2023年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  算术平方根为的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列保险公司的徽标中，不是轴对称图形而是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到亿人．数据“亿”用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时，是女性；当染色体为时，是男性如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上已知直角三角纸板中，，测得眼睛离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点若格点、在函数的图象上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃个或沙包个现有米布料，完成后打算将个娃娃和个沙包配成一套礼物布料没有剩余，礼物也恰好成套设做娃娃用了米布，做沙包用了米布，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  矩形的对角线，于点，则当最大时，的长度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  已知甲、乙两支篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，则身高比较整齐的篮球队是______ 填“甲”或“乙”

13.  已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______ ．

14.  如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点，则______．

15.  如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差制成如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

李老师一共调查了多少名同学？
请将如图条形统计图补充完整；
为了共同进步，李老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
以原点为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的倍后的．
画出绕点顺时针旋转后得到的．
直接写出点所经过的路径长．

19.  本小题分
六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．
求第一次每件的进价为多少元？
若两次购进的玩具售价相同，且全部售完后利润不低于元，则售价至少定为多少元？

20.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是切线；
若直径，，求的长．

21.  本小题分
如图，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为单位：如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为单位：若当，时，解答下列问题．

求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程．
下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标为______．
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______ 三角形 ______ ．
迁移探究：
如图，若，且，求正方形的边长．
拓展应用：
如图，若，直接写出的值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根为，
故选：．
利用算术平方根的定义即可求解．
本题考查算术平方根的定义，解题的关键是熟悉算术平方根的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形而是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了科学记数法，一般形式为，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【解答】
解：亿．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，负整数指数幂的意义，幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，负整数指数幂的意义，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，，交于点，

四边形是菱形，
，，，
，的坐标分别是，，
，
．
故选：．
连接，，交于点，根据菱形的性质可知点的坐标为，根据的坐标确定的坐标即可．
本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

6.【答案】 

【解析】解：由遗传图谱可知：共有种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有种，
该小孩为女孩的概率为，
故选：．
由图可知，共有种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：在和中，
，，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
即树高，
故选：．
先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出和相似是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，
点、在函数的图象上，
，
解得：，
点的坐标为，
，
故选：．
根据图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，再根据点、在函数的图象上，列出关于的方程，解方程得出的值，最后求出的值即可．
本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是求出点或点的坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“每米布可做娃娃个或沙包个．现有米布料，完成后打算将个娃娃和个沙包配成一套礼物”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设与的交点为点，由题意可知，点在以为直径的上，如下图，

当是的切线是时，最大，
当最大时，，
，
，
．
故选：．
设与的交点为点，因，所以点运动的轨迹是以为直径的圆，不妨设该圆为，不难知道，当时，即为的切线长时，最大，利用勾股定理求得此时便可．
本题考查了矩形的性质，切线性质，圆的基本性质，关键在于确定点的运动轨迹．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：甲、乙两支篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，
乙篮球队的方差小于甲队，
身高比较整齐的篮球队是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：把代入方程中得：
，
，




，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，，
将绕点逆时针方向旋转得到，
≌，，
，，
．
先在含锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到，，即可解答．
本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：过作垂直于点，过作交于点，

在中，，
，
又，
，
在等腰直角三角形中，，
，
在中，，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
即，
，
，
又，
∽，
又，
，
又，
，
，
故答案为：．
过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用∽，求出的长，得出的长，最后利用∽，求出的长，最后得出答案．
本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
 

16.【答案】解：．


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：根据题意得：
名，
答：李老师一共调查了名同学；
类女生：名，
类男生有人，
如图所示：

根据题意画图如下：

由树状图可得共有种可能的结果，其中恰好一名男同学和一名女同学的结果有中，所以恰好是一名男同学和一名女同学的概率是． 

【解析】利用类学生总数除以类学生所占百分比可得调查学生总数；
用调查的学生总数乘以类所占的百分比，再减去类的男生数，从而求出类的女生数；用调查的学生总数减去、、类的学生数和类的女生数，从而求出类的男生数，即可补全统计图；
根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
本题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．

，
点所经过的路径长为：． 

【解析】把点、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、，的对应点、、即可得到   ；
利用弧长公式求解即可．
本题考查了作图位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：设第一次每件的进价为元，则第二次进价为 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为元；
设两次的售价为元，
，
，
答：两次的售价至少为元． 

【解析】设第一次每件的进价为元，则第二次进价为 ，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
根据总利润总售价总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，舍去，
喷出水的最大射程为；
对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
，
点的纵坐标为，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
 

22.【答案】等边    

【解析】解：四边形是正方形，
，，
根据折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
，
点为的中点，，
点为的中点，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
又，
，
，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：等边，
由可知，≌，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质可得，，利用平行线的性质得，进而得，，再利用直角三角形中线的性质可得，即可证明为等边三角形，根据可得，再由，，可得，证明≌，可得；
由可知，≌，可得，证明∽，可得，从而求得，，再利用勾股定理求得的长，再算出的长，即可求出正方形的边长；
设，根据题意可得，，，设，则，根据，可得，再代入计算解出即可求解．
本题考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用所学知识是解题的关键．