2023年广东省深圳市宝安区海湾中学三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省深圳市宝安区海湾中学三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳市宝安区海湾中学三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A．－2022 B．2022 C． D．
2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体
3．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注． 已知火星赤道半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（    ）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
4．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　　）.

A．1984前南斯拉夫 B．1988加拿大 C．2006意大利 D．2022中国
5．数据0，1，1，4，3，3的中位数是（    ）
A．2.5 B．2 C．3 D．4
6．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，下面列出的方程组正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．下列命题错误的是（    ）
A．对角线相等的菱形是正方形 B．位似图形一定是相似图形
C．等弧所对的圆周角相等 D．反比例函数，y随着x的增大而减小
9．如图所示，按以下操作方式：1．以线段为边作正方形；2．取的中点E，连接；3．以E点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F；4．再以A点为圆心为半径画弧，交边于点G；则线段的值为（    ）

A． B． C． D．
10．如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ）

A． B． C．6 D．12

二、填空题
11．分解因式a3-4a的结果是 ______________．
12．疫情期间，进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，某校有3个测温通道，分别记为A，B，C通道．学生可随机选取其中的一个通道测温进校园，某日早晨，小王恰好选择A通道测温进校园的概率是__________．
13．若点与点关于y轴对称，则__________．
14．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．

15．在和中，，点D在上，且，若，则的值为__________．
  

三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．并保留画图痕迹（不要求写画法和理由）．
  
(1)将绕点A按顺时针方向旋转，点B的对应点为，点C的对应点为，画出；（请仅直尺画图）
(2)连接，的面积为__________；
(3)在线段上找一点D．连接，使得的面积是面积的．（请用直尺和圆规画图）
18．深圳市教育局印发的《深圳市义务教育阶段学校课后服务实施意见》明确中小学课后延时服务从2021年3月5日开始实施．某校积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验、经典影视欣赏、虚拟机器人竞赛、趣味篮球训练、国际象棋大赛……”等课程供学生自由选择，一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：请你根据图中信息，解答下列问题：
  
(1)该校抽样调查的学生人数为__________人，请补全条形统计图；
(2)扇形A的圆心角是__________度；样本中，“众数”所在等级为__________；（填“A、B、C或D”）
(3)若该校共有学生2100人，据此调查估计全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有__________人．
19．如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．

(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．
20．去年的冬奥会点燃了青少年的“冰雪热”，推动了冰雪产业经济．某体育运动器材商店的滑雪护目镜和滑雪头盔成了热销商品．已知滑雪头盔比滑雪护目镜的进价每个高元，商店用元购进的滑雪头盔与用元购进的滑雪护目镜数量一样多．
(1)求滑雪护目镜和滑雪头盔的进价；
(2)该商店计划购进滑雪护目镜和滑雪头盔共个，且滑雪护目镜的数量不少于滑雪头盔的3倍，购进后，滑雪护目镜、滑雪头盔均按高于进价定价．假设该商店购进的这两种商品最后均能按定价售出，请你求出该商店能获得最大利润的进货方案．
21．根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
  
素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度（度）
90
75
60
45
30
15
参考数据：，．

素材3
小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1
确定影子长度
某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2
判断是否照射到
这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3
探究合理范围
小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
22．类比探究
【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．
  
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
__________
②若，，，则__________．
【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．
①如图3，写出和的数量关系__________；
②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长．
  
【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．
  

参考答案：
1．A
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数求解即可．
【详解】解：的倒数是．
故选A．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握倒数定义是解题关键．
2．A
【详解】A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；
D、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意．
故选A．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
【详解】解：用科学记数法可将表示为．
故选：B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据中位数的定义结合选项选出正确答案即可．
【详解】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：0，1，1，3，3，4
故中位数为：；
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义：中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．D
【分析】根据合并同类项的运算法则判断A，根据完全平方公式判断B，根据幂的乘方运算法则判断C，根据平方差公式判断D．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；    
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；    
D. ，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，掌握幂的乘方运算法则和乘法公式是解题关键．
7．B
【分析】设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题目中的等量关系：①荷包的个数+五彩绳的个数＝20；②买荷包的钱数+买五彩绳的钱数＝72，列出方程组即可．
【详解】设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，
得方程组．
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
8．D
【分析】根据菱形的性质和正方形的判定方法判断A，根据位似图形的性质判断B，根据圆周角定理判定C，根据反比例的性质判断D．
【详解】解：A. 菱形的对角线互相垂直平分，所以对角线相等的菱形是正方形，原命题正确，故此选项不符合题意；
B. 位似图形一定是相似图形，原命题正确，故此选项不符合题意；
C. 等弧所对的圆周角相等，原命题正确，故此选项不符合题意；
D. 反比例函数中，在每一象限内，y随着x的增大而增大，原命题错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定，位似图形的性质，反比例函数的性质，圆周角定理，掌握相关的性质定理正确推理判断是解题关键．
9．C
【分析】令正方形的边长为，则根据勾股定理求得，推得，即可求得．
【详解】解：令正方形的边长为，则，
由题可知，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
即，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等，根据题意得到，是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．
【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，
∴AB=1×6=6，
∵，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，
∴a对应动点Q和点C重合，如图：
∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点C作，交于点E ，

