2023年山西省阳泉市中考一模数学试题（含解析）

2023年山西省阳泉市中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-8的倒数是（　　）

A．-8 B．8 C．- D．

2．剪纸在民间流传极广，历史也很悠久，作为中国传统民间艺术的一种，在民俗活动中占有重要位置．下列四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．年月份，受足球世界杯赛事拉动，体育彩票机构销售亿元，同比增加亿元，增长数据亿用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

4．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得编写了《几何原本》．他在编写这本书时挑选一部分数学名词和公认的真命题（即公理）作为证实其他命题的出发点和依据，除公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断，在此基础上，逐渐形成了一种重要的数学思想，这种思想是（    ）

A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．转化思想

5．已知点在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（    ）

A． B．

C． D．

6．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

7．如图是徐同学的答卷，他的得分应是（　　）

A．分 B．分 C．分 D．分

8．结合“清廉山西”建设总体要求，某校进行以“清廉润心田，清风满校园”为主题的演讲比赛，最终有五名同学进入决赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序，在盒中放有五个看上去完全一样的纸团，纸团里面分别写着表示出场顺序的数字，，，，把纸团充分搅拌后，参加演讲比赛的小辉先抽，则小辉抽到数字的概率是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算_________．

12．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值，杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，“标杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，比如：小刚用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小刚想使动力臂为，则动力至少需要______ ．

13．为参加校运会，小杰同学进行立定跳远训练，其中次的成绩如下（单位：）：，，，，，这次成绩的中位数是______ ．

14．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件．设该分派站有名快递员，则可列方程为______ ．

15．如图，在菱形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是______ ．

三、解答题

16．计算

(1)计算：

(2)因式分解：

17．如图，在中，，分别是，的中点．

(1)实践与操作：利用尺规作，点在点的左侧，延长交于点；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母

(2)猜想与证明：在（1）中所作图的基础上，猜想四边形的形状，并加以证明．

18．为促进定点扶贫县扶贫产业健康发展，帮助贫困群众持续增收稳定脱贫，我校教职工积极在某平台上购买定点帮扶地区农副产品，某教师用260元购买的有机核桃与用156元购买的普通核桃的重量相同．已知每千克有机核桃的售价比普通核桃多8元．问每千克有机核桃的售价是多少元？

19．年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图；

(2)估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数；

(3)若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．

20．阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务．

任务：

(1)判断：方程 ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；

(2)已知关于的一元二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．

21．图是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图，已知，当，时，用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘处离桌面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

22．综合与实践：如图1，在中，，．

(1) 为射线上一动点，连接，以为边且在的左侧作正方形；

①如图2，当点在线段上时（不与点，重合），线段，之间的位置关系为______ ，数量关系为______ ；

②如图3，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；

(2)如图4，是外一点，连接，，，交于点，若，求证：．

23．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），设点的横坐标为，的面积为．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式；

(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(-)=1，即可解答．

【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1，

因此-8的倒数是-．

故选：C．

【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．B

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

B选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．A

【分析】把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．

【详解】解：数据亿用科学记数法表示为．

故选：A．

【点睛】本题考查科学记数法－表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．

4．A

【分析】根据各种数学思想的特点确定选项即可．

【详解】A、公理化思想是指以某些命题为前提，只用它们，不用其他假设进行推理而建立数学理论的思想．故选项符合题意．

B、数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的．故选项不符合题意．

C、把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．故选项不符合题意．

D、转化思想是将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归．故选项不符合题意．

故选A．

【点睛】本题考查了公理化思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想的定义，了解掌握这些思想方法的含义是解题关键．

5．C

【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．

【详解】解：∵点在第四象限，

∴，

解得，

解集在数轴上的表示为：

故选：C．

【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．

6．A

【分析】给图中各角标上序号，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合邻补角互补，可得出的度数，再利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出的度数．

【详解】给图中各角标上序号，如图所示．

，

，

．

又直尺的对边平行，

．

故选：A．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质以及邻补角，利用三角形的外角性质及邻补角互补，求出的度数是解题的关键．

7．C

【分析】根据分式有意义的条件，分式的化简，逐一判断即可解答．

【详解】解：若有意义，

则，

即，

故正确，徐同学回答正确；

若的值为，

则，

即，

故错误，徐同学回答错误；

，

故正确，徐同学回答正确；

，

故正确，徐同学回答正确；

那么最后得分为：分，

故选：C．

【点睛】本题考查分式的运算及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

8．D

【分析】直接根据概率公式求解即可．

【详解】解：，，，，五个数字中有一个，

小辉抽到数字的概率是．

故选：D．

【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件A的概率．

9．B

【分析】连接，由切线的性质定理，得到半径，又，因此，得到，由，得到，故，由，求出的度数，即可求出的度数．

【详解】解：连接，

，

直线与相切于点，

半径，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由以上知识点证明．

10．C

【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可．

【详解】解：如图，连接，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．

11．6

【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．

【详解】解：．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．

12．

【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出阻力关于阻力臂的函数关系，再根据动力动力臂=阻力阻力臂，即可得到动力与动臂的关系，再将代入，求出的值即可．

