天津市求真高级中学 2022-2023学年高一下学期期末数学试题

求真中学2022-2023学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷

一、选择（共10题  每题4分）

1. 下列说法中正确的是（    ）

A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱柱的各条棱都相等

C. 所有几何体的表面都能展成平面图形 D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱

【答案】D

【解析】

【分析】从棱柱的定义出发判断ABD的正误，找出反例否定C，即可推出结果．

【详解】棱柱的侧面都是四边形，A不正确；

棱柱的各条侧棱相等，所以B不正确；

球不能展开为平面图形，C不正确；

正方体和长方体都是特殊的四棱柱，D正确；

故选：D．

2. 若为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对分母进行实数化，利用复数四则运算法则即可求解.

【详解】.

故选：B.

3. 下列命题正确的是

A. 经过三点确定一个平面

B. 经过一条条直线和一个点确定一个平面

C. 梯形确定一个平面

D. 四边形确定一个平面

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：在A中，过共线的三点不能确定一个平面；在B中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在C中，梯形确定一个平面；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面．

解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；

在B中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；

在C中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C正确；

在D中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．

故选C．

考点：平面的基本性质及推论．

4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（    ）

A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没中靶

【答案】D

【解析】

【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.

【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，

“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；

对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；

对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；

对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.

故选：D.

5. 已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.

【详解】解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，

所以圆柱表面积.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.

6. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．

考点：概率问题

7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确.

8. 掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为，设事件＝“为3”，＝“为4”，＝“为奇数”，则下列结论正确的是(　　)

A. 与为互斥事件 B. 与为对立事件

C. 与为对立事件 D. 与为互斥事件

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义作出判定.

【详解】依题意可知:事件与不可能同时发生，互斥，但不是对立事件；

显然与可以同时发生，不是互斥事件，更不是对立事件.

9. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的几何意义得出答案.

【详解】复数对应的点坐标为，位于第二象限

故选：B

10. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是（    ）

A.  B. 12 C. 10 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】由斜二测画法的法则结合勾股定理得出.

【详解】因为，所以

因为，所以

即

故选：C

二、填空（共5题每题4分）

11. 若为虚数单位，已知复数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的模的概念即可计算.

详解】∵，所以.

故答案为：.

12. 若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为，则该正方体的体积为________．

【答案】

【解析】

【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的体对角线即为其外接球的直接，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可求得，再根据正方体的体积公式即可得解.

【详解】解：正方体的棱长为，

则且外接球的半径，

所以该球的表面积为，解得，

所以该正方体的体积为.

故答案为：.

13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲射击击中靶子的概率为，乙射击击中靶子概率为，则"恰好有一人击中靶子"的概率为__________；"至少有一个人击中靶子”"的概率为__________.

【答案】    ①. 0.44##    ②. 0.92##

【解析】

【分析】根据事件的互斥和相互独立即可求解.

【详解】设事件A为“甲中靶”，事件B为“乙中靶”，则 所以"恰好有一人击中靶子"的概率为.

两人都没中靶的概率为

"至少有一个人击中靶子”"的概率为

故答案为：0.44，0.92

14. 在如图的正方体中，，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为___________________度.

【答案】

【解析】

【分析】

通过平行关系可确定出异面直线所成角为或其补角，再结合的形状确定出异面直线所成角的大小.

【详解】连接，如下图所示：

因为分别为棱和棱的中点，所以，

又因为几何体为正方体，所以，所以，

所以为异面直线和所成角或其补角，

又因为，所以为等边三角形，

所以，所以异面直线和所成的角为，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

15. 如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为：________．

【答案】

【解析】

【分析】取的中点，连接、，依题意可得，，即可得到即为平面和平面所成角，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：取的中点，连接、，因为三棱锥的各棱长均为，

所以，且，

所以即为平面和平面所成角，

由余弦定理，

即，解得；

故答案为：

三、解答

16. 当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数；

【答案】（1）或   

（2）且   

（3）

【解析】

【分析】由复数概念列出方程求出的值.

【小问1详解】

当，即或时，复数为实数；

【小问2详解】

当，即且时，复数为虚数；

【小问3详解】

当，解得

所以当时，复数为纯虚数.

17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点．

（1）求证：平面；

（2）求：异面直线与所成的角．

【答案】（1）证明见解析   

（2）60°

【解析】

【分析】（1）取的中点为，连接，再由，结合线面平行的判定证明即可；

（2）由得出为直线与所成的角，进而得出异面直线与所成的角．

【小问1详解】

取中点为，连接

分别为的中点

，且

，即四边形为平行四边形

平面，平面

平面；

【小问2详解】

平面，

，为直线与所成的角

即异面直线与所成的角为

18. 某校参加夏令营的同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；

（2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；.

【解析】

【分析】（1）根据样本空间的概念写出即可；

（2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.

【详解】（1）这个试验的样本空间为：

.

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；

，，，，，共6种，

因此事件发生的概率.

【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题.

19. 如图，在正方体中，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求：直线与平面所成的角.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）连结，连结，利用中位线定理证明，即可证明平面；

（2）先证明平面即可证明；

（3）连结，连结，即可判断出为直线与平面所成角，在直角三角形中可以求出直线与平面所成角.

【详解】（1）

连结

∵为正方体

∴为正方形

∴为的中点

连结

∵为的中点

∴，

平面，平面

∴平面

（2）∵为正方体

∴为正方形，

平面

，平面

∴，

∴平面

∵平面

∴

（3）连结

∵为正方体

∴为正方形，平面

∴，

∴平面

连结

∴为在平面上的射影

∴为直线与平面所成角

在直角三角形中

∴

∴直线与平面所成角为.