∴，
∴，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．
11．a（a+2）（a-2）
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案为：a（a+2）（a-2）．
【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】小王恰好选择A通道测温进校园的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13．3
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
15．
【分析】过点A作，垂足为M，先通过三角函数的值求出，，通过勾股定理求得，再通过求得，再根据，求得，再证明，通过求得答案．
【详解】解：如下图所示，过点A作，垂足为M，
  
∵，，
∴
∴，
∴，,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴,
∵，
∴,
，
∵，，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形和三角函数，解题的关键是根据三角函数的值，结合相似三角形的相似比，推算出和的等量关系．
16．，
【分析】先通分计算小括号里面的加法，然后再算除法，最后代入求值．
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)见解析

【分析】（1）利用旋转变换的性质作图；
（2）是等腰直角三角形，求出，可得结论；
（3）取格点E，连接，交于点D，点D即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
  
（2）解：如图，
  
由旋转性质可得，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图，取格点E，连接，交于点D，点D即为所求：
  
【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．(1)50，见解析
(2)144；A
(3)1890

【分析】（1）用A类人数除以其对应的百分比求得此次抽样调查的总人数，然后求得C类人数，从而补全条形统计图；
（2）用360°乘以A类人数所对应的百分比，求得其圆心角度数，根据众数的概念分析判断其所在的等级；
（3）利用部分估计总体的思想分析计算．
【详解】（1）解：该校抽样调查的学生人数为（人），
C类人数为（人），
补全条形统计图如下：
  
（2）解：扇形A的圆心角是，
A类人数最多，样本中，“众数”所在等级为A，
故答案为：144，A；
（3）解：（人）
答：全校学生对延时服务满意（包含A、B、C三个等级）的学生有1890人，
故答案为：1890．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，正确识图，准确计算是解题关键．
19．(1)见解析
(2)12

【分析】（1）根据AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠EBC=∠ECM，然后由BC为直径，可得∠EMC+∠ECM=90°，从而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可求证；
（2）根据tan∠ACB＝，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，
∵点E为弧CF的中点，
∴∠EBC=∠ECM，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EMC+∠ECM=90°，
∴∠ABM+∠ECM=90°，
∴∠ABM+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵，
可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，
∴AC=13x，
∴CM=AC-AM=8x，
∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°，
∴△CEM∽△BEC，
∴，
∵BM＝10．
∴，
∴，，
∴，
∴EC=12．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
20．(1)滑雪护目镜的进价每个元，则滑雪头盔每个元
(2)滑雪护目镜个，滑雪头盔个

【分析】（1）设滑雪护目镜的进价为每个x元，则滑雪头盔的进价是每个元，根据“商店用元购进的滑雪头盔与用元购进的滑雪护目镜数量一样多”列分式方程求解；
（2）设店家计划购进滑雪护目镜m个，滑雪头盔个，根据单个利润×数量＝总利润列出函数关系式，然后结合m的取值范围及一次函数的增减性分析求其最值，从而求解．
【详解】（1）解：设滑雪护目镜的进价为每个x元，则滑雪头盔的进价是每个元，
由题意可得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，
（元）
答：滑雪护目镜的进价每个元，则滑雪头盔每个元；
（2）解：设店家计划购进滑雪护目镜m个，滑雪头盔个，
获得的利润w元，则依题意得：
，
且m应该满足条件：
解得，
因为，所以w随m的增大而减小，
故当时，获得的利润最大，且最大利润为元，
故该商店应该购进滑雪护目镜个，滑雪头盔个．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式．
21．任务1：米；任务2：会被照射到；任务3：
【分析】（1）先过点E作于点I，过点G作于点J，再求出，从而得出。可证，最后利用三角函数即可得出的长度
（2）过点Q作交于点P，因为14点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可
（3）过点Q作交于点P，14：00－15：00时，在45°到60°之间，通过三角函数分别求出两种极端情况下的长度，即为的取值范围
【详解】解（1）如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．
    
（2）方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．
  
方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
（3）当时，．
当时，．
∴．
【点睛】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键
22．【问题背景】①，②；【迁移应用】①，②3；【创新应用】
【问题背景】①根据相似三角形的性质可得，根据相似三角形的判定即可证明；
②利用相似三角形的性质求解；
【迁移应用】①根据正切的定义求得，即可得结论；
②连接，根据相似三角形的性质和判定，求出，根据三角形的中位线定理即可求得；
【创新应用】过点A作于点K，过点C作于点J，连接,
根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得，，通过，即可可得结论．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
①如图3中，在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
②如图4中，连接．
  

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接．
  
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切的定义，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质等，添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键．