【详解】解：设，

点在该函数图象上，

，

解得，

即，

，

动力动力臂阻力阻力臂，

，

当为时，，

解得，

动力至少需要，

故答案为：．

【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

13．

【分析】根据中位数的定义求解即可．

【详解】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，

这组数据的中位数为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了中位数的知识，掌握中位数的定义是关键，中位数是把一组数据按照大小排序（一般为从小到大的顺序）后，居于这组数据的“中间”位置的数，当数据为偶数个时，中位数为中间两个数的平均数．

14．

【分析】根据“若每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件”，即可得出关于的一元一次方程，求出答案．

【详解】解：根据题意得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．

15．

【分析】取的中点，连接，则，可知当时，的值最小，当时，连接，，由菱形的性质得，，，则和都是等边三角形，所以，则，根据勾股定理得，再证明∽，得，可求得，于是得到问题的答案．

【详解】解：取的中点，连接，

为的中点，

∴，

点在经过点与平行的直线上运动，

当时，的值最小，

如图，，连接，，则，

四边形是菱形，

，，，

和都是等边三角形，

为的中点，为的中点，

，，

，

，

，

，，，

，

，

∽，

，

，

的最小值是，

故答案为：．

【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、垂线段最短、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

16．（1）10；（2）

【分析】（1）根据实数的运算法则，计算即可；

（2）先提公因式，然后再用平方差公式分解即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算和因式分解，掌握运算法则是关键．

17．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，作出图即可得到答案；

（2）根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理进行证明即可得到答案．

【详解】（1）解：如图，为所作；

  ，

以为圆心，适当长为半径作弧交于，以点为圆心，以同样的长为半径画弧交于，以为圆心为半径，与后画的弧交于点，作射线，延长交于；

（2）解：四边形为平行四边形，

理由如下：

，分别是，的中点，

为的中位线，

，

，

四边形为平行四边形．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，尺规作图—复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定，三角形中位线的性质，以及简单作图的相关性质，是解题的关键．

18．20元

【分析】设每千克有机核桃的售价是元，则每千克普通核桃的售价是元，根据“教师用260元购买的有机核桃与用156元购买的普通核桃的重量相同”，列出方程，解方程即可得到答案．

【详解】解：设每千克有机核桃的售价是元，则每千克普通核桃的售价是元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是所列方程的解，且符合题意，

答：每千克有机核桃的售价是20元．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意，正确列出分式方程，是解题的关键．

19．(1)100；见解析

(2)900名

(3)树状图见解析 ；

【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可；

（2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解；

（3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】（1）解：抽取的总人数为（人），

所以喜欢小品的人数为（人），

补全条形图如图所示：

故答案为：100；

（2）解：估计喜欢小品节目类型的人数为人；

（3）解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，

所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率．

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率．

20．(1)是

(2)或

【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；

（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“邻根方程”的定义得到或，然后解关于的方程即可．

【详解】（1）解方程得，，

比大，

方程是“邻根方程”；

（2），

，

或，

，，

方程是常数是“邻根方程”，

或，

或．

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

21．

【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，在中，求出的长度，在中，求出的度数，从而求出的长度，最后由顶部边缘处离桌面的高度为：，进行计算即可得到答案．

【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

，

在中，，，

，

在中，，

，

，

，

顶部边缘处离桌面的高度为：

，

答：顶部边缘处离桌面的高度约为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

22．(1)①，；②①中结论仍然成立，理由见解析

(2)见解析

【分析】（1）①由“”可证，可得，，可得；

②由“”可证，可得，，可得；

（2）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解．

【详解】（1）解：①，，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

，，

，

，

故答案为：，；

②解：①中结论仍然成立，理由如下：

，，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

，，

，

；

（2）证明：，，

，

，

点，点，点，点四点共圆，

，

．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)存在；或

【分析】（1）利用待定系数法将坐标代入解析式即可；

（2）过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论；

（3）分两种情况讨论解答：当点在上方时，利用平行线的判定与性质可得点，的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；当点在下方时，设交轴于点，设，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得值，则点坐标可求；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点坐标．

【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、两点，

，

，

二次函数的表达式为数；

（2）解：过点作轴于点，如图，

则，

令，则，

，

，

，

，

点的横坐标为，

，

点在第二象限内，

，，

，

，

，

关于的函数表达式为：；

（3）解：①当点在上方时，如图，

，

，

点，的纵坐标相等，

点的纵坐标为，

令，则，

解得：或，

；

当点在下方时，如图，

设交轴于点，

，

，

设，

，

在中，

，

，

解得：，

，

，

设直线的解析式为，

，

解得：，

直线的解析式为，

联立，

解得：，，

，

综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，梯形，三角形的面积，平行线的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．