初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理精品当堂检测题

2023年浙教版数学八年级上册

《2.3 等腰三角形的性质定理》课时精品练习

一              、选择题

1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(    )

A.40°                      B.50°                      C.60°                        D.70°

2.已知等腰三角形的两边长分别为7和5，则它的周长是(　　)

A.12        B.17        C.19        D.17或19

3.如图，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于(   )

A.110°                        B.120°                      C.130°                           D.140°

4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(　　)

A.20°         B.35°         C.40°         D.70°

5.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为(　　)

A.2 cm         B.4 cm        C.6 cm          D.8 cm

6.下列语句中，正确的是(　　)

A.等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线             

B.等腰三角形的对称轴是底边上的高             

C.一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形             

D.等腰三角形的对称轴就是顶角平分线

7.如果等腰三角形的一个底角为α，那么(      )

A.α不大于45°                  B.0°＜α＜90°    C.α不大于90° D.45°＜α＜90°

8.如图，D为BC上一点，且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2关系是(  )

A.∠1＝2∠2    B.∠1＋∠2＝180°  C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1﹣∠2＝180°

二              、填空题

9.一等腰三角形，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是       .

10.若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是　　       .

11.如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm.

12.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为     .

13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　   .

14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝　　   .

三              、解答题

15.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA延长线上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.

16.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，求△ABD的周长.

17.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数.

18.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.

19.数学课上，张老师举了下面的例题：

例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数.(答案：35°)

例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数.(答案：40°或70°或100°)

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数.

(1)请你解答以上的变式题；

(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.

20.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.

(1)如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；

(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.

参考答案

1.D

2.D.

3.A.

4.B.

5.A.

6.C.

7.B

8.D.

9.答案为：23cm或19cm

10.答案为：11或13.

11.答案是：8.

12.答案为：80°或50°；

13.答案为：360.

14.答案为：36°.

15.解：EF⊥BC，理由为：

证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AE＝AF，

∴∠E＝∠EFA，

∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA，

∴∠EFA＝∠BAD，

∴EF∥AD，

∵AD⊥BC，

∴EF⊥BC，

则EF与BC的位置关系是垂直.

16.解：由图形和题意可知：AD＝DC，AE＝CE＝4cm，

则AB＋BC＝30﹣8＝22(cm)，

故△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋CD＋BC﹣CD＝AB＋BC，

即可求出周长为22cm.

17.解：∵AB＝AC，DA＝DB，

∴∠B＝∠C＝∠BAD，

∵CA＝CD，

∴∠CDA＝∠CAD，

又∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B＝2∠C，

∴∠CAD＝2∠C，

在△ACD中，∠C＋∠CDA＋∠CAD＝180°，

∴2∠C＋2∠C＋∠C＝180°，

∴∠C＝36°，

∴∠BAD＝36°，∠CAD＝2∠C＝72°，

∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝36°＋72°＝108°.

18.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，

∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°，

∵∠CDB是△ACD的外角，

∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°，

∵DC＝DB，

∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.

19.解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.

故∠B＝50°或20°或80°.

(2)分两种情况：

①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，

∴∠B的度数只有一个；

②当0＜x＜90时，

若∠A为顶角，则∠B＝()°；

若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；

若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.

当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，

即x≠60时，∠B有三个不同的度数.

综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数.

20.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，

∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，

∵∠C＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°.

(2)∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF＝45°，

设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD， AE＝DE，

∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，

分类如下：

①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x＝4x，解得：x＝22.5°.

此时∠B＝2x＝45°；

见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.

②当BD＝BE时，则∠B＝(180°﹣4x)°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B得：45°＋22.5°＋x＝2x＋180°﹣4x，

解得x＝37.5°，此时∠B＝(180﹣4x)°＝30°.

图形(2)说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°.

③DE＝BE时，则∠B＝()°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x＝2x＋，此方程无解.

∴DE＝BE不成立.

综上所述∠B＝45°或30°.