数定义，找出第15位和第16位的成绩，进而得出答案；

（3）用总人数×优秀人数所占比，得出答案．

【详解】（1）解：根据题意，95分的人数为：（人），

故答案为2．

（2）解：根据中位数定义，成绩第15位和第16位均为100分，中位数为100．

（3）解：（人）

所以，九年级学生中约有480人成绩达到优秀．

【点睛】本题考查了样本容量、中位数、用样本估计总体，掌握中位数的定义是解决问题的关键．

19．(1)

(2)，实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）将代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可.

【详解】（1）设与之间的函数关系式为，

将代入得，

∴与之间的函数关系式为；

（2）解：将代入，可得：，

实际意义：当面条的横截面积为时，面条长度为．

【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．

20．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）证明，，，从而可得结论；

（2）求解，可得，证明，可得是等腰直角三角形，，可得，从而可得答案．

【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，

∴．

∵，，

∴，．

∴四边形是矩形．

（2）∵正方形的周长是，

∴．

∵，

∴．

∵四边形是正方形，

∴．

∴是等腰直角三角形，．

∴．

∴矩形是正方形．

【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，矩形的判定与面积，等腰直角三角形的判定与性质，熟记基本图形的性质与判定是解本题的关键．

21．(1)不正确，理由见解析

(2)甲、乙两人的说法都正确，应采取销售经理甲的意见

【分析】（1）根据题意卖出600本得到销售价格，发现低于成本则不能获利，故不正确；

（2）据题意列出一元二次方程，解出结果后得出结论．

【详解】（1）解：小宇的说法不正确，

理由是：根据小宇的说法可列方程，

解得，

∵售价为，

∴此时亏本销售，与题意不符，

∴小宇的说法不正确．

（2）解：由题意得

解得，，

∴两人的说法都正确．

∵由于增加销售量可以减少库存，

∴应采取销售经理甲的意见．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．

22．米

【分析】过B作于E，过C作于F，根据三角函数求出、的长，四边形是矩形，所以，再在直角，利用三角函数求出的长，再根据即可求出的长．

【详解】解：过B作于E，过C作于F，

则四边形是矩形，

∴，，

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴（米），

答：桥BC的长度约为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．

23．(1)

(2)与相切，理由见解析

(3)4

【分析】（1）利用圆周角定理和相等的弧所对的圆心角相等即可求解；

（2）利用切线的判定即可求解；

（3）构造相似三角形，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识即可求解．

【详解】（1）＝

理由：连接，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

∴

（2）与相切，理由如下：

由（1）知，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵为半径，

∴为切线．

∴与相切．

（3）过点作于点，连接，

则．

∵为直径，

∴．

∴．

∵由（1）知，

∴．

∴．

∵，，，

∴，解得．

∵中，，，

∴．

∴点到的距离为4．

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆心角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题关键是构造相似三角形．

24．(1)见解析

(2)

(3)该定点的坐标为

【分析】（1）根据题意画出草图即可；

（2）根据题意得出对称轴，再由二次函数的性质求解即可；

（3）将函数解析式化简，得出当时，抛物线始终经过一个定点，求解即可．

【详解】（1）解：所画草图如下：（答案不唯一）

（2）解：在这里，，，，

由题知，即，

∵抛物线的对称轴为直线，

又∵，抛物线开口向上，

∴当时，随增大而减小．

∵已知点，中，，

∴．

（3）解：由得，

∵抛物线始终经过一个定点，即与的变化无关，

∴当时，抛物线始终经过一个定点．

解方程得．

把代入得，

∴该定点的坐标为．

【点睛】题目主要考查二次函数的图象和性质，理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

25．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)，见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定可证得结论；

（2）根据（1）中结论和平行线的性质，结合三角形的内角和定理和已知证得，，然后根据等腰三角形的三线合一证得即可；

（3）过点作交于点，交于点，则可证得，再证明 得到，然后证明得到，进而可得结论．

【详解】（1）证明：∵，，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

（2）证明：∵，，，

∴，，

∴由（1）可证，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴，即．

（3）解：探究得，

证明：过点作交于点，交于点，

∵，

∴,

∴，又，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵，∴．

∴

又∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用类比方法解决问题是解答的关